1、楚雄师范学院毕业论文（设计）I楚雄师范学院本科生毕业论文题目二元连续函数在有界闭区域上的最值研究系（院）数学系专业数学与应用数学姓名学号20091021135指导教师职称副教授论文字数5000字左右完成日期2013年5月教务处抑制楚雄师范学院毕业论文（设计）I目录摘要II关键词IIABSTRACTIIIKEYWORDSIII1、引言12、二元连续函数在有界闭区域上的最值研究1一、二元连续函数在二次封闭曲线所围成的闭区域上的最值1（一）二元连续函数在圆域上的最值1（二）二元连续函数在椭圆域上的最值4二、二元连续函数在多边形区域上的最值6三、二元连续函数在其他图形所围成的闭区域上的最值8（一）二元
2、连续函数在扇形区域上的最值8（二）二元连续函数在曲边梯形区域上的最值10参考文献13致谢14楚雄师范学院毕业论文（设计）II二元连续函数在有界闭区域上的最值研究摘要本文主要对二元连续函数在二次曲线围成的封闭区域，多边形区域和一些特殊图形围成的封闭区域上的最值进行了研究关键词二元函数；最值；闭区域；有界；圆域；椭圆域；扇形域楚雄师范学院毕业论文（设计）IIICONTINUOUSFUNCTIONSOFTWOVARIABLESINTHESTUDYREGIONONTHECLOSEDBOUNDARYVALUEABSTRACTTHISARTICLEMAINLYFORBIVARIATECONTINUOUSF
3、UNCTIONFORMACLOSEDCURVEOFTHESECONDREGION,FORMACLOSEDPOLYGONAREAANDANUMBEROFSPECIALGRAPHICSONTHEREGIONALSTUDIESWITHTHEMOSTVALUEKEYWORDSTHEBINARYFUNCTION；BESTVALUE；CLOSEDAREAS；BOUNDED；CIRCULARDOMAIN；ELLIPTICALDOMAIN；FANSHAPEDDOMAIN楚雄师范学院毕业论文（设计）11、引言我们可以把二元函数看成是一元函数的一个推广，但是二元函数的最值问题却与一元函数的最值问题大有不同首先，二
4、元函数,YXF的定义域是平面点集，或是平面点集的子集，故二元函数,YXF的定义域和自变量要比一元函数XF要复杂的多；其次，二元函数的最值可能出现在边界曲线上，所以二元函数的最值问题要比一元函数的最值问题更加复杂二元函数的最值问题是高等数学的常见问题但现有的材料和相关论文却相对很少，针对这一现状我们对二元连续函数在有界闭区域上的最值问题展开了相应的研究，在不同的区域内二元连续函数的最值情况也是多种多样的，所以对二元连续函数在有界闭区域上的最值问题进行研究也就成为了一个非常有意义的研究性问题之一2、二元连续函数在有界闭区域上的最值研究一、二元连续函数在二次封闭曲线所围成的闭区域上的最值（一）二元连
5、续函数在圆域上的最值如何求二元连续函数,YXFZ在圆域|,222RBYAXYXD上的最值,我们分两步处理,先求它在圆域内可能出现的最值,再求它在圆域边界上可能出现的最值首先我们对二元函数,YXFZ求一阶偏导数,令,|,0,0,222RBYAXYXYXFZYXFZYYXX其中求出函数的驻点,3,2,1,IYXPIII,因为,3,2,1,IYXPIII不一定都是二元函数的极值点,所以还要对驻点进行判别,令,IIXXXXYXFZA,IIXYXYYXFZB,IIYYYYYXFZC当02ACB时,3,2,1,IYXPII是二元函数,YXF的极值点,所以它可能是最值点当02ACB时,3,2,1,IYXPI
6、I不能判定是否是二元函数,YXF的极值点,它也可能是最值点当02ACB时,3,2,1,IYXPII不是二元函数,YXF的极值点,也就不可能是最值点1716,10再将满足条件的02ACB的驻点代入到,YXFZ中求出相应的函数值,3,2,1,IYXFZIII（1）楚雄师范学院毕业论文（设计）2求函数,YXF在圆域边界上的函数值,我们可用两种方法来求解第一种方法是拉格朗日乘数法,引入拉格朗日函数,222RARAXRBYAXYXFL,对函数求一阶偏导数之后,令,0,022,022,222RBYAXLBYYXFLAXYXFLYYXX求解方程组可得到圆域边界上的极值点,3,2,1,JYXMJJJ,代入到,
7、YXFZ中求得圆域边界上的函数值,3,2,1,JYXFZJJJ（2）综合圆域内的函数值（1）和圆域边界上的函数值2,通过比较函数值的大小找出二元连续函数在圆域上的最大值和最小值求圆周曲线上可能出现的最值点,我们还可以用转换法求解,将圆方程222RBYAX变形为BAXRY22,把它代入到,YXFZ中,可以得到相应的一个一元函数,22RARAXBAXRXFZ,通过求这个一元函数的极值点，从而可得到函数,YXFZ在圆域边界上可能出现的最值点,进而求得相应的函数值,3,2,1,22KBAXRXFZKKK（3）再求,22RARAXBAXRXFZ的端点值,1BRAFZK,2BRAFZK（4）最后通过比较所
8、得函数值（1）,（3）和（4）的大小找出二元连续函数在圆域上的最大值和最小值例1求二元函数62,2222YXYXYXF在有界闭区域4|,22YXYXD上的最值解由,4|,024,022,2222YXYXYXYYXFXYXYXFYX其中知二元函数,YXF的驻点为1,21P,1,22P,1,23P,1,24P,0,05P再进一步楚雄师范学院毕业论文（设计）3求出222,YYXFAXX,XYYXFBXY4,224,XYXFCYY当驻点为1,21P时,0242ACB,所以驻点1,21P不是二元函数,YXF的极值点（即不是最值点）,故舍去同理,当驻点为1,22P,1,23P,1,24P时,都分别求得02
9、42ACB,所以驻点1,22P,1,23P,1,24P都不是二元函数,YXF的极值点（即不是最值点）,故全部舍去当驻点为0,05P时,082ACB,所以驻点0,05P是函数的极值点,代入,YXF可得函数值60,0F对于二元函数,YXF在圆周曲线422YX上的最值,我们分别用两种方法讨论1拉格朗日乘数法设2,2,462222222XYXYXYXL,对它求一阶偏数之后,令,04,0224,02222222YXLYYXYLXXYXLYX求解上述方程组可得到圆域边界上的极值点有23,251M,23,252M,23,253M,23,254M,将它们分别代入到二元函数,YXF中,可求得圆域边界上可能的最值
10、有43123,251F,43123,252F,43123,253F,43123,254F又由2,2X可知2,05M,2,06M,0,27M,0,28M也是可能的最值点,分别代入到,YXF中求得可能的最值有142,05F,142,06F,100,27F,100,28F综合上述圆域内和圆域边界上所得出的最值有6,431,10和14,通过比较最值的大小可得到二元连续函数,YXF在圆域上的最大值为14,最小值为62）转换法将圆方程转化为2,2,422XXY,把它代入到二元函数,YXF中,得到一个一元函数14524XXXF,对它求一阶导数可得XXXF1043,令01043XXXF,求解方程可得一元函数X
11、F的极值点有01X,252X和253X,将它们分别代入到一元函数楚雄师范学院毕业论文（设计）4XF中,求得圆域边界上的函数值为140F,43125F,43125F再求得曲线端点处的函数值为102F,102F综合上述圆域内的函数值和圆域边界上的函数值有6,14,431和10,通过比较函数值的大小可以得到二元函数,YXF在圆域上的最大值为14,最小值为6（二）二元连续函数在椭圆域上的最值求二元连续函数,YXFZ在椭圆域1|,2222BYAXYXD上的最值,我们可以分为椭圆域内的函数最值和椭圆域边界上的函数最值两部分进行求解首先对二元连续函数,YXFZ求一阶偏导数,令1|,0,0,2222BYAXY
12、XYXFZYXFZYYXX其中求解方程组可得函数,YXF的驻点,3,2,1,IYXPIII,因为驻点,3,2,1,IYXPIII不一定都是,YXF的极值点,所以还要对驻点进行判别,令,IIXXXXYXFZA,IIXYXYYXFZB,IIYYYYYXFZC同在圆域内的判别方法一样,将02ACB的驻点代入到,YXFZ中求出相应的函数值,3,2,1,IYXFZIII（5）对于二元函数在椭圆域边界上的最值,我们同样可以用两种方法来进行讨论方法一拉格朗日乘数法令,1,2222AAXBYAXYXFL,对它求一阶偏导数之后,令,01,02,02,222222BYAXLBYYXFLAXYXFLYYXX解方程组
13、可得到椭圆域边界上的极值点,3,2,1,JYXMJJJ,代入函数,YXFZ中,求得椭圆域边界上的函数值楚雄师范学院毕业论文（设计）5,3,2,1,JYXFZJJJ（6）综合上述得出椭圆域内的函数值（4）和椭圆域边界上的函数值（5）,通过比较所得函数值的大小可得到二元函数,YXF在椭圆域上的最大值和最小值方法二转换法将椭圆方程,12222AAXBYAX,变形为2222AXBBY,代入到二元函数,YXFZ中,可得到一个一元函数,2222AAXAXBBXFZ,对这个一元函数求极值（即二元函数,YXF在椭圆域边界上可能的函数值）得,3,2,1,2222KAXBBXFZKKK（7）再求出,2222AAX
14、AXBBXFZ的端点值0,1AFZK,0,2AFZK（8）综合上述椭圆域内的函数值（5）和椭圆域边界上的函数值（7）与（8）,通过比较所得函数值的大小可得到二元函数在椭圆域上的最大值和最小值例2求二元函数2,22YXYXF在椭圆区域149|,22YXYXD上的最大值和最小值解由1|,02,02,2222BYAXYXYYXFXYXFYX其中可得,YXF唯一的驻点0,0P,再求出2,YXFAXX,0,YXFBXY,2,YXFCYY因为当驻点为0,0P时,042ACB,所以驻点0,0P不是二元连续函数,YXF的极值点,也就不是最值点,故舍去对于二元函数,YXF在椭圆域边界上的最值,我们可用两种方法来
15、求解1）拉格朗日乘数法设3,3,14922222XYXYXL,先对它求一阶偏导数,再令楚雄师范学院毕业论文（设计）6,0149,0212,092222YXLYYLXXLYX由方程组可得到椭圆域边界上可能的最值点有2,01M,2,02M,0,33M,0,34M将它们分别代入到二元函数,YXF中,可求得相应的函数值22,01F,22,02F,110,33F,110,34F综合上述两种情况得出的函数值有2和11,通过比较函数值的大小可得到函数,YXF在椭圆域边界上的最大值为11,最小值为22）转换法将椭圆方程转化为3,3,94422XXY,代入到函数,YXF中,可得到一个一元函数3,3,29132X
16、XXFZ,对它求一阶导数可得XXFZ926,令0926XXF,求解方程可得一元函数XF的极值点0X,代入到函数XF中,得到最值20F再求得曲线的上下界函数值113F,113F综合上述所得椭圆域内的函数值和椭圆域边界上的函数值2和11,通过比较所得函数值的大小从而得到函数,YXF在椭圆域上的最大值为11,最小值为2二、二元连续函数在多边形区域上的最值二元连续函数,YXFZ在N边形区域D上的最值问题,随着边界的复杂程度加大,对它的求解难度也在加大,但在总体上还是可以分为区域内和区域边界上两部分进行讨论对于N边形区域内的最值,我们对函数,YXFZ求一阶偏导数之后,令DYXYXFZYXFZYYXXIN
17、T,0,0,可求得函数在N边形区域D内的驻点,3,2,1,IYXPIII,因为驻点,3,2,1,IYXPIII不一定都是函数的极值点,令,IIXXXXYXFZA,IIXYXYYXFZB,IIYYYYYXFZC,将满足条件02ACB的驻点代入到,YXFZ中求出相应的函数值,3,2,1,IYXFZIII（9）楚雄师范学院毕业论文（设计）7N边形区域是由N条直线段围成的封闭区域,其边界有N条直线段构成,朗格朗日乘数法就很难求解,所以我们用转换的思想方法求N边形区域边界上的最值问题将直线段方程,3,2,1,NIBAXLIII,分别代入到二元函数,YXFZ中,通过代换可得到相应的一元函数,2,1,NIB
18、AXXFIII,对它求一阶导数可得,2,1,NIBAXXFIII,令0XFI,可求得函数XFI的极值点,3,2,1NIXI,代入到函数,2,1,NIBAXXFIII中,求得相应的极值（可能的最值）,3,2,1,3,2,1NJNIXFZIIJ（10）再求出直线段,3,2,1,NIBAXLIII的端点值,3,2,1,3,2,11NKNIAFZIIK,3,2,1,3,2,12NKNIBFZIIK（11）综合上述两种情况得出的函数值（9）,（10）和11,通过比较所得函数值的大小可得到函数,YXF在N边形区域上的最大值和最小值例3求二元函数2212,YXYXF在三角形区域21,033,20,042,1
19、0,022XYXXYXXYXD上的最值解对函数,YXF求一阶偏导数之后,由，DYXYYXFXYXFYXINT,02,02,可得到函数,YXF有唯一的驻点0,0P,因为驻点DPINT0,0,即不在三角形区域内,故舍去三角形区域边界上的最值,我们采用代换法求最值,分别把直线段方1,0,0221XYXL,2,0,0422XYXL,2,1,0333XYXL分别代入到二元函数,YXF中,可得到相应关于X的一元函数分别为1,0,88521XXXXF,2,0,824522XXXXF,楚雄师范学院毕业论文（设计）82,1,3181023XXXXF令08101F,可得1XF的极值点1,054X,代入1XF中求得
20、极值556541F,再求得1L的端点值801F,1111F同理可得2XF的极值点2,054X,故舍去,求得2L的端点值802F,122F3XF的极值点2,1109X,故舍去,求得3L的端点值1113F,123F综合上述情况得出的函数值有556,8,11和1,通过比较所得函数值的大小可得到函数,YXF在三角形区域上的最大值为556,最小值为1三、二元连续函数在其他图形所围成的闭区域上的最值（一）二元连续函数在扇形区域上的最值如何求一个二元连续函数,YXFZ在扇形区域D上的最值呢这里我们分成两部分进行讨论,一是如何求它在扇形区域内的函数最值,二是如何求它在扇形边界上的函数最值对于二元函数在扇形区域
21、内的最值,我们先对,YXFZ求一阶偏导数,然后令,INT,0,0,DYXYXFZYXFZYYXX求出扇形区域D内二元函数的驻点,3,2,1,IYXPIII因为,3,2,1,IYXPIII不一定都是函数的极值点,所以还要进一步对这些驻点进行判别,令,IIXXXXYXFZA,IIXYXYYXFZB,IIYYYYYXFZC,将满足条件02ACB的驻点代入到,YXFZ中求出相应的函数值,3,2,1,IYXFZIII（12）扇形区域的边界不同于圆,椭圆和多边形区域的边界是有一条二次曲线围成的封闭区域,或是有几条直线段围成的多边形区域,它是由直线段和二次曲线段共同围成的封闭区域拉格朗日数乘法同样就很难解决
22、这样的问题,因此这里我们同样采用转换的思想方法来求扇形区域的边界最值首先将曲线段方程,112221BAXRBYAXL,变形为,1122BAXBAXRY,把它代入,YXF中,可得到,11221BAXBAXRXFXF,再对1XF求一阶导数可得,221BAXRXFXF,令0,221BAXRXFXF,求解方程可得1XF的极值点为,3,2,1IXI,再将属于区间,11BA的值代入到一元函数1XF中,求得最值楚雄师范学院毕业论文（设计）9,3,2,1,22IBAXRXFZIII（13）再求出曲线段1L的两个端点函数值,212111BAARAFAF,212111BABRBFBF（14）同理将直线段方程32,
23、LL,分别代入到函数,YXFZ中,可得函数3,2,IBAXXFZIII,求得它的最值为,3,2,13,2NJIXFZIJ（15）再分别求出直线段3,2ILI的端点值3,23,21KIAFZIIK,3,23,22KIBFZIIK（16）最后综合上述几种情况得出的函数最值（12）,（13,（14）,（15）和（16）,通过比较函数值的大小找出二元连续函数在扇形区域上的最大值和最小值例4求二元函数222,XYYXYXF在扇形区域,510,0,03,510,0,03,2,510,422XYXXYXXYXD上的最值。解由DYXXYYYXFYXYXFYXINT,022,02,2可得在扇形区域D内的驻点有2
24、,11P,2,12P,令2,YXFAXX,YYXFBXY2,XYXFCYY22,因为驻点2,11P,2,12P都满足082ACB,所以2,11P,2,12P都不是函数,YXF的极值点,即不是最值点,故舍去扇形区域边界上的最值可采用转换法求解,分别令边界线方程为2,510,4221XYXL,楚雄师范学院毕业论文（设计）10510,0,032XYXL,510,0,033XYXL把曲线段1L的方程边形为224XY,代入到函数,YXF中可得一元函数2,510,4431XXXXF,对1XF求一阶导数可得4321XXF,令04321XXF,求得函数1XF的极值点3321X,3322X,因为2,510332
25、2X,故舍去,把3321X代入函数1XF中,可得931643321F再求得1XF的端点函数值为25101845101F,421F同理,可求得510,0,032XYXL的极值为002F,端点函数值为002F,25101845102F510,0,033XYXL的函数极值为003F,端点函数值为003F,25101845103F综合上述扇形区域内的函数值和扇形区域边界上的函数值可得,YXF的最大值为4,最小值为0（二）二元连续函数在曲边梯形区域上的最值二元连续函数,YXFZ在曲边梯形区域D上的最值问题,我们同样分两部分进行讨论第一部分,曲边梯形区域内函数的最值,对函数,YXFZ求一阶偏导数之后,令,
26、INT,0,0,DYXYXFZYXFZYYXX其中求解方程组可得二元函数在扇形区域内的驻点,3,2,1,IYXPIII,再令,IIXXXXYXFZA,IIXYXYYXFZB,IIYYYYYXFZC,同前面在圆域内的判别方法一样,将02ACB的驻点代入到,YXFZ中求出相应的函数值,3,2,1,IYXFZIII（17）第二部分,曲边梯形区域边界上的最值,曲边梯形区域是由两条平行的直线段和两条曲线段（或一条直线段和一条曲线段）围成的封闭区域,其边界是有直线段和曲线段共同构成朗格朗日乘数法楚雄师范学院毕业论文（设计）11就很不容易求解,所以我们用转换的思想方法求曲边梯形区域在边界上的最值问题首先将边
27、界线方程分别设为4,3,2,1ILI,把它们代入到函数,YXFZ中,通过代换可以得到相应的一元函数4,3,2,1,IBAXXFIII,对它求一阶导数可得4,3,2,1,IBAXXFIII,令4,3,2,10IXFI,可得函数4,3,2,1,IBAXXFIII的极值点,3,2,111IXI,把极值点代入函数4,3,2,1,IBAXXFIII中,可求得函数的极值,3,2,1,3,2,114,3,2,11NJIIXFZIIJ（18）其次,求出线段4,3,2,1ILI的两个端点值分别为,3,2,114,3,2,11KIAFZIIK,3,2,114,3,2,11KIBFZIIK（19）最后,综合上述几种
28、情况得出的函数值（17,（18）和19,通过比较所得函数值的大小可得到二元函数在曲边梯形区域上的最大值和最小值例5求二元函数843,22XYYXYXF在有界闭区域,3,3,6,1,1,2,3,1,02,1,3,0222XYXYXYXXYXD上的最值解对函数,YXF求一阶偏导数后,令DYXXYYXFYXYXFYXINT,08,06,求解方程组可得函数,YXF唯一的驻点0,0P,因为0,0P不在所属扇形区域D内,故舍去函数,YXF在曲边梯形区域边界上的最值,我们可采用代换法求解,将曲线段方程1L变形为1,3,22XXY,代入,YXF中,可得函数1,3,832162341XXXXXF,对它求一阶导数
29、有XXXXF6664231,令,06664231XXXXF求解方程得到函数1XF的极值点为0X,因为0X不在所属区间1,3,故舍去再求得曲线段1L的端点值为楚雄师范学院毕业论文（设计）123614531F,1311F同理,求得函数3,1,832162342XXXXXF的最值和端点值为912F,3614532F1,1,82323XXXXF的极值为32531F,端点值为313F,713F3,3,1366324XXXXF的极值为1331F,端点值为3614534F,3614534F综合上述几种情况得出的函数值8,36145,36145,13,9,325,3,7和133,通过比较所得函数值的大小可以得
30、出二元函数,YXF在扇形区域D上的最大值为36145,最小值为325楚雄师范学院毕业论文（设计）13参考文献1华东师范大学数学系数学分析上册M北京高等教育出版社，20012分析中的基本定理和典型方法M北京科学出版社，20043数学分析中的典型问题与方法M北京高等教育出版社，19934周明波迁移线性规划思想求特殊二元函数最值J遂宁市黄山中学2004142125孔德潜有条件二元函数最值问题的解题策略J江苏省沛县中学20101247486梁锦华如何求二元函数的最值J苏州工业职业技术学院2008121687李林修二元函数的最值J青岛教育学院学报1996144468顾江永二元函数在定区域上求最值的若干方
31、法J牡丹江教育学报20083829王晓路用拉格朗日乘数法巧解二元函数最值J数学教学通信19942012516010刘连福02ACB时函数极值问题讨论J大连水产学院20101617楚雄师范学院毕业论文（设计）14致谢真诚的感谢老师对我的精心指导，在论文的设计，开题，撰稿和不断修改完善的过程中，老师都给了我巨大的帮助，在此我真心的感谢您黄老师同时也要感谢朗开禄老师和唐家德老师给我的宝贵建议，促使我在规定的时间内能够逐步完善本论文的撰写和编稿十年树木，百年树人我的成长首先还得要感谢父母，感谢他们给了我生命，给了我不断成长的物质基础和精神基础其次感谢存给我教育的学校和老师，正是因为有了你们的教育，才使得我顺利完成学业，更好的走向社会最后也要真心的感谢同学和朋友，感谢他们在学习和生活中给予我的帮助，促使我能更好的学习和生活在即将毕业离校的这个夏季，我真心祝愿各位老师，同学，朋友一帆风顺，万事如意，一切安好
