1、1 一个银行在下一年盈利的回报服从正态分布。期望回报为整体资产的 0.6%，而标准差为整体资产的 1.5%。银行的权益资本占整体资产的 4%，在 忽略税收的情况下，银行在下一年仍有正的权益资本的概率为多大？ 解： 由于银行的权益资本占整体资产的 4%，因此银行在下一年仍有正的 权益资本的概率对应于银行的盈利大于资产的-4%的概率。 设 银行在下一年的盈利占总体总产的比例为 X，则 X大于资产的-4% 的概率为 ，由于银行在下一年的盈利的回报服从正态分布，由(4%)PX 题意有： 即银行股票为正的概率为 N（3.067） ，其中 N为标准正态分布，查表的其 解为 99.89%，因此在忽略税收的情
2、况下，银行在下一年仍有正的权益资本 的概率为 99.89%。 2 股票的当前市价为 94美元，同时一个 3个月期的、执行价格为 95美元的 欧式期权价格为 4.70美元，一个投资人认为股票价格会涨，但他并不知道 是否应该买入 100股股票或者买入 2000个（相当于 20份合约）期权，这 两种投资所需资金均为 9400美元。在此你会给出什么建议？股票价格涨到 什么水平会使得期权投资盈利更好？ 解 ： 设 3 个月以后股票的价格为 X 美元（X94 ） （1）当 美元时，此时股票价格小于或等于期权执行价格，考945X 虑到购买期权的费用，应投资于股票。 （2）当 美元时，投资于期权的收益为： 美
3、(95)204X 元，投资于股票的收益为 美元(94)10X 令 52(4)1 ()1()1()()(3.067)4%0.64.515N 解得 X = 100 美元 给出的投资建议为： 若 3 个月以后的股票价格： 美元，应买入 100 股股票；9410X 若 3 个月以后的股票价格 X=100 美元，则两种投资盈利相同； 若 3 个月以后股票的价格： 美元，应买入 2000 个期权，在这种价 格下会使得期权投资盈利更好。 3 某银行持有 USD/EURO汇率期权交易组合，交易组合的 Delta为 30000，Gamma 为-80000，请解释这些数字的含义。假设当前汇率（1 欧元 所对应的美
4、元数量）为 0.90，你应该进行什么样的交易以使得交易组合具 备 Delta中性？在某段时间后，汇率变为 0.93。请估计交易组合新的 Delta。此时还要追加什么样的交易才能保证交易组合的 Delta呈中性？假 如最初银行实施 Delta中性策略，汇率变化后银行是否会有损益？ 解：Delta 的数值说明，当欧元汇率增长 0.01时，银行交易价格会增长 0.01 30000=300美元；Gamma 的数值说明，当欧元价格增长 0.01美元时，交易组 合的 Delta会下降 0.01 80000=800美元。 为了做到 Delta中性，应卖出 30000欧元。 当汇率增长到 0.93时，期望交易
5、组合的 Delta下降为（0.93-0.90） 8000=2400,组合的价值变为 27600，为了维持 Delta中性，银行应该对 2400 数量欧元短头寸进行平仓，这样可以保证欧元净短头寸为 27600。 当一个交易组合的 Delta为中性，同时 Gamma为负，资产价格有一个较大变动 时会引发损失。这时的结论是银行可能会蒙受损失。 4 假设某两项投资中的任何一项都有 4%的可能触发损失 1000万美元，有 2% 的可能触发损失 100美元，并且有 94%的概率盈利 100万美元，这两项投 资相互独立。 (1) 对应于在 95%的置信水平下，任意一项投资的 VaR是多少？ (2) 选定 9
6、5%的置信水平，任意一项投资的预期亏损是多少？ (3) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 95%的置信水平的 VaR 是多少？ (4) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 95%的置信水平的预 期亏损是多少？ (5) 请说明此例的 VaR不满足次可加性条件，但是预期亏损满足次可加性 条件。 解：（1）对应于 95%的置信水平，任意一项投资的 VaR为 100万美元。 （2）选定 95%的置信水平时，在 5%的尾部分布中，有 4%的概率损失 1000万 美元，1%的概率损失 100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是 （3）将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有 0.04 0
7、.04=0.0016的概 率损失 2000万美元，有 0.02 0.02=0.0004的概率损失 200万美元，有 0.94 0.94=0.8836的概盈利 200万美元，有 2 0.04 0.02=0.0016的概率损失 1100万美元，有 2 0.04 0.94=0.0752的概率损失 900万美元，有 2 0.94 0.02=0.0376的概率不亏损也不盈利，由于 0.95=0.8836+0.0376+0.0004+0.0284,因此将两项投资迭加在一起所产生的投 资组合对应于 95%的置信水平的 VaR是 900万美元。 （4）选定 95%的置信水平时，在 5%的尾部分布中,有 0.1
8、6%的概率损失 2000 万美元，有 0.16%的概率损失 1100万美元，有 4.68%的概率损失 900万美元， 因此，两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 95%的置信水平的预期亏 损是 （5）由于 900 100 2=200，因此 VaR不满足次可加性条件， 941.6 820 2=1640，因此预期亏损满足次可加性条件。 5 一家银行在下一年的盈利服从正态分布，其期望值和标准差分别为资产的 4%100825万 美 元.68%0.160.16%92941.655万 美 元 0.8%和 2%。对应于 （1） 在 99置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少？ （2） 在 99.9
9、置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少？ 分析中忽略税收。 解：（1）设 在 99%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为 A，银行 在下一年的盈利占资产的比例为 X，由于盈利服从正态分布，因此银行在 99%的 置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为： ，由此可得()PX0.8%0.8()1()1()9%22APXAPN 查表得 =2.33，解得 A=3.86%0.8%2 即在 99置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为 3.86%。 （2）设 在 99.9%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为 B，银行 在下一年的盈利占资产的比例为 Y，由于盈利服从正态分布，因此银行在
10、 99.9%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为： ，由此可得()PYB0.8%0.81()1()()9.%22BN 查表得 =3.10，解得 B=5.4%0.8%2 即在 99.9置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为 5.4%。 6 股票的当前市价为 94美元，同时一个 3个月期的、执行价格为 95美元的 欧式期权价格为 4.70美元，一个投资人认为股票价格会涨，但他并不知道 是否应该买入 100股股票或者买入 2000个（相当于 20份合约）期权，这 两种投资所需资金均为 9400美元。在此你会给出什么建议？股票价格涨到 什么水平会使得期权投资盈利更好？ 解 ： 设 3 个
11、月以后股票的价格为 X 美元（X94 ） （1）当 美元时，此时股票价格小于或等于期权执行价格，考945X 虑到购买期权的费用，应投资于股票。 （2）当 美元时，投资于期权的收益为： 美(95)204X 元，投资于股票的收益为 美元(94)10X 令 (95)204(9)10XX 解得 X = 100 美元 给出的投资建议为： 若 3 个月以后的股票价格： 美元，应买入 100 股股票；9410X 若 3 个月以后的股票价格 X=100 美元，则两种投资盈利相同； 若 3 个月以后股票的价格： 美元，应买入 2000 个期权，在这种价 格下会使得期权投资盈利更好。 7 一金融机构持有以下场外期
12、权交易组合，基础资产为英镑： 期权 种类 头寸 数量 期权的 Delta 期权的 Gamma 期权的 Vega 看涨 -1000 0.50 2.2 1.8 看涨 -500 0.80 0.6 0.2 看跌 -2000 -0.40 1.3 0.7 看跌 -500 0.70 1.8 1.4 某交易所交易期权的 Delta为 0.6，Gamma 为 1.5，Vega 为 0.8。 （1） 用多少交易所期权可以使场外交易同时达到 Gamma及 Delta中性， 这时采用的交易是多头头寸还是空头头寸？ （2） 采用什么及多少交易所交易期权可以使场外交易组合同时达到 Vega 以及 Delta中性，交易应该
13、为多头头寸还是空头头寸？ 解：根据表格信息可以得出组合资产的头寸数量为-(1000+500+2000+500) =-4000； 组合的 Delta=(-1000) 0.5+(-500) 0.8+(-2000) (-0.4)+(-500) 0.7=-450; 同理可得组合的 Gamma=-6000;组合的 Vega=-4000; （a）为达到 Gamma 中性，需要在交易组合中加入 份期权，加入期权后的 Delta 为 ，(60/1.5)40450.61950 因此，为保证新的交易组合的 Delta 中性，需要卖出 1950 份英镑。为使 Gamma 中性采用的交易是长头寸，为使 Delta 中
14、性采用的交易是短头寸。 (b)为达到 Vega 中性，需要在交易组合中加入 份期(40/.8)50 权，加入期权后的 Delta 为 ，因此，为保证新的交易450.625 组合的 Delta 中性，需要卖出 2550 份英镑。为使 Vega 中性采用的交易是长头 寸，为使 Delta 中性采用的交易是短头寸。 8 假设某两项投资中的任何一项都有 0.9%的可能触发损失 1000万美元，有 99.1%的可能触发损失 100美元，并且有正收益的概率均为 0，这两项投资 相互独立。 (6) 对应于在 99%的置信水平下，任意一项投资的 VaR是多少？ (7) 选定 99%的置信水平，任意一项投资的预
15、期亏损是多少？ (8) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 99%的置信水平的 VaR 是多少？ (9) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 99%的置信水平的预 期亏损是多少？ (10) 请说明此例的 VaR不满足次可加性条件，但是预期亏损满足次可 加性条件。 解：（1）对应于 99%的置信水平下，任意一项投资的 VaR是 100万美元。 （2）选定 99%的置信水平时，在 1%的尾部分布中，有 0.9%的概率损失 1000 万美元，0.1%的概率损失 100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是 （3）将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有 0.009 0.009=0.00
16、0081 的概率损失为 2000万美元，有 0.991 0.991=0.982081的概率损失为 200万0.1%0.910万 美 元 美元，有 2 0.009 0.991=0.017838的概率损失为 1100万美元，由于 99%=98.2081%+0.7919%，因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 99%的置信水平的 VaR是 1100万美元。 （4）选定 99%的置信水平时，在 1%的尾部分布中,有 0.0081%的概率损失 2000万美元，有 0.9919%的概率损失 1100万美元，因此两项投资迭加在一 起所产生的投资组合对应于 99%的置信水平的预期亏损是 （5）由于
17、1100 100 2=200，因此 VaR不满足次可加性条件， 1107 910 2=1820，因此预期亏损满足次可加性条件。 9 一家银行在下一年的盈利服从正态分布，其期望值和标准差分别为资产的 0.8%和 2%。对应于 （3） 在 99置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少？ （4） 在 99.9置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少？ 分析中忽略税收。 解：（1）设 在 99%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为 A，银行 在下一年的盈利占资产的比例为 X，由于盈利服从正态分布，因此银行在 99%的 置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为： ，由此可得()PX0.
18、8%0.8()1()1()9%22APXAPN 查表得 =2.33，解得 A=3.86%0.8%2 即在 99置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为 3.86%。 （2）设 在 99.9%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为 B，银行 在下一年的盈利占资产的比例为 Y，由于盈利服从正态分布，因此银行在 99.9%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为： ，由此可得()PYB0.8%0.81()1()()9.%22BN 查表得 =3.10，解得 B=5.4%0.8%2 即在 99.9置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为 5.4% 0.810.91207万 美 元 10 一个交
19、易员在股票价格为 20美元时，以保证金形式买入 200股股票， 初始保证金要求为 60%，维持保证金要求为 30%,交易员最初需要支付的保 证金数量为多少？股票在价格时会产生保证金催付？ 解：（1）由题目条件可知，初始股票价格为 20 美元，购入了 200 股股票， 那么初始股票价值为 美元，初始准备金为 美2040406%240 元. （2）设 当股票价格跌至 X 美元时产生准备金催款 当股票价格下跌至 X 美元时，股票价值为 ，则股票价值下跌了 20X 美元0() 此时保证金余额为 美元，又已知维持保证金为 30%，240() 则有： (20).3X 解得 美元1.43X 11 某银行持有
20、 USD/EURO汇率期权交易组合，交易组合的 Delta为 30000，Gamma 为-80000，请解释这些数字的含义。假设当前汇率（1 欧元 所对应的美元数量）为 0.90，你应该进行什么样的交易以使得交易组合具 备 Delta中性？在某段时间后，汇率变为 0.93。请估计交易组合新的 Delta。此时还要追加什么样的交易才能保证交易组合的 Delta呈中性？假 如最初银行实施 Delta中性策略，汇率变化后银行是否会有损益？ 解：Delta 的数值说明，当欧元汇率增长 0.01时，银行交易价格会增长 0.01 30000=300美元；Gamma 的数值说明，当欧元价格增长 0.01美元
21、时，交易组 合的 Delta会下降 0.01 80000=800美元。 为了做到 Delta中性，应卖出 30000欧元。 当汇率增长到 0.93时，期望交易组合的 Delta下降为（0.93-0.90） 8000=2400,组合的价值变为 27600，为了维持 Delta中性，银行应该对 2400 数量欧元短头寸进行平仓，这样可以保证欧元净短头寸为 27600。 当一个交易组合的 Delta为中性，同时 Gamma为负，资产价格有一个较大变动 时会引发损失。这时的结论是银行可能会蒙受损失。 12 组合 A是由一个一年期，面值为 2000美元零息债券及一个 10年期， 面值为 6000美元的零
22、息债券组成。组合 B是由 5.95年期，面值为 5000美 元的债券组成，当前所有债券年收益率为 10%（连续复利） 。 （1） 证明两个组合具有相同的久期。 （2） 证明如果收益率有 0.1%上升，两个组合价值变化同利率变化的百分 比相同。 （3） 如何收益率上升 5%，两种组合价值变化同利率变化的百分比为多少？ 解：（1）对于组合 A，一年期债券的现值 ，十0.11289.67aBe 年其债券的现值 0.12627.8aBe 组合 A 的久期为 8905.9 由于组合 B 的久期亦为 5.95，因此两个组合的久期相等 （2）因为收益率上升了 0.1%，上升幅度比较小，因此 A,B 组合价值
23、的变 化可以分别由以下公式表示： AABBPDy 所以有 ; APDyBy 由（1）可知组合 A 与组合 B 的久期相等，因此两个组合价值变化同利率变化 的百分比相同。 （3）因为收益率上升了 5%，上升幅度较大，因此 A，B 组合价值的变化 可分别表示为： ;21()AAAPDyCPy21()BPDyCy 所以有 ; 2Ay1BB 可以计算得到组合 A 的曲率为 221809.670.85.4 组合 B 的曲率为 250.35.4 分别把数据代入公式，计算得到 因此，如果收益率上升 5%，两种组合价值变化同利率变化的百分比分别为- 4.565和-5.065. 1.95.4%.562APy.30B
