1、01.量子力学基础知识 【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长 =670.8nm，这是 Li 原子由电子组态 (1s) 2(2p)1(1s) 2(2s)1 跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以 kJmol-1为单位的能 量。 解： 8114.90ms.690s67.c1.c.c34142-1 -0Js 6.ol78.kJmolAEhNs 【1.2】 实验测定金属钠的光电效应数据如下： 波长 /nm 312.5 365.0 404.7 546.1 光电子最大动能 Ek/10-19J 3.41 2.56 1.95 0.75 作“动能-频率” ，从图的斜率和截距计算出 Plank 常数(
2、h)值、钠的脱出功(W)和临阈频率 ( 0)。 解：将各照射光波长换算成频率 v,并将各频率与对应的光电子的最大动能 Ek 列于下表： /nm 312.5 365.0 404.7 546.1v /1014s1 9.59 8.21 7.41 5.49 Ek/1019 J 3.41 2.56 1.95 0.75 由表中数据作图，示于图 1.2 中 4567891001234 Ek /10-9J10 4g- 图 1.2 金属的 kE图 由式 0khvE 推知 0v 即 Planck 常数等于 k图的斜率。选取两合适点，将 kE和 v值带入上式，即可求出 h。 例如： 193442.7056.086J
3、hJss= 图中直线与横坐标的交点所代表的 v即金属的临界频率 0v，由图可知，140.36vs 。因此，金属钠的脱出功为： 341401962.8WhvJss= 【1.3】金属钾的临阈频率为 5.46410-14s-1，如用它作为光电极的阴极当用波长为 300nm 的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？ 解： 201hvmv2 181234 493.026.105.60.sJs smkg =1344215126.0.5909.8.Jsskm = 【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长： （a） 质量为 10-10kg，运动速度为 0.01ms-1的尘埃； （b） 动能为 0.1
4、eV 的中子； （c） 动能为 300eV 的自由电子。 解：根据关系式： (1) 3421016.2Js6.0mkg.mhmv3412719-1 (2).Js.650kgeV.602JeV 943pT 343119(3) 26.0Js 9.0kg.2C0V78mhpeV 【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为 20kV，计算电 子加速后运动时的波长。 解：根据 de Broglie 关系式： 343119526.09.02074hhpeVJskgCVm= 【1.6】对一个运动速度 c（光速）的自由粒子，有人进行了如下推导： 1vv2hEpm 结果得出 12 的结论
5、。上述推导错在何处？请说明理由。 解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对 立统一和相互制约可由下列关系式表达：/Ehvp 式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性 的纽带是 Planck 常数。根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式： m 知 ，和四步都是正确的。 微粒波的波长 服从下式： /uv 式中，u 是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度 ，但中用了 /uv，显然是 错的。 在中， Ehv无疑是正确的，这里的 E 是微粒的总能量。若计及 E 中的势能，则 也不正确。 【1.7】子弹（质量 0.01kg，速度 1000ms-1） ，尘埃（质量 10-
6、9kg，速度 10ms-1） 、作布 郎运动的花粉（质量 10-13kg，速度 1ms-1） 、原子中电子（速度 1000 ms-1）等，其速度 的不确定度均为原速度的 10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意 义？ 解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为： 子弹： 343416.206.01%hJsx mmvkgm 尘埃： 259. .s 花粉： 3401316.206.3hJxvkg 电子： 611. 7.29. %smm 【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为 1000V，电子运动速度的不确定度 为 的 10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？
7、 解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为： 34119302/06.29.3.8hhxmeVJskgCV= 这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小 来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机 荧光屏上成像无影响。 【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约 610m）观察不到电子衍射（用10V 电压加速电子） 。 解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为： 991.2610/.260xhpVm= 这不确定度约为光学光栅周期的 105 倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光 学光
8、栅周期的 105 倍，用光学光栅观察不到电子衍射。 解法二：若电子位置的不确定度为 106 m，则由不确定关系决定的动量不确定度为： 346281.0.xhJsp= 在 104V 的加速电压下，电子的动量为： 3119429.0.602054xpmeVkgCVJs= 由 p x 和 px 估算出现第一衍射极小值的偏离角为： 28135arcinri6.0si4arcn10xopJsm= 这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电 子衍射。 【1.10】请指出下列算符中的线性算符和线性自轭算符： 2,logsin,ddxx 解：由线性算符的定义： ijijA(
9、)A2d,x 为线性算符;而 dix 为线性自轭算符. 【1.11】 2axe 是算符 224a 的本征函数，求其本征值。 解：应用量子力学基本假设（算符）和（本征函数，本征值和本征方程）得： 22224axddexx22axaee2222222334xaxaxa axdeee6 因此，本征值为 6。 【1.12】下列函数中，哪几个是算符 2dx 的本征函数？若是，求出本征值。 3,sinco,sincoxex 解： 2xd ， 是 2d 的本征函数，本征值为 1。 2dsinx1i,snx 是 2d 的本征函数，本征值为 1。2(co) 【1.13】 ime和 s对算符 di 是否为本征函数
10、？若是，求出本征值。 解： iimde ， ime 所以， ime是算符 i 的本征函数，本征值为 。 而 cossnsincosd= 所以 不是算符 di 的本征函数。 【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。 证：在长度为 l的一维势箱中运动的粒子的波函数为：2sinnxxl 01 n=1，2，3， 令 n 和 n表示不同的量子数，积分： 0 00 0 0 2sinsin2sinsiiin22sinsinsisil ll llxxxddllxllxlllxxllnn = n 和 皆为正整数，因而 和 皆为正整数，所以积分：00lnxd 根据定义， nx和 n互相正交。
11、【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为 2sinnxxl 1,23n 式中 l是势箱的长度， 是粒子的坐标 0，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均 值。 解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量： 2 2nhdnxhdnxH(x)-(si)-(cos)8ml8mxll2ill22sn()88nhhxl 即： 2nEml （2）由于 x()(),xnc无本征值，只能求粒子坐标的平均值： xlnsixlnsil*lnl* d22d000 lcolxlsixl 120020001 2sinsindll l x 2 （3）由于 p,pxnnxc无本征值。按下式计算 px
12、的平均值:1*0dx22sisidihnlxl20ncos0hl 【1.16】求一维势箱中粒子在 1和 2状态时，在箱中 0.49.51ll范围内出现的概率，并 与图 1.3.2（b）相比较，讨论所得结果是否合理。 解：（a） 1sinxxl 221sinxxl 22sinxxl 22sinxxll 由上述表达式计算 1和 2，并列表如下：/xl 0 1/8 1/4 1/3 3/8 1/2211 0 0.293 1.000 1.500 1.726 2.000/l 0 1.000 2.000 1.500 1.000 0/xl 5/8 2/3 3/4 7/8 1211 1.726 1.500 1.
13、000 0.293 0/l 1.000 1.500 2.000 1.000 0 根据表中所列数据作 2nx 图示于图 1.16 中。 图 1.16 （b）粒子在 1状态时，出现在 0.49l和 .51l间的概率为：0.521.49llPxd20.5.49sinl xl 0512.490.51.49isinl lldlxx 0.51.4912si0.nsi.839lll 粒子在 2状态时，出现在 0.49l 和 0.51l 见的概率为： 0.0.20.40.60.81.00.5152.0 x /l2 (x)/l -1 0.0.20.40.60.81.00.5152.0 x/l x /l 0.51
14、22.492051.490512.490.51.49051.49sinisin81i40.5.140.9sinsin.llll lllPxdlxdllxxl lll1 （c）计算结果与图形符合。 【1.17】链型共轭分子 2 2CHCH在长波方向 160nm处出现第一个强 吸收峰，试按一维势箱模型估算其长度。 解：该分子共有 4 对 电子，形成 8n 离域 键。当分子处于基态时， 8 个 电子占据 能级最低的前 4 个分子轨道。当分子受到激发时， 电子由能级最高的被占轨道（n=4） 跃迁到能级最低的空轨道（n=5） ，激发所需要的最低能量为 EE 5E 4，而与此能量对 应的吸收峰即长波方向
15、460nm 处的第一个强吸收峰。按一维势箱粒子模型，可得： 218hchEnml 因此： 12 1349218846.06092.9120nlmcJskgmp= 计算结果与按分子构型参数估算所得结果吻合。 【1.18】一个粒子处在 abc的三维势箱中，试求能级最低的前 5 个能量值以 h2/(8ma2) 为单位，计算每个能级的简并度。 解：质量为 m 的粒子在边长为 a 的立方箱中运动，其能级公式为：22,8xyznxyzhEna 36912 E213=E13=E31E122121E12=E12=E21E1图 1.8 立 方 势 箱 能 级 最 低 的 前 5个 能 级 简 并 情 况 13E
16、2126 E122=E212=E221=9 E113=E131=E311=11 E222=12 【1.19】若在下一离子中运动的 电子可用一维势箱近似表示其运动特征： 估计这一势箱的长度 1.3lnm，根据能级公式 22/8nEhml 估算 电子跃迁时所吸收 的光的波长，并与实验值 510.0 比较。H3CNCCCCNCH3CH3HHHHHHHCH3 解：该离子共有 10 个 电子，当离子处于基态时，这些电子填充在能级最低的前 5 个 型分子轨道上。离子受到光的照射， 电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁所需要的 最低能量即第 5 和第 6 两个分子轨道的的能级差。此能级差对应于棘手光谱的最大波长
17、。 应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长： 22652188hchhEmlll2 2318193489.02.970.0656.lkgsmJn= 实验值为 510.0nm，计算值与实验值的相对误差为 -0.67%。 【1.20】已知封闭的圆环中粒子的能级为： 28nhEmR 0,12,3n 式中 n为量子数， 是圆环的半径，若将此能级公式近似地用于苯分子中 6 离域 键， 取 R=140pm，试求其电子从基态跃迁到第一激发态所吸收的光的波长。 解：由量子数 n 可知，n=0 为非简并态，|n| 1 都为二重简并态，6 个 电子填入 n=0，1， 等 3 个轨道，如图 1.20 所示： 0
18、14 E 图 1.20 苯分子 6 能级和电子排布 22148hcEmR223110813498.090612chkgmsJsmn = 实验表明，苯的紫外光谱中出现 ， 和 共 3 个吸收带，它们的吸收位置分别为 184.0nm，208.0nm 和 263.0nm，前两者为强吸收，后面一个是弱吸收。由于最低反键轨道 能级分裂为三种激发态，这 3 个吸收带皆源于 电子在最高成键轨道和最低反键之间的跃 迁。计算结果和实验测定值符合较好。 【1.21】函数 2/sin(/)32/sin(/)xaxax是否是一维势箱中粒子的一 种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。
19、解：该函数是长度为 的一维势箱中粒子的一种可能状态。因为函数1/si(/)xx 和 2/si(/)x都是一维势箱中粒子的可能状态 （本征态） ，根据量子力学基本假设（态叠加原理） ，它们的线性组合也是该体系的一种 可能状态。 因为 123Hxx 2Hx21488hhmaa 常数 所以， x不是 的本征函数，即其能量无确定值，可按下述步骤计算其平均值。 将 归一化：设 x = c，即： 22 2000aaaddcxd220sin3sinacxa132x 所代表的状态的能量平均值为： 0aExHdx 2022sin3sin8a mxhdccax iix22 23300 0159sinsinsinaa achchxchxdddm a225 也可先将 1x和 归一化，求出相应的能量，再利用式 2iEc 求出 所代表的状态的能量平均值： 222404988hhcEccmama213h25ma
