1、1 圆周角、圆心角以及垂径定理总结与提高 知识点： 1、圆周角的性质： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相 等. 90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 2、垂径定理及推论： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 平行弦
2、夹的弧相等. 3、关系定理： 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的 任意一组量相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 课前热身 .下列说法不正确有 A过一点可作无数个圆，那是因为圆心不确定，半径也不确定 B过两个点可以画无数个圆，圆心在这两点连线段的中垂线上 C优弧一定比劣弧长 D两个圆心角相等那么所对的弧也相等 E.平分弦的直径垂直于弦 F弦的中垂线必过圆心 .正方形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 在劣弧 CD 上不同于点 C 得到任意一 点，则BPC 的度数是（ ） A B4560 O PD CB A 图 1 2 H GF D E C B A O D
3、 C BA C D7590 、如图 2， 是O 的直径，点 都在O 上，ABCDE， ， 若 ，则 .E B 、如图3，弦AC、BD相交于点E， = = , AB BC CD AED=80,ACD的度数为_ 5、在O中，弦AB把O分为度数比为 的两条弧，则15 弧AB所对的圆心角的度数为_ 6、圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是 _ 7、如图，量角器外沿上有 A、B 两点，它们的读数分别是 70、40，则1 的度数为_ 8、如图，将半径为 8 的O 沿 AB 折叠，AB 恰好经过与 AB 垂直的半径 OC 的中 点 D，则折痕 AB 长为（ ） A2 B41515 C8 D
4、10 9、如图,ABC 的高 CF、BG 交于点 H,分别延长 CF、BG 与ABC 的外接圆交于 DE 两点,则下列结论:AD=AE;AH=AE;若 DE 为ABC 的外接圆的直径,则 BC=AE;其中正确的是( ) A.； B. ； 图 2 ABCDEO O 图 3 B A D C E 3 P B A O C. ； D. 10、在O 中,弦 CD 垂直于直径 AB,E 为劣弧 CB 一动点(不与点 BC 重合),DE 交 弦 BC 于点 N,AE 交半径 OC 于点 M,在 E 点运动过程中, AMC 与BNE 的大小关 系为( ) A.AMCBNE； B. AMC=BNE； C. AMC
5、BNE； D. 不能确定. 11. .如图，P 的半径为 5，且与 Y 坐标轴分别交于点 A（2，0） ，B（10，0） ，点 P 的坐标为： 。 如图，P 与两坐标轴分别交于点 A（2，0） ，B（6，0） 、C（0，3）和点 D，双曲线 过点 P，则 k= 。xky 二、综合分析 知识点：1.圆的基本性质定理；2.全等三角形；3.直角三角形相关性质（勾股 定理）勾股定理；4.基本图形、基本辅助线；5.方程（组）思想。 例、如图所示，P 为弦 AB 上一点，CPOP 交O 于点 C，AB8，AP:PB1:3，求 PC 的长。 NM E O D C BA O A P B C 4 例、如图,两正
6、方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形 ECFH 的面积为 16cm2, 求半圆的半径。 例、如图，D 为 RtABC 斜边 AB 上的一点，以 CD 为直径作O 交边 AB 于 E、F 两点，DGAB 于点 G。 （1）求证：AF=GE； （2）若 AF=2，FG=AC=4，求O 的半径。 例、如图，以ABC 的边 BC 为直径作O 分别交 AB、AC 于 D、E 两点，过 B、C 两点分别作 DE 的垂线，垂足分别为 M、N。 求证：DM=EN； H FE D CB A O 5 练习： 、半径为 2 5的O 内有互相垂直的两条弦 AB、CD 相交于 P 点设 BC 中点 为 F，连接 FP
7、并延长交 AD 于 E， （1）求证：EFAD； （2）若 AB=8，CD=6，求 OP 的长。 、O 中弦 ABCD，垂足为 E，过 E 作 AC 的垂线，垂足为 F，交 BD 于 G。 （1）求证：BD=2EG; (2)连接 OG，若 CE=4，DE=6，BD=10，求 OG 的长。 、如图，在 RtABC 中，ACB90，AC5，CB12，AD 是ABC 的角平 分线，过 A、C、D 三点的圆与斜边 AB 交于点 E，连接 DE。 （1）求证：ACAE；（2）求ACD 外接圆的半径。 A C BD E O G E F DC B A 6 O I D C A B OH D C F EBA 、
8、如图，ABC 内接于O，BAC 与ABC 的平分线相交于点 I，延长 AI 交 O 于点 D，连接 BD、CD。求证：BD=DC=DI。 、如图，在O 中，直径 AB 垂于弦 CD 于点 H，E 为 AB 的延长线上一点，CE 交O 于点 F。 （1）求证：BF 平分DFE； （2）若 DF=EF，BE=5，CH=3，求O 的半径。 、如图，O 的直径 AB 长为 10，弦 AC 长为 6，ACB 的平分线交O 于点 D，求四边形 ADBC 的面积. A B C O D 7 E OAC BD 、如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BA 延长线（AEAB一点，连接 DE 与正方 形 ABCD
9、 的外接圆交于点 E，BF 与 AD 交于点 G。 （1）求证：BG=DE； （2）若 AB=2AE，BE=6 ，求 FG 的长。2 G 圆的综合 1.已知 RtABC，AC=2，C=90, B=30,D 为射线 BC 上一动点，经过点 A 的圆 O 与 BC 相切于点 D，交线段 AC 于点 E。 （1）如图 1，当点 O 在斜边 AB 上时，求圆 O 的半径； （2）如图 2，点 D 在线段 BC 上，当 E 为 AC 中点时，连结 DE，求 DE 的长； （3）点 D 在线段 BC 的延长线上，使四边形 AODE 为菱形时，DE 的值为 。 （直接写出结果） A C B E O A C
10、BD 8 .如图，C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 A 的坐标 为（0，4） ，M 是圆上一点，BMO=120 （1）求证：AB 为C 直径 （2）求C 的半径及圆心 C 的坐标 .如图，点 M 为 x 轴上一点，M 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C、D， 设 C（0， ） ，B（3，0） （1）求点 M 的坐标 （2）点 P 为弧 BC 上任一点，Q 为弧 CP 的中点，直线 BP、DQ 交于点 E，求 BE 的长 OB A C y xM 9 （3）连接 AC、BC，作ACB 的外角BCK 的平分线 CF 交于点 F，连接 AF，求 的值AFC 巩固：
11、 .如图，ABC 内接于O，且 ABAC，BAC 的外角平分线交O 于 E，EFAB，垂足为 F。 （1）求证：EB=EC （2）若 EF=AC=3，AB =5，求 BF 的长。 .如图，RtABC 内接于O， CDAB 于 D，CE 平分OCD。 （1）求证：EA =AB （2）若 CE=4，求四边形 ACBE 的面积。 10 .如图，ABC 内接于O，ACB=90 0，BAC 的外角平分线交O 于点 D，AC、BD 交于点 E，连接 CD。 （1）求证：DOAB （2）若 AB=3，BC =4，求ADE 的面积 、如图，A、B、C、D 四点在O 上，AB 是直径。 （1）过点 A 作 AE
12、CD 于点 E，求证：DAE=CAB； （2）若ACD=BAD，AD= ，求O 的半径。23 DO EBC A 11 .已 知 Rt ABC 中 ， A=300， C=900， AB=12， D 为 射 线 AB 上 一 动 点 ， 经 过 点 C 的 O 与 直 线 AB 切 于 点 D， 交 射 线 AC 于 点 E。 （ 1） 如 图 1， 当 点 O 在 边 AC 上 时 ， 求 O 的 半 径 ； （ 2） 如 图 2， 当 CD 平 分 ACB 时 ， 求 O 的 半 径 ； （ 3） 如 图 3， 当 D 为 线 段 AB 的 延 长 线 上 一 点 ， 且 CD= BC 时 ， 则 DE3 的 长 为 。 图1 D A O CB E O C图2 D A B D A B C
