1、角的概念的推广教学设计 哈尔滨市交界职业高中 杜银霞 课 题： 角的概念推广（第一课时） 教学目的： 1.掌握用“旋转 ”定义角的概念，理解并掌握 “正角”“负角”“象限角”“ 终边相同的角” 的含义。 2.掌握所有与 角终边相同的角(包括 角) 的表示方法。 3.从“射线绕着其端点旋转而形成角” 的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻 理解推广后的角的概念。 教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。 教学难点：终边相同的角的表示。 设计理念： 本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角 的表示方法。树立运动变化的观点
2、，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后 的角的概念。教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝 扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象， 形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题，让学生从不同 角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的 表示方法，达到突破难点之目的。 教学过程： 一、复习引入： 1回忆：初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是 0360，但其仅从图形的 形状来定义
3、角，弊端在于“狭隘” 。 2生活中很多实例会不在范围 0360内。 如：体操运动员转体 ，跳水运动员向内、向外转体 经过 1 小时时针、分针、秒针转了多少度？ 这些例子不仅不在范围 ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想 来研究角的概念。 二、讲解新课： 1角的概念的推广 “旋转”形成角 一条射线由原来的位置 OA，绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到另一位置 OB，就形成角 旋转开始时的射线 OA 叫做角 的始边，旋转终止的射线 OB 叫做角 的终边，射线的 端点 O 叫做角 的顶点 突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“ 终边” “正角”与“负角”“零角” 我们把按逆时
4、针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角， “正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零 角 意义 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1 角有正负之分 如：a=210 b=-150 g=660 2 角可以任意大 实例：体操动作：旋转 2 周（3602=720） 3 周（3603=1080） 3 还有零角 一条射线，没有旋转 角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角要注意，正角和负角是表示具有 相反意义的旋转量。 2“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨
5、论角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落在第几象 限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,我 们称其为界限角） 下面由学生自己分别举出终边在一、二、三、四象限的角以及界限角(各举两例) 例如：30、 390、-330是第一象限角，-195、120是第二象限角, 585、1180 是第三象限 角，300、-60是第四象限角。90 、0、-180都是界限角。 3终边相同的角 观察：390 ，-330角，它们的终边都与 30角的终边相同 探究：终边相同的角都可以表示成一个 0到 360的角与 个周角的和： 390=30+
6、 360 -330=30-360 30=30+0360 对于任意一个角，若其终边与 相同，那么它们之间都相差 360的整数倍。 结论：所有与角 a 终边相同的角连同 a 在内可以构成一个集合： |=+k360 ，k Z （即：任何一个与角 a 终边相同的角，都可以表示成角 a 与整数个周角的和。） 注意以下四点： (1) kZ； (2) a 是任意角； (3) k360与 a 之间是“+”号， 如 -30，应看成 +(-30)； (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它 们相差 360的整数倍 三、讲解范例： 例 1：写出与下列各角终边相同的角的集合，
7、并指出它们是哪个象限的角 （1） 30 （2） 135 （3） 225 （4）300 解：（1）与 30 终边相同的角的集合是 A=|=30+k360 ，kZ 因为 30 是第一象限角，所以集合 A 中的角都是第一象限的角。 （2）与 135 终边相同的角的集合是 A= |=135+k 360 ，kZ 因为 135是第二象限角，所以集合 A 中的角都是第二象限的角。 （3）与 225 终边相同的角的集合是 A=|=225+k360 ，kZ 因为 225是第三象限角，所以集合 A 中的角都是第三象限的角。 （4）300与 终边相同的角的集合是 A=|=300+k360 ，kZ 因为 300 是第
8、四象限角，所以集合 A 中的角都是第四象限的角。 四、课堂练习： 1锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于 90的角是锐角吗？ (答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于 90的角可能是零角或负角故它不 一定是锐角) 2已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在 x 轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它 们是哪个象限的角？ (1)420，(2)-75，(3)855，(4)-510 (答：(1)第一象限角，(2) 第四象限角， (3)第二象限角，(4)第三象限角) 作图时应注意：顶点与坐标系原点重合，始边落在 x 轴的正半轴上（图略） 五、小结： 本节课我们学习了正角、负角和零
9、角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴 上，就认为这个角不属于任何象限本节课重点是学习终边相同的角的表示法严格区分“ 终边相同”和 “角相等”；“界限角”“象限角”； “小于 90的角”“ 第一象限角” 和“锐角”的不同意 义. 六、课后作业： 1.下列命题中正确的是( ) A.第一象限的角一定不是负角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角 D.若 360（ ），则 与 终边相同 2.下列角中,与 终边相同的角是( ) A. B. C. D. 3.如果 ，那么角 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 4.若角 与 终边相同，则一定有( ) A.180 B. 0 C. 360， D. 360， Z 5.钟表经过 4 小时，时针与分针各转了 (填度). 6.在直角坐标系中，作出下列各角,并判断各为第几象限角(或界限角). (1)360
