1、等速螺旋(阿基米德螺线） 一、什么是等速螺旋 1、从点 O 出发的射线 l 绕点 O 作等角速度的转动。 2、同时点 M 沿 l 作等速直线运动，点 M 的轨迹叫等速螺旋 或阿基米德螺线。 二、等速螺线的极坐标方程 1、建立极坐标系 取 O 点为极点，以 l 的初始位置为极轴，建立极坐标系如上图。 2、建立参数方程 设点 M 的初始位置为（0,0），点 M 在 l 上的运动速度为 v,l 绕点 O 转动的角速度为 w，经过时间 t 后， l 旋转了 角，点 M 到达位置（,）根据螺旋线的定义可得： -0=vt, =wt 这就是以时间 t 为参数的参数方程。 3、建立极坐标方程 参数方程消去 t
2、 后得：-0=v/w 这是所求得的等速螺线的极坐标方程。 设 v/w=a 则 =0+a 此为等速螺线极坐标的一般形式， 是 的一次函数。 特殊情况下，0=0 时，= a， 是 的正比例函数。 三、=a 的图像 其中虚线为 和 取负值时的图像 四、等速螺线的笛卡尔坐标系方程 1、极坐标系和直角坐标系的换算公式 x=cos y=sin 2=x2+y2 tan=y/x 2、等速螺线的笛卡尔坐标系方程 由 =vt =wt 可得 x=vtcos y=vtsin 五、CREO 下的参数方程 1、笛卡尔坐标系 第一个例子 s=v*t angle=t*360 x=s*cos(angle) y=s*sin(an
3、gle) 图中：v=50 表示螺线的极径在 0-50 之间变化，转角在 360 度之内，当达到 360时 极径长度为 50 当转过 90时， t=90/360=1/4 s=50/4=12.5 当转过 180 时，t=180/360=1/2，s=50/2=25 第二个例子 s=50*t angle=5*t*360 x=s*cos(angle) y=s*sin(angle) 第三个例子 s=50*t angle=60+3*t*360 x=s*cos(angle) y=s*sin(angle) 第四个例子 s=50*t angle=-60-2*t*360 x=s*cos(angle) y=s*sin
4、(angle) 2、圆柱坐标系（极坐标系） r=50*t theta=t*360 z=0 （柱坐标系的三个参数为 r，theta，z） 此方程与第一个例子等价的。 六、等速螺线的面积问题 1、扇形的面积公式 =122 S扇形面积 R半径 圆心角，弧度 2、计算曲边扇形面积的数学模型 如上图，由曲线 =()，射线 =，= 围成曲边扇形，要计算其面积，取极角 为积分变量， 它的变化区间在，相应于任一小区间，+d的窄曲边扇形的面积，可以用半径为 =()，圆心角为 d 的扇形的面积来近似代替，从而得到窄曲边扇形面积的近似值，即曲边扇形的 面积元素： =12()2 以此面积元素作为在闭区间，上作定积分，
5、便得所求曲边扇形面积的面积为： 12()2 3、计算等速螺线的面积 如图，计算阿基米德螺旋 变化区间为0，2的一段圆弧与极轴围成图形的面积 根据数学模型，可得： =20122=201222=223320=4323 当 =10 时， 变化区间为0，2时，等速螺线的柱坐标系参数方程为 theta=t*360 r=10*2*pi*t （由 theta 化为弧度，即 t*360*/180=2*t*） 则 =4323=431003=4134.17 计算等速螺旋 变化区间为0，4的一段圆弧与极轴围成图形的面积 如下图： 根据等速螺线的定义起始点为 0 时的极坐标方程为，= a。如图此时的起始点位置为 0=
6、2 由 -0=v/w= 可得 -2=。于是改图像所示的极坐标方程为 =2+=（+2） 此时，当 =10 时， 变化区间为0，4时，等速螺线的柱坐标系参数方程为 theta=2*t*360 r=10*4*pi*t （此方程表示螺线从圆心开始绕两圈） 如果只考虑外圈，不考虑图中的虚线部分，则参数方程为 r=2*10+10*2*t theta=t*360 （此方程表示螺线从 2 点开始绕一圈） 下面计算此图形的面积 =2012(+2)2=20122(+2)2=22(+2)33 20 =50(4)33 50(2)33 =33073.364134.17=28939.19 七、等速螺线的弧长问题 1、弧长
7、元素 如图，设 x，x+x 为（a,b)内相邻的两个点，它们在曲线 y=f(x)上对应的点为 M,M。当 x 足够小时， 弧 MM 近似等于其对应的弦长，用 s 表示弧长，于是有 由函数微分学可知，=2+2 ， 则 由此可得直角坐标系下的弧长元素为 =()2+()2 2、各种形式方程下的弧长 直角坐标方程 由 可推出=2+2 =()2+()2=()2+()2 =1+()2 故此，直角坐标系下区间（a,b)的弧长为 = 1+()2 由参数方程所确定的弧长 =()=() =() =()=()2+()2=()2+()2 故此，在区间（a,b)的弧长为 = ()2+()2 由极坐标方程确定的弧长 =()()=()() =()cos()()()=()sin()+()() =()cos()()()2+()sin()+()()2=()2+()2 故此，在区间（a,b)的弧长为 = ()2+()2 3、计算等速螺线的弧长 1、 变化区间为0，2时，等速螺线的弧长 s = ()2+()2= 2 0 2+()2= 2 0 1+2 =21+2+(1+2+)20 当 =10 时,=5(39.975+2.537)=212.56 2、 变化区间为0，4时，等速螺线的弧长 s =21+2+(1+2+)40 当 =10 时,=5(158.412+3.266)=808.19
