圆锥曲线的性质.doc

上传人:sk****8 文档编号:4222688 上传时间:2019-10-05 格式:DOC 页数:11 大小:1.02MB
下载 相关 举报
圆锥曲线的性质.doc_第1页
第1页 / 共11页
圆锥曲线的性质.doc_第2页
第2页 / 共11页
圆锥曲线的性质.doc_第3页
第3页 / 共11页
圆锥曲线的性质.doc_第4页
第4页 / 共11页
圆锥曲线的性质.doc_第5页
第5页 / 共11页
点击查看更多>>
资源描述

1、第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 圆锥曲线的性质 一、基础知识 (一)椭圆: 1、定义和标准方程: (1)平面上到两个定点 的距离和为定值(定值大于 )的点的轨迹称为椭圆,12,F12F 其中 称为椭圆的焦点, 称为椭圆的焦距2,F (2)标准方程: 焦点在 轴上的椭圆:设椭圆上一点 , ,设距离和x,Pxy12,0,Fc ,则椭圆的标准方程为: ,其中12PFa 2ab220,abac 焦点在 轴上的椭圆:设椭圆上一点 , ,设距离和y,xy120,c ,则椭圆的标准方程为: ,其中12a 2ab220,abac 焦点在哪个轴上,则标准方程中哪个字母的分母更大 2、椭圆的性质:以焦点在 轴的

2、椭圆为例:x 210xyab (1) :与长轴的顶点有关: , 称为长轴长a12,0,A12Aa :与短轴的顶点有关: , 称为短轴长bBB :与焦点有关: , 称为焦距c12,Fc12Fc (2)对称性:椭圆关于 轴, 轴对称,且关于原点中心对称xy (3)椭圆上点的坐标范围:设 ,则0,P00,axby (4)通径:焦点弦长的最小值 焦点弦:椭圆中过焦点的弦 过焦点且与长轴垂直的弦 2bPQa 说明:假设 过 ,且与长轴垂直,则 ,所以P1,0Fc00,PcyQy 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 ,可得 。则 242001cybaba20bya2bPQa (5)离心率: ,因为 ,所以c

3、e,1e (6)焦半径公式:称 到焦点的距离为椭圆的焦半径P 设椭圆上一点 ,则 (可记为“左加右减” )0,xy1020,FaxPaex 焦半径的最值:由焦半径公式可得:焦半径的最大值为 ,最小值为cac (7)焦点三角形面积: (其中 )12tnPFSbA 12F 证明: 12 2siPFSA 且 2112cosP 122FF2 14cscaP221211cosobFFPF12 21212 121insincPFSA 2112sitacobbPF 因为 ,所以 ,由此得到的推论:120PFSyA 2120tnFPcy 的大小与 之间可相互求出 的最大值: 最大 最大 最大 为短轴顶点121

4、2PF12PFSA0yP (二)双曲线: 1、定义:平面上到两个定点 距离差的绝对值为一个常数(小于 )的点的轨迹12, 12F 称为双曲线,其中 称为椭圆的焦点, 称为椭圆的焦距;如果只是到两个定点12,F12F 距离差为一个常数,则轨迹为双曲线的一支12,F 2、标准方程: 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 焦点在 轴:设双曲线上一点 , ,设距离差的绝对值x,Pxy12,0,Fc ,则双曲线标准方程为: ,其中12PFa 2ab20,abc 焦点在 轴:设双曲线上一点 , ,设距离差的绝对值y,Pxy120,Fc ,则双曲线标准方程为: ,其中12PFa 2ab20,abc 焦点在哪个轴

5、上,则对应字母作为被减数 2、双曲线的性质:以焦点在 轴的双曲线为例:x 210,xyab (1) :与实轴的顶点有关: , 称为实轴长a12,0,Aa12A :与虚轴的顶点有关: , 称为虚轴长bBbBb :与焦点有关: , 称为焦距c12,Fc12Fc (2)对称性:双曲线关于 轴, 轴对称,且关于原点中心对称xy (3)双曲线上点坐标的范围:设 ,则有 或 , 0,P0xa00yR (4)离心率: ,因为 ,所以 cea1,e (5)渐近线:当 或 时,双曲线在向两方无限延伸时,会向某条直线无x 限靠近,但不相交,则称这条直线为曲线的渐近线。 双曲线渐近线的求法:无论双曲线的焦点位于哪条

6、轴上,只需让右侧的 1 变为 0,再解 出 关于 的直线即可。例如在 中,求渐近线即解:yx 210,xyab ,变形为 ,所以 即为双曲线的渐近线 20abbyax 渐近线的几何特点:直线 所围成的矩形,其对角线即为双,xyb 曲线的渐近线 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 渐近线的作用:一是可以辅助作出双曲线的图像;二是渐近线的斜率也能体现 的,abc 关系。 (6)通径: 内弦:双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦:双曲线两支上各取一点连成的线段 通径:过双曲线焦点的内弦中长度的最小值,此时弦 轴, PQx 2ba (7)焦半径公式:设双曲线上一点 ,左右焦点分别为 ,则0,Pxy12,

7、F (可记为“左加右减” )102,PFaexae 由焦半径公式可得:双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点,距离为 ca (8)焦点三角形面积:设双曲线上一点 ,则 (其中0,Pxy12otPFSbA )12PF (三)抛物线: 1、定义:平面内到一定点的距离等于到一条定直线(定点不在定直线上)的距离的点的轨 迹为抛物线 2、抛物线的标准方程及焦点位置: (1)焦点在 轴正半轴: ,焦点坐标x20ypx,02p (2)焦点在 轴负半轴: ,焦点坐标2, (3)焦点在 轴正半轴: ,焦点坐标y20xpy0,2p (4)焦点在 轴负半轴: ,焦点坐标2, 小结:通过方程即可判断出焦点的位置与坐标

8、:那个字母是一次项,则焦点在哪条轴上; 其坐标为一次项系数除以 4,例如: ,则焦点在 轴上,且坐标为24xyy0,1 3、焦半径公式:设抛物线 的焦点为 , ,则20ypF,Ax2pFx 4、焦点弦长:设过抛物线 焦点的直线与抛物线交于 ,x 1,yB 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 则 ( ,再由焦半径公式即可得到)12ABxpABF 二、典型例题: 例 1:已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合,则该双曲线的焦 214yb21yx 点到其渐近线的距离等于( ) A. B. C. D. 5235 思路:先从常系数方程入手,抛物线 的焦点为 ,即双曲线中的 ,所1yx,03c 以 ,从而

9、双曲线方程为: ,其渐近线方程: ,由225bca 2452yx 对称性可得焦点到两渐近线的距离相等,不妨选择 ,右焦点 ,所:20lx3,0F 以 222 35Fld 答案:A 小炼有话说:(1)一道题含多个圆锥曲线方程,往往以某些特殊点(焦点,顶点)为桥梁 联接这些方程,在处理时通常以其中一个曲线方程(不含参)为入手点,确定特殊点的坐 标,进而解出其他圆锥曲线的要素 答案:A 例 2: 已知双曲线 的实轴长为 ,虚轴的一个端点与抛物线 210,xyab42 的焦点重合,直线 与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平0xpy1kx 行,则 ( ) A. B. C. D. 4321 思路:本题涉及

10、圆锥曲线和字母较多,所以首先要确定核心变量,从所求出发可尝试以 作为核心变量,抛物线 的焦点为 ,所以可得 ,因为p2xpy0,2p2pb ,所以双曲线方程为 ,可求得渐近线方程为24a2418xy 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 ,不妨设 与 平行,则有 。从相切可想到与抛42pyx1ykx42pyx42pk 物线联立消元后的方程 : ,所以022 10xxpy 解得 28p4 答案:A 例 3:如图, 是椭圆 与双曲线12,F 21:0xyCmn 的公共焦点,将 的离心 2:0,xyCab12,C 率分别记为 ,点 是 在第一象限的公共点,若12,eA12, 的一条渐近线是线段 的中垂线

11、,则 ( 2 1F21e ) A. B. C. D. 52724 思路:椭圆与双曲线共焦点,所以有 ,所求表达式22cmnab ,本题与焦半径相关,所以考虑 2221maec 。结合 的中点与 的中点可得双曲线的渐近212,AFAFa1AF12 线与 平行,从而 ,所以有 ,联系上面条件224c 可得: ,所以222 2112124c ma 221mae 答案:A 例 4:已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点, 21:0xyCab22:14yCx 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于 两点,若 恰好将线段 三等分,2C1C,AB1CAB 则( ) A. B.

12、C. D. 23a213a2b2b 思路:因为 有公共焦点,所以通过 可得 ,从而 ,12,C2C125,0,F5c 圆的直径为 ,所以 截椭圆的弦长为 。由双曲线得 ,进而与椭圆方AB3:AByx 程联立,再利用弦长公式即可得到关于 (或 )的方程,解方程即可ab 解:通过 可得 ,2C125,0,F5c 不妨设 ,则 ,所以 :AByx 224byaxbx 24abx 利用弦长公式可得 21253da 又因为 解得: ,故选 C225abc245 ba21b 答案:C 例 5:(2014,山东,10)已知 ,椭圆 的方程为 ,双曲线 的方0ab1C 21xyab2C 程是 , 与 的离心率

13、之积为 ,则 的渐近线方程为( ) 21xyabC2322 A. B. C. D. 00xy0xy20xy 思路:要想求渐近线方程,关键在 的比值,所以将两个离心率均用 表示,再利用,ab,ab 乘积为 即可得到 关系,进而求出渐近线方程32, 解:设曲线 的离心率分别为 ,则12,C12,e 2212,cabcabe2412 23ababe 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 即 1444312abba 因为双曲线的渐近线方程为: ,代入可得:yxa20yxy 答案:A 小炼有话说:本题在设计上利用椭圆和双曲线中 的求法不同,从而使得两条曲线在c 相同的情况下,离心率的乘积中含有平方差公式的特

14、点,从而简化运算,较易得出,ab 关系 例 6:椭圆 和双曲线 的公共焦点为 , 210xymn210xyab12,F 是两曲线的一个交点,那么 的值是( )P12PF A. B. C. D. a2amma 思路:所求 既是椭圆的焦半径,又是双曲线的焦半径。所以由椭圆和双曲线定12,F 义可得: , ,由此联想到两个式子的完全平方公式,P12PF 进而可求出 ,则1222212 14F ma 答案:B 例 7:已知抛物线 的焦点 与双曲线 的右焦点重合,抛物20ypxF 2145xy 线的准线与 轴的交点为 ,点 在抛物线上且 ,则 点的横坐标为( xKAKAF ) A. B. C. D. 2

15、3234 思路:因为两条曲线的焦点重合,所以可用双曲线计算出焦点的坐标 ,所以259c ,进而可确定抛物线方程: ,以及准线方程 : 。所以3,0F21yxl3x ,设 点横坐标为 ,则 ,所以 ,由焦KAx,A221AK 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 半径公式可得: ,所以 ,即32pAFx222AKFAKF ,可解得: 231xx 答案:B 例 8:设 为双曲线 的左焦点,在 轴上 点的右侧有一点 ,以 为直F 2169xyxFAF 径的圆与双曲线左,右两支在 轴上方的交点分别为 ,则 的值为( ,MN ) A. B. C. D. 25525445 思路:因为所求分式涉及到三条线段长度

16、,若直接用距离公式则异常复杂,所以考虑时刻 简化计算,首先由 联想到焦半径公式,设 ,则有,FMN12,MxyN , ,所以1aexa2exa ,设 ,由双曲线可知 ,则 的中点2FN,0Am5,0FA ,圆半径 ,所以圆方程为: ,整5,02mC5r 22mxy 理后可得: ,因为 的值与 相关,所以20xxyNM12x 考虑联立圆和双曲线方程: 消去 可得: 2250169mxyy ,所以 ,代入 可得:2595016xmx1265xFN ,因为 ,所以原式的值为 1648425mFNMAm45 答案:D 小炼有话说:本题可发现无论 的位置如何,从选项上来看 应该为定值,故AFNM 可以利

17、用特殊位置,比如 为右焦点时,便可轻松得到答案:由对称性可得 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 ,且 ,所以28FNMa210FAc245FNMaAc 例 9:如图,从双曲线 的左焦点 引圆 的切线,切 2,xyab22xy 点为 ,延长 交双曲线右支于 点,若 为线段 的中点, 为坐标原点,则TFPFPO 的值为_(用含 的表达式表示) MO, 思路:首先要将 向 靠拢,因为 与圆切于,T,ab ,连结 ,可知 ,且 为直角三角形,TrFOTA ,从而 ,进OFc222cab 而 ,在寻找 ,因为 为线段 的中点,且由双1MTPbMFP 曲线性质得 为 的中点,所以连结 ,则由中位线性质可得

18、 ,而 F12OM 恰好是另一焦半径。所以PF ,由双曲线定义可得: 1122OTPFbP ,从而aMOTa 答案: b 小炼有话说:(1)题目中遇到中点问题,除了已知条件外,在椭圆和双曲线中还要注意 “原点也是两焦点的中点”这一隐藏条件 (2)在椭圆与双曲线中,因为两条焦半径存在几何关系(和差与 相关) ,所以题中出现a 一条焦半径时,常见的辅助线是连出另一条焦半径。 例 10:如图,椭圆 ,圆 , 2:124xyCa22:4Oxy 椭圆的左右焦点分别为 ,过椭圆上一点 和原点 作直线 交12,FPl 圆 于 两点,若 ,则 的值为O,MN6PMN _ 思路:本题很难直接求出 的值,从而考虑将其视为整体,进行转化:从图上可, 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 得: ,从而,PMOPrNOPr ,所以只需确定 即可,设 ,即224Nra 2,Pxy ,已知 ,则需利用好 ,想到焦半径公式:则22xy21xy126F ,所以 ,所以1,PFaeae12Paex ,即 ,所 2222244xcxy2224ya 以 6MN 答案:

展开阅读全文
相关资源
相关搜索

当前位置:首页 > 重点行业资料库 > 自然科学

Copyright © 2018-2021 Wenke99.com All rights reserved

工信部备案号浙ICP备20026746号-2  

公安局备案号:浙公网安备33038302330469号

本站为C2C交文档易平台,即用户上传的文档直接卖给下载用户,本站只是网络服务中间平台,所有原创文档下载所得归上传人所有,若您发现上传作品侵犯了您的权利,请立刻联系网站客服并提供证据,平台将在3个工作日内予以改正。