1、 四边形中的旋转、折叠问题 例题：如图，在直角坐标系中放入一个边长 OC 为 9 的矩形纸片 ABCO将纸片翻折后，点 B 恰好落在 x 轴上，记为 B，折痕为 CE，已知 tanOBC 34 （1）求 B 点的坐标； （2）求折痕 CE 所在直线的解析式 例题：（1）如图， ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O。直线 EF 过点 O，分别交 AD、BC 于点 E、F 求证：AE=CF。 （2）如图，将 ABCD（纸片）沿过对角线交点 O 的直线 EF 折叠，点 A 落在点 A1 处，点 B 落在点 B1 处。设 FB1 交 CD 于点 G， A1B1 分别交 CD、DE 于点 H、I。
2、 求证：EI=FG。 例题：（2012 德州）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点 （不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕 为 EF，连接 BP、BH （1）求证：APB= BPH； （2）当点 P 在边 AD 上移动时， PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存 在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 （2012南宁） 如图，已知矩形纸
3、片 ABCD，AD=2，AB=4将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重 合，折痕 FG 分别与 AB，CD 交于点 G，F，AE 与 FG 交于点 O （1）如图 1，求证：A，G，E，F 四点围成的四边形是菱形； （2）如图 2，当AED 的外接圆与 BC 相切于点 N 时，求证：点 N 是线段 BC 的中点； （3）如图 2，在（2）的条件下，求折痕 FG 的长 解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，AGF=EGF ， DCAB， EFG=AGF， EFG=EGF， EF=EG=AG， 四边形 AGEF 是平行四边形（EF AG，EF=AG） ， 又 AG=GE， 四边形 A
4、GEF 是菱形 （2）连接 ON， AED 是直角三角形，AE 是斜边，点 O 是 AE 的中点，AED 的外接圆与 BC 相切于点 N， ONBC， 点 O 是 AE 的中点， ON 是梯形 ABCE 的中位线， 点 N 是线段 BC 的中点 （3）作 OMAD， 设 DE=x，则 MO= x， 在矩形 ABCD 中，C= D=90， 故 AE 为AED 的外接圆的直径 延长 MO 交 BC 于点 N，则 ONCD， 四边形 MNCD 是矩形， MN=CD=4， ON=MNMO=4 x， AED 的外接圆与 BC 相切， ON 是 AED 的外接圆的半径， OE=ON=4 x，AE=8x，
5、在 RtAED 中，AD 2+DE2=AE2， 22+x2=（8x） 2， 得 x=DE= ，OE=4 x= ， FEOAED， = ， 解得：FO= ， 第 17 题 CB G F E DA FG=2FO= 故折痕 FG 的长是 对应练习 1.（2012泰安）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4 ，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD、AC 于点 E、O，连接 CE，则 CE 的长为（ ） 2.（2012泰安）如图，菱形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 在 x 轴上，B=120 ，OA=2，将菱形 OABC 绕原点顺时针旋转 105至 OABC的位置，则点 B的坐标为
6、（ ） 3.（2012泰安）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 与 CD 的中点重合，若 AB=2，BC=3 ，则 FCB与BDG 的面积之比为（ ） 4.如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点， 将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE，延长 BG 交 CD 于 F 点，若 CF=1，FD=2，则 BC 的长为_ 5.矩形纸片 ABCD 的边长 AB=4，AD=2将矩形纸片沿 EF 折叠，使点 A 与点 C 重合， 折叠后在其一面着色（如图） ，则着色部分的面积为（ ）(试题82页） A B C D D C N M F (第 10 题) 6.（2010 山东潍坊）如图，
7、直角梯形 ABCD 中， ABBC，ADBC，BC AD，AD2，AB4，点 E 在 AB 上，将CBE 沿 CE 翻折，使 B 点与 D 点重合，则BCE 的正切值是_(89页) 7.梯形中的对角线（88 页） 8如图，将正方形对折后展开（图是连续两次对折后再展开） ，再按图示方法折叠，能够得到一个直角 三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半这样的图形有【 】 (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个 9 如图所示，把一长方形纸片沿 MN 折叠后，点 D，C 分别落在 D，C的位置若AMD36， 则NMD 等于 （A）144 （B）126 （C）108 （D）72 10.一副三
8、角板按图 1 所示的位置摆放.将DEF 绕点 A（F）逆时针旋转 60后（图 2） ，测得 CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为 (A) 75cm2 (B) cm2)35( (C) cm2 AB C D E (F) B A(F) D E C G (第 8 题) 图 2图 1 (D) cm2)3502( 例题：在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，作 EFAB 交 BD 于点 F，取 FD 的中点 G，连结 EG、CG，如图（1），易证 EG=CG 且 EGCG. （1）将BEF 绕点 B 逆时针旋转 90，如图（2），则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系和位置关系
9、？请 直接写 出你的 猜想. （2） 将 BEF 绕 点 B 逆 时针旋转 180，如图（3），则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想， 并加以证明. 解（1）EG=CG EGCG-(2 分) （2）EG=CG EGCG-(2 分) 证明：延长 FE 交 DC 延长线于 M，连 MG AEM=90，EBC=90，BCM=90 四边形 BEMC 是矩形. BE=CM，EMC=90 又BE=EF EF=CM EMC=90，FG=DG MG= FD=FG BC=EM ，BC=CD EM=CD EF=CM FM=DM F=45 又 FG=DG CMG= EMC=45 F=GMC GFEGMC EG=CG ，FGE= MGC-(2 分) FMC=90 ，MF=MD， FG=DG MGFD FGE+EGM=90 MGC+EGM=90 即EGC=90 EGCG- ( 2 分)
