1、在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数 的希尔伯特转换(Hilbert transform)在此标示为 是将信号 与 做卷积，以得到 。因 此，希尔伯特转换结果 可以被解读为输入是 的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为 。这是一项有用的数学， 用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在 通讯理论（应用方面的详述请见下文。） 希尔伯特转换是以著名数学家 大卫希尔伯特(David Hilbert)来命名。 希尔伯特转换定义如下： 其中 并考虑此积分为柯西主值(Cauchy pri
2、ncipal value)，其避免掉在 以及 等处的奇点。 另外要指出的是： 若 ，则 可被定义，且属于 ；其中 。 频率响应 希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出： , 其中 是傅立叶变换， i (有时写作 j )是虚数单位 ， 是角频率，以及 即为符号函数。 既然： , 希尔伯特转换会将负频率成分 偏移+90，而正频率成分偏移90 。 反（逆）希尔伯特转换 我们也注意到： 。因此将上面方程式乘上 ，可得到： 从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换 傅里叶变换（Fourier 变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学 者 约瑟夫傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 傅里叶
3、变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概 率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。 例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦 函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种 不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作 为热过程的解析分析的工具被提出的 1。 傅里叶变换属于谐波分析。 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程
4、的求解可以转 化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的 性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响 应来获取。 卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从 而提供了计算卷积的一种简单手段。 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现（其算法称为快速 傅里叶变换算法（FFT）。 线性性质 两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数 和 的 傅里叶变换 和 都存在， 和 为任意常系数，则 ；傅里叶变换算符 可经归一化成为幺正算 符。 平移性质 若函数 存在傅里叶变换，则对任意实数 ，函数 也存在傅里叶
5、变 换，且有 。式中花体 是傅里叶变换的作用算子， 平体 F 表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位 。 微分关系 若函数 当 时的极限为 0，而其导函数 的傅里叶变换存在，则 有 ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘 以因子 。更一般地，若 ， 且 存在，则 ，即 k 阶导数的傅里叶变换等 于原函数的傅里叶变换乘以因子 。 卷积特性 若函数 及 都在 上绝对可积，则卷积函数 （或者 ） 的傅里叶变换存在，且 。卷积性质的逆形式为 ，即两个函数卷积的傅 里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积乘以 。 帕塞瓦尔定理 若函数 可积且平方可积，则 。其 中 F()
6、 是 f(x) 的傅里叶变换。 更一般化而言，若函数 和 皆平方可积，则 。其中 F() 和 G() 分别 是 f(x) 和 g(x) 的傅里叶变换 , *代表复共轭。 连续傅里叶变换 一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”(连 续函数的傅里叶变换)。连续傅里叶变换将平方可积的函数 f（t）表示成复指数函 数的积分或级数形式。 这是将频率域的函数 F()表示为时间域的函数 f（t ）的积分形式。 连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为 即将时间域的函数 f（t）表示为频率域的函数 F()的积分。 一般可称函数 f（t
7、）为原函数，而称函数 F()为傅里叶变换的 像函数，原 函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。 除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通讯或 是讯号处理方面，常以 来代换，而形成新的变换对: 或者是因系数重分配而得到新的变换对： 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换 （Fractional Fourier Transform）。 当 f（t）为偶函数（或奇函数）时，其正弦（或余弦）分量 将消亡，而可以称这时的变换为余弦转换（cosine transform）或正弦转换（ sine transform）. 另一个值得注意的性质是，当 f（t
8、 ）为纯实函数时，F() = F*()成立. 傅里叶级数 连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积分其实 是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的： 其中 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成： 其中 an 和 bn 是实频率分量的振幅。 傅里叶分析最初是研究周期性现象，即傅里叶级数的，后来通过傅里叶变 换将其推广到了非周期性现象。理解这种推广过程的一种方式是将非周期 性现象视为周期性现象的一个特例，即其周期为无限长。 离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。
9、 DTFT 在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT 可以被看作是傅里叶级数的逆 转换。 离散傅里叶变换 为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数 xn 定义在 离散 点而非连续域内，且须满足 有限性或周期性 条件。这种情况下，使用 离散傅里叶变换，将函数 xn 表示为下面的求和形式： 其中 是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为 ，而快 速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为 。计算复杂度的降低以 及数字电路计算能力的发展使得 DFT 成为在信号处理领域十分实用且重要的 方法。 在阿贝尔群上的统一描述 以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部
10、紧致的阿贝尔群上的傅里叶变 换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的 对偶群（dual group）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析 中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里亚金对偶性 （Pontryagin duality）中的介绍。 时频分析变换 小波变换， chirplet 转换和 分数傅里叶变换试图得到时间信号的频率信息。同时解 析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。 傅里叶变换家族 下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其 像函数在频（时）域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信
11、号的非周期性. 变换 时间 频率 连续傅里叶变换 连续，非周期性 连续，非周期性 傅里叶级数 连续，周期性 离散，非周期性 离散时间傅里叶变换 离散，非周期性 连续，周期性 离散傅里叶变换 离散，周期性 离散，周期性 常用傅里叶变换表 下表列出常用的傅里叶变换对。 和 分别代表函数 和 的傅里叶变换. 和 可以使可积函数或衰减的分布。 函数关系 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移， 变换 2 的 频域对应 4 如果 值 较大，则 会收 缩到原点 附近，而 会扩散并 变得扁平. 当 趋向 无穷时， 成为狄拉 克 函数。 5 傅
12、里叶变 换的二元 性性质。 通过交换 时域变量 和频域变 量 得到. 6 傅里叶变 换的微分 性质 7 变换 6 的频域对应 8 表示 和 的卷 积这就 是卷积定 理 9 变换 8 的 频域对应。 平方可积函数 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 0 矩形脉冲 和归一化 的 sinc 函 数 1 1 变换 10 的频域对 应。矩形 函数是理 想的低通 滤波器， sinc 函数 是这类滤 波器对反 因果冲击 的响应。 1 2 tri 是三角 形函数 1 3 变换 12 的频域对 应 1 4 高斯函数 的傅里叶 变换是他 本身.只有 当 时，这是 可积的。 1
13、5 光学领域 应用较多 1 6 1 7 1 8 a0 1 9 变换本身 就是一个 公式 2 0 J0(t) 是 0 阶第一类 贝塞尔函 数。 2 1 上一个变 换的推广 形式; Tn (t) 是 第一类切 比雪夫多 项式。 2 2 Un (t)是第 二类切比 雪夫多项 式。 分布 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 2 3 代表 狄拉克 函数 分布.这个变换展示了狄 拉克 函数的重要性： 该函数是常函数的傅立 叶变换 2 4 变换 23 的频域对应 2 5 由变换 3 和 24 得到. 2 6 由变换 1 和 25 得到， 应用了欧拉公式: 2 7 由变换 1
14、和 25 得到 2 8 这里, 是一个自然数. 是狄拉克 函 数分布的 阶微分。这 个变换是根据变换 7 和 24 得到的。将此变换与 1 结合使用，我们可以 变换所有多项式。 2 9 此处 为符号函 数；注意此变换与变换 7 和 24 是一致的. 3 0 变换 29 的推广. 3 1 变换 29 的频域对应. 3 2 此处 是单位阶跃函 数;此变换根据变换 1 和 31 得到. 3 3 是单位阶跃函数， 且 . 3 4 狄拉克梳状函数有 助于解释或理解从连续 到离散时间的转变. 二元函数 时域信号 角 频 率 表 示 的 傅 里 叶 变 换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 两个函数都是高 斯函数，而且可 能都没有单位体 积. 此圆有单位半径， 如果把 circ(t)认 作阶梯函数 u(1- t); Airy 分布用 J1 (1 阶第一类 贝塞尔函数)表 达; fr 是频率矢量 的量值f x,fy. 三元函数 时域信号 角 频 率 表 示 的 傅 里 叶 变 换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 此球有单位半 径；f r 是频率 矢量的量值 fx,fy,fz.
