1、金瀚海教育测试专用 中小学课外一对一辅导专家 做良心教育- 树百年品牌 金瀚海教育学业水平摸底测试卷 高二数学试题（理） 第 I 卷 一、选择题：（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1若复数 1zi（ 为虚数单位） ，则 z（ ） A-1+3i B-3-i C3-i D1-3i 2设函数 2,0(),xfg 且 ()fx为奇函数，则 (3)g= （ ） A8 B 18C-8 D 18 3已知等差数列 na的前三项依次为 ,123a，则此数列的通项公式 na等于 （ ） A2n-3 B2n+1 C2n-5 D2n-1 4输出 1000 以内能被 3 和 5 整除的所有正整数，令
2、 5(1,23,6)an ， 算法程序框图如图所示，其中处应填写 （ ） A 68nB 6 C 7D 7 5已知 01a，函数 ()|log|xaf的零点个数为 （ ） A2 B3 C4 D2 或 3 或 4 6在 B中，条件甲： AB，条件乙： 22cosA，则甲是乙的 （ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 金瀚海教育测试专用 中小学课外一对一辅导专家 做良心教育- 树百年品牌 7一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 （ ） A4 B6 C8 D12 8函数 ()fx在定义域 R 内可导，若 ()1)fx， ()(02xf，设10,),
3、(3)2abfcf ，则 （ ） A B abC cbaD bca 9已知直线 1xy和点 (,)A（其中 a，b 都是正实数） ，若直线过点 P（1，1） ，则 以坐标原点 O 为圆心，OA 长为半径的圆面积的最小值等于 （ ） A 6B 2C 4D 10如图，平面内有三个向量 ,AO，其中 AB与 的夹角为 150，OC与 的夹角为 30， |23， |23，若AB ，则 的值等于 （ ） A1 B2 C3 D4 第 II 卷（非选择题） 二、填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11若 (12)nx展开式中含 3x项的系数等于含 x 项的系数的 8 倍，则 n=
4、； 12考察下列一组不等式： 2243351222.,5, 将上述不等式在左右两端仍为两项 和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 金瀚海教育测试专用 中小学课外一对一辅导专家 做良心教育- 树百年品牌 。 13已知实数 x，y 满足不等式组 ,20,yx 那么目标函数 3zxy的最大值是 。 14函数 ()sin(),|)2fxAx的部分图象如图所示，则 ()fx= 。 15 （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A （不等式选做题）若关于 x 的不等式 |1|2|xa有解，则实数 a 的取值范 围是 。 B （几何证明选
5、做题）如图所示，圆 O 是 ABC的外接圆， 过 C 点的切线交 AB 的延长线于点 D， 7，AB=BC=3， 则 AC 长 。 C （坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线 cos()24与圆 的 公共点个数是 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （本题满分 12 分） 设函数 2()sin)sin.xfx （1）求 的最小正周期； （2）记 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ()1,3fAac， 求 b 值。 17 （本题满分 12 分） 金瀚海教育测试专用 中小学课外一对一辅导专家 做良心教育- 树百
6、年品牌 设数列 na的前项 n 和为 nS，点 ,()nN均在函数 21yx的图像上。 （1）求数列 n的通项公式； （2）设 14,nnbTa是数列 nb的前 n 项和，求证： 1.nT 18 （本题满分 12 分） 已知椭圆 2:1(0)xyCab 的离心率为 2，其中左焦点 F（-2，0） 。 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 yxm与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且线段的中点 M 在圆x 上，求 m 的值。 金瀚海教育测试专用 中小学课外一对一辅导专家 做良心教育- 树百年品牌 19 （本题满分 12 分） 如图，已知 PA平面 ABC，且 2PA，等腰直角三角形 ABC
7、中，AB=BC=1，,BCDB 于 D， EC于 E。 （1）求证： 平面 ADE； （2）求直线 AB 与平面 ADE 所成角的大小。 20 （本题满分 13 分） 某娱乐中心拟举行“春节”庆祝活动，每位来宾交 30 元入场费，可参加一次抽奖活动， 抽奖活动规则是：从一个装有分值分别为 1，2，3，4，5，6 六个相同小球的抽奖箱中， 有放回地抽取两次，每次抽取一个球，规定：若抽得两球分值之和为 12 分，则获得价 值为 m 元礼品；若抽得两球分值之和为 11 分或 10 分，则获得价值为 100 元礼品；若 抽得两球分值之和小于 10 分，则不获奖。 （1）求每位会员获奖的概率； （2）假
8、设这次活动中，娱乐中心既不赔钱，也不嫌钱，则 m 应为多少元？ 金瀚海教育测试专用 中小学课外一对一辅导专家 做良心教育- 树百年品牌 21 （本题满分 14 分） 已知函数 221(),()3lnfxaxgxb，其中 0a。设它们的图像有公共 点，且在该点处的切线相同。 （1）试用 a 表示 b； （2）求 ()()Fxfx的极值； （3）求 b 的最大值。 金瀚海教育测试专用 中小学课外一对一辅导专家 做良心教育- 树百年品牌 参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 理(A) C D A D A C A B B C 理(B) A B C D A C A B
9、C D 文(A) C D D D A C A A B C 文(B) A B C D A C A B C D 二、填空题： 115 文 )2,( 12 0,0nmbababamnnm 13.4 14 48sinx 15A. 3 B. 27 C.1 ； 三、解答题： 16.解：（1） xxxf cos1ssin2si)6si() )6i(1coin23 3 分T . 6 分 （2）由 6,0)6sin(,1)( AAf 故得 .7 分 解法 1：由余弦定理 ,cos22ba 得 1,22 或解 得bb.12 分 解法 2：由正弦定理 32,sin,isin或得 CCcA. 当 2,32bBC从 而
10、.9 分 当 1,6a从 而又时 .11 分 故 a 的值为 1 或 2.12 分 17解：（1）由条件知 nsnsn2,12即 .2 分 金瀚海教育测试专用 中小学课外一对一辅导专家 做良心教育- 树百年品牌 当 3412221 nnsannn时 ， .4 分);(341 Na符 合 上 式 ， 所 以时 ，又 6 分 (2) 114341 nnabn . 8 分 1433-9-5321 nbTnn4- . 10 分Nn01 1 4n即 1nT.12 分 【文】 23nnb, 12121 234.95nnbT . 1nn 34.953 . 8 分 2 - 得 nn82.10 分 1 274n
11、T . 12 分 18、解：（1）由题意得 22,cba 3 分 解得 2ba的 方 程 为椭 圆 c1482yx .6 分 (2) 设点 A.B 的坐标分别为 2,x，线段 AB 的中点为 0,yxM由mxy1482 消 y得， 08432m.8 分0962 .3,3010 xyx .10 分 金瀚海教育测试专用 中小学课外一对一辅导专家 做良心教育- 树百年品牌 上 ，在 圆点 1,20yxyM53,)3(2-(2m .12 分 19.解：（1）证明：因为 ABCP平 面， 所以 BCA,又 ,且 , 所以 平 面 ,从而 D.3 分 又 PD, ,所以 PBCA平 面,得 AD， 又 A
12、EC,所以 E平 面 6 分 (2)在平面 PBC 上，过点 B 作 BF 平行于 PC 交 ED 延长线于点 F，连结 AF, 因为 P平 面, 所以 ADEBF平 面 , F为直线 AB 和平面 ADE 所成的角.9 分 在三角形 PBC 中， PD= 32，则 BD= 3，得 BF= 21 在 Rt中， 1sinBA， 所以直线 AB 与平面 ADE 所成的角为 012 分 另解：过点 B 作 BZAP,则 BZ平面 ABC,如图所示，分别以 BA,BC,BZ 所 在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.则 A（1，0，0）, C（0，1，0）, P（1，0， 2） ，因为
13、DEPC平 面 ，设向量 ABPC与 所成的 角为 ， 则 1,01cos22CABP ， 则直线 AB 与平面 ADE 所成的角为 312 分 【文】过 D 点作 BAF垂直为 E,由题意知 DF面 ABC， 即 DF 为所求距离.8 分 金瀚海教育测试专用 中小学课外一对一辅导专家 做良心教育- 树百年品牌 由题设得 DFPA, 所以 BDE AP,即 DF= BAD， 又 BDA P即 BD= 3 2 ，31 . DE= 32 .11 分 即点 D 到平面 ABC 的距离为 .12 分 20解：（1）设每位会员获奖的事件为 A,则事件 A 表示抽得两球分值之和为 12 分或抽得两球分值之
14、和为 11 分或 10 分.2 分 由已知，从一个装有分值分别为 1,2,3,4,5,6 六个相同小球抽奖箱中，有 放回地抽取两次，所得所有结果数（列表略）共有：36 个，易知，其中的事件 A 共有 6 个.4 分 所以 P(A)= 1.6 分 （2）设每位来宾抽奖后，娱乐中心获利为随机变量 元，则 可能取值为三种 30-m,-70,30，而其中每种可能情况下相应的概率分别为 ,361)0(mP 8 分,57,6)30( 则 随机变量 的分布列为： 10 分 从而求得 36580mE. 若这次活动中娱乐中心既不赔钱也不赚钱，则 E=0， 30-m -70 30 P 36156 金瀚海教育测试专
15、用 中小学课外一对一辅导专家 做良心教育- 树百年品牌 O 19图图 181716151413 图 图图图图 0.060.08 0.16 0.32 0.38 所以 m=580 元.13 分 【文】解：（）由直方图知，成绩在 16,4内的人数为：2738.0516.0 （人） 所以该班成绩良好的人数为 27 人. 4 分 （）由直方图知，成绩在 4,的人数为 306.5（ 人） ，设这三人为 x、y 、 z；6 分 成绩在 18,7 的人数为 408.5（ 人） ，设这四人为 A、 B、 C、 D. 当 )4,3,nm时，有 yzx,共 3 种情况； 当 18,7,时，有 CDBA, 共 6 种
16、情况； 当 ,分别在 4,3和 18,7内时， A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD z zA zB zC zD 共有 12 种情况. 10 分 所以基本事件总数为 21 种. 记事件“ nm”为事件 E, 则事件 E 所包含的基本事件个数有 12 种. P（E）= 7421. 即事件“ nm” 的概率为 7.13 分 21解：（1）设 ()yfx与 ()ygx的公共点为 (,)xy. ()2fxa， 23a ，由题意 00fg， 00()fxg. 即 200lnxb， 200x .2 分 得 203xa 得： a或 3（舍去）. 金瀚海教育测试专用 中小学课
17、外一对一辅导专家 做良心教育- 树百年品牌 即有 222153ln3lnbaaa.4 分 （2） 21()()(0)Fxfgxxbx， 则 2() .6 分 所以 ()x在 0)a小上为减函数，在 a小 上为增函数， 于是函数 F在 时有极小值，()=x小 00()()xfgx ，2213ln(0)fgab 无极大值. 8 分 （3）由（1）知 令 5()htt， 则 ()213lnt. 10 分 当 13ln0t，即 13te 时， ()0ht； 当 ()t，即 时， . 故 h在 13,e 为增函数，在 13(,) 为减函数. 12 分 于是 ()t在 0)上的极大值即为最大值： 123()he ， 即 b的最大值为 23e . 14 分
