1、大连理工大学网络教育学院 第 1 页 共 4 页 高等数学辅导资料四 主 题：第一章 函数与极限 910 节 学习时间：2014 年 10 月 20 日10 月 26 日 内 容： 这周我们将学习第一章函数与极限 910 节。无穷小量与无穷大量是函数 极限的重要知识，尤其利用等价小是求极限的方法之一。本章的学习要求及需 要掌握的重点内容如下： 基本概念：无穷小量、无穷大量 知识点：利用等价无穷小求极限 第九节、无穷小与无穷大 一、无穷小 若在自变量 的某种变化趋向下，函数 以零为极限，则称在 的这种x)(xf x 趋向下， 为无穷小量 （或无穷小） 。)(f 说明：1、无穷小量并不是表达量的大
2、小，而是表达量的变化性态，或者说 它是描述在某个过程中量的变化趋势。 2、零是可以作为无穷小量的唯一的数，其他任何数，即使其绝对值是很小 很小的数，也不是无穷小量，必须将无穷小量与很小很小的数区分开来，不可 混为一谈。 2、无穷大 若在自变量 的某种变化趋向下，自某时刻起，函数 的绝对值可以大x )(xf 于预先给定的任意大的正数，则称在 的这种趋向下， 为无穷大量（或无x 穷大） 。称当 时， 为无穷大量，常常形式上记为 。称当0x)(f )(lim0xf 时，x 为无穷大量，常常形式上记为 。)(f )(lim0xf 说明：1、无穷大量也是描述在某个变化过程中量的变化趋势，它不是数， 即使
3、绝对值非常大的常数也不是无穷大量。 2、还要指出，无穷小量与无穷大量总是与自变量的变化过程相联系的，脱 落变化过程谈无穷大量与无穷小量是没有意义的。 三、无穷小量的性质 性质 1：若 为无穷大量，则其倒数 为无穷小量；若 为无穷)(xf )(1xf )(xf 小量，且 ，则 为无穷大量。0)(f)(f 大连理工大学网络教育学院 第 2 页 共 4 页 性质 2： 的充分必要条件是 ，其中 当 时Axf)(lim0 Axf)( 0x 为无穷小量。 第十节、无穷小量的比较 一、函数连续性的定义 定义：设 0li,li)()(00xx 若 ，则称在 时， 较 为高阶无穷小量，常记为 。lim)(0x
4、 )(0x)(o 若 ，则称在 时， 较 为低阶无穷小量。)(0lix )(0x 若 ，则称在 时， 与 为同阶无穷小量。lim)(0Ax)(0x 特别当 时，称在 时， 与 为等价无穷小量，常记为 。1)(0x 当 时，0x xexx1,2cos1,)ln(,ta,sin 性质：若当 时 ，且 存在，则 。)(0x,)(0limx )()(00limlixx 说明：上述性质常称为等价无穷小量代换。这个性质常常使用在极限运算 中，起到简化运算的作用，但必须注意，只能在乘除中使用，不能在加减运算 中使用。 范例解析： 1、选择题 当 时，下列（ ）为无穷小量。0x A、 e B、 sin C、
5、x D、 1si 答案：B 2、选择题 当 时， 与 比较，则（ ） 。0x2xsin 大连理工大学网络教育学院 第 3 页 共 4 页 A、 是较 高阶的无穷小量2xsin B、 是较 低阶的无穷小量 C、 与 是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量2xsi D、 与 是等价无穷小量n 答案：A 3、选择题 当 时， 是 的等价无穷小量，则 等于（ ） 。0xkxsi k A、0 B、1 C、2 D、3 答案：B 解析：由等价无穷小量的定义可知， kxkx00limsnli1 4、选择题 当 时，与 等价的无穷小量是（ ） 。0x32x A、 32 B、 x C、 2 D、 3x 答案：B 5、
6、填空题 设 ，则 。2sinlm0kxk 答案： 1 解析：由于当 时， ，可知 ，可知0xsin 21limlisnli000kxkx 。2k 6、计算题 计算极限 。)1ln(siim0xx 大连理工大学网络教育学院 第 4 页 共 4 页 解：所给极限为“ ”型，注意当 时， 。因此00xx)1ln(2silimsnli)1ln(sim00 xxxx 附：扩展知识无穷小量简史 “无穷小的量”这个概念最初在埃利亚学派有所讨论。阿基米德在他的 机械原理方法论初次提出过一种和无穷量有关的逻辑上严密的叙述。不过 在古希腊的数学系统里，实数并没有独立的存在地位，而是用几何上的长度来 表示：1 是代
7、表某条线段的规定长度，用来给出测量所需的长度单位，数的加 减法用线段的延长和截短来表示。阿基米德所说的是：对任意两个长度不等 （无论长度相差多少）的线段，在长线段里不断截去短线段的长度，在有限次 之后就不能再截下去，因为那些短线段长度的“和”超过了原本较长的那一条。 如果把线段长度理解成数的话，则反映了实数集的阿基米德性质：没有任何实 数 x 可以满足条件|x|1，|x|1+1，|x|1+1+1 ，也就是说，无穷大的实 数并不存在。尽管如此，阿基米德还是把无穷大量和无穷小量用于启发式的论 证中，但在完整的数学证明里则拒绝使用它们，而致力于使用“穷竭法”,类似 于现在的“ - 语言” 。 牛顿和莱布尼兹发展微积分学时使用过无穷小量，但这样的不严格使用引 来一些批评者的攻击。贝克莱主教就是其中之一。尽管数学家、科学家、工程 师等不断使用无穷小量来得到正确的结果，微积分却一直到十九世纪后半叶才 等到了其形式上的数学基础，这是由 卡尔魏尔斯特拉斯等人以极限概念为基 础来完成的。在二十世纪，无穷小量才得到了严格的处理，成为一种“数” 。
