1、二基本图形的辅助线的画法 1.三角形问题添加辅助线方法 方法 1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常 利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解 决了问题。 方法 2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性 质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法 3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关 于平分线段的一些定理。 方法 4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常 采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一 部分等于第一条线段，而另一
2、部分等于第二条线段。 2.平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具 有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的 平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角 形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： （1）连对角线或平移对角线： （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 （3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造 线段平行或中位线 （4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等 积三角形。 （5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或
3、三角形全等. 3.梯形中常用辅助线的添法 梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添 加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助 线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有： （1）平移一腰，构造一个平行四边形和三角形。 （2）延长两腰，构造三角形和梯形 （3）过梯形上底的两端点向下底作高 （4）平移对角线 （5）连接梯形一顶点及一腰的中点或过一腰的中点作另一腰的平行线。 当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、 单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问 题来解决，这是解决问题的关键。
4、4.圆中常用辅助线的添法 在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架 起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此， 灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的 能力是大有帮助的。 （1）见弦作弦心距 有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平 分定理，来沟通题设与结论间的联系。 （2）见直径作圆周角 在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的 圆周角是直角“ 这一特征来证明问题。 （3）见切线作半径 命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用“切线与半径 垂直“ 这
5、一性质来证明问题。 一、旋转变换：旋转变换是几何变换中的基本变换之一，通过旋转，改变位置后重 新组合，然后在新图形中分析有关图形间的关系，进而揭示条件与结论间的内在联系，找 到证题途径。旋转变换的性质（1）旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的性质，也 就是旋转前后图形全等；（2）对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角。 典型例题： 例 1. 如图，四边形 ABCD 中，BAD=BCD=90 0,AB=AD,若四边形 ABCD 的面积是 24cm2.则 AC 长是 cm. 例 2. 如图所示，在梯形 ABCD 中，ABCD，E 是 BC 的中点，EFAD 于点 F， AD4，EF5，则梯形
6、 ABCD 的面积是【 】 A40 B30 C20 D10 练习题： 1. 如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O 1、O 2 是其中两个正方形的中心，则阴影 部分的面积是 . 2.探究问题： 方法感悟：如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且满足 EAF=45，连接 EF，求证 DE+BF=EF 感悟解题方法，并完成下列填空： 将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABG，此时 AB 与 AD 重合，由旋转可得： AB=AD，BG=DE, 1=2，ABG=D=90，ABG+ABF=9090=180， 因此，点 G，B，F 在同一条直线上 EAF=4
7、5 23=BADEAF=9045=45 1=2， 13=45即GAF=_来源:Zxxk.Com 又 AG=AE，AF=AFGAF_=EF，故 DEBF=EF 方法迁移： 如图，将 RtABC 沿斜边翻折得到ADC ，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且 EAF= DAB试猜想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想21 问题拓展： 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，E，F 分别为 DC,BC 上的点，满足 EAF= DAB,试猜想当B 与D 满足什么关系时，可使得 DE+BF=EF请直接写出21 你的猜想（不必说明理由） 3. （ 2012 辽宁本溪 12 分）已知
8、，在ABC 中，AB=AC。过 A 点的直线 a 从与边 AC 重 合的位置开始绕点 A 按顺时针方向旋转角 ，直线 a 交 BC 边于点 P（点 P 不与点 B、点 C 重合 ） ，BMN 的边 MN 始终在直线 a 上（点 M 在点 N 的上方） ，且 BM=BN，连接 CN。 （1）当BAC=MBN=90时， 如图 a，当 =45时，ANC 的度数为_； 如图 b，当 45时，中的结论是否发生变化？说明理由；来源:学科网 ZXXK （2）如图 c，当BAC= MBN90时，请直接写出ANC 与BAC 之间的数量关系， 不必证明。 旋转五大模型 (一)中线倍长法: 例 1 、求证：三角形一
9、边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，求证：AD (AB+AC)21 分析：要证明 AD (AB+AC)，就是证明 AB+AC2AD，也就是证明两条线21 段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边” ，但题中 的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应 该进行转化。待证结论 AB+AC2AD 中，出现了 2AD，即中线 AD 应该加倍。 证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连 CE，则 AE=2AD。 在ADB 和EDC 中， AD=DE ADB= EDC BD=DC ADBEDC(SAS)
10、AB=CE 又 在ACE 中， AC+CEAE AC+AB 2AD，即 AD (AB+AC)21 小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。 它可以将分居中线两旁的两条边 AB、AC 和两个角BAD 和CAD 集中于同 一个三角形中，以利于问题的获解。 课题练习: 中，AD 是 的平分线，且 BD=CD，求证 AB=ACABCA 例 2: 中线一倍辅助线作法 ABC 中 方式 1： 延长 AD 到 E， B CD A E CD A B D A B C E D A B C AD 是 BC 边中线 使 DE=AD， 连接 BE 方式 2：间接倍长 作 CFAD 于
11、F， 延长 MD 到 N， 作 BEAD 的延长线于 E 使 DN=MD， 连接 BE 连接 CD 例 3：ABC 中，AB=5 ，AC=3，求中线 AD 的取值范围 例 4：已知在ABC 中，AB=AC ，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且 DF=EF，求证：BD=CE 课堂练习：已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 F ED CB A N D CB A M FE D A B C F EC A B D BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF 例 5：已知：如图，在 中， ，D、E 在 BC 上，且 DE
12、=EC，过 D 作ABC 交 AE 于点 F，DF=AC.BDF/ 求证：AE 平分 课堂练习：已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD 的中线，求证：C=BAE （二）截长补短法 例 1. 已知，如图 1-1，在四边形 ABCD 中， BC AB， AD=DC， BD 平分 ABC. 求证： BAD+ BCD=180. 分析：因为平角等于 180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等 转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三 角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点 D 作 DE 垂直 BA 的延长线于点 E，作 DF BC 于点 F，如图 1- 2 图
13、1 图图 A B F D E C E D A B C A B C D 图 1-1 F E D CB A 图 1-2 A D B C E 图 2-1 BD 平分 ABC， DE=DF， 在 Rt ADE 与 Rt CDF 中，CDAFE Rt ADE Rt CDF(HL), DAE= DCF. 又 BAD+ DAE=180， BAD+ DCF=180， 即 BAD+ BCD=180 例 2. 如图 2-1， AD BC，点 E 在线段 AB 上， ADE= CDE， DCE= ECB. 求证： CD=AD+BC. 例 3. 已知，如图 3-1，1=2， P 为 BN 上一点，且 PD BC 于点 D， AB+BC=2BD. 求证： BAP+ BCP=180. 例 4. 已知：如图 4-1，在 ABC 中， C2 B，12. 求证： AB=AC+CD. A B CD P 12 N 图 3-1 D CB A 12 图 4-1
