1、2014 年东安一中高一直升班奥赛培训 陈雄武 1 第一讲：平面几何梅涅劳斯定理、塞瓦定理 1背景： Menelaus 定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的 . 2定理： 如果一直线顺次与三角形 ABC 的三边 BC、AC、AB 或其延长线交于 D、E、F 三点，则 : .1BCA 3说明： （1）不过顶点的直线与三角形3 边的关系有两种情况：若直线与三角形的 一边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；直线与 三角形的三边均交于外点，因而本定理的图形有两个. （2）定理的结构是：三角形三边上6条被截线段的比，首尾相连，组成一个比值为1 的等 式.
2、（3）这个定理反映了形与数的转化，是几何位置的定量描述：“三点共线”量化为比值等 于“1” ；反过来，若比值等于“1”成立时，可证“三点共线” （逆定理也成立）. 4记忆： .1ACBA 点分 点 到点 到 分 点点分 点 到点 到 分 点点分 点 到点 到 分 点 5证明： （1）简易证法一：（平行线分线段成比例）过 作 交 延长线于 ，BG/DFG ， ， ，BCAG/DAGFE ， .1CB1EAC （2）简易证法二：（垂线构造线段成比例）分别过 、 、 作 、 、 垂直已AB 知直线，由直角三角形相似比，易知 、 、 ，BFCDAE .1 （3）其它证法：三角形面积比、正弦定理等方法涉
3、及后面解三角形知识（置后）. 6推广： （1）逆定理：（常用于证明三点共线）如果有三点 D、E 、F 分别在三角形 ABC 的三边或 D E F A B C F E DCB A 2014 年东安一中高一直升班奥赛培训 陈雄武 2 其延长线，且满足： ，则三点 D、E、F 在同一直线上.1EACDBF （2）角元形式的梅涅劳斯定理：如果一直线顺次与三角形 ABC 的三边 BC、AC 、AB 或 其延长线交于 D、E、F 三点，则三点 DEF 共线等价于 .1sinsisinCBACB 7定理的应用： 例题 1：已知过 顶点 的直线，与边 及中A 线 分别交于点 和 ，求证： .DFEFBD2 证
4、明：直线 截 ，由梅涅劳斯定理，CAB 得： ，又 ， ，则 .1 C221EAFBAD2 注此例证法甚多，如 “平行线” 、 “面积法”等. 变式练习：在ABC 中，AG 是角平分线，D 是 BC 中点， DGAG 交 AB 于 E，交 AC 延长线与 F，求证：BE=CF= )(21ACB 例题 2：已知过 重心 的直线分别交边 、 及 延长线于点 、 、 ，ABCGABCEFD 求证： .1FE 证明：连接 并延长交 于 ，则M 截 ，CBMDAB 由梅氏定理得， ；1GE E D A B C F G F E D A B C D FG M A B C E 2014 年东安一中高一直升班奥
5、赛培训 陈雄武 3 同理： 1DCMGAF ， ，BEAF ，即 .12)( MDCBGA 1FACEB 变式练习：（塞瓦（C eva）定理）在ABC 内任取一 点 O，直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F，求证： 1EADBF 8逆定理的应用（证明三点共线）： 例题 1：若 的 的外角平分线交边 延长线于 ， 的平分线交边 于 ，ABCBCPBACQ 的平分线交边 于 ，则 、 、 三点共线.RPQ 证明：由三角形内、外角平分线定理知： ， ， ，APBA 则 ，1CQCRB 故 、 、 三点共线. 变式练习：（帕斯卡（P ascal）定理）圆 内 接 六 边 形 ABCDEF
6、的 三 双 对 边 的 延 长 线 交 于 三 点 P、 Q、R，则这三点 共 线 （ 此 线 称 为 帕 斯 卡 线 ） F P QR CB A 2014 年东安一中高一直升班奥赛培训 陈雄武 4 例题 2：（莱莫恩（Lemoine）定理）过任意 的三个顶点 、 、 作它的外接圆ABCABC 的切线，分别和 、 、 的延长线交于点 、 、 ，则 、 、 三点共线.BCAPQR 证明： 是 的切线，RO ， ，BR 则 ，2)(CB 同理： ，2AP2AQ ，1)()(222 BRB 故 、 、 三点共线. 变式练习 2：（西姆松（Simson）定理）若从ABC 的外接圆上一点 P 作 BC、AB、AC 的垂线，垂足分别为 D、E、 F，则 D、E、F 三点共线 （此线常称为西姆松线） . Q R P O CB A 2014 年东安一中高一直升班奥赛培训 陈雄武 5
