1、二次函数综合题等腰三角形一解答题（共30小题）1（2014新余模拟）如图，已知二次函数图象的顶点为（1，3），并经过点C（2，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和AOB的面积；（3）点Q在x轴上运动，求出所有AOQ是等腰三角形的点Q的坐标2（2014秋怀宁县校级月考）如图，二次函数y=x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且AOB的面积为6（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点P在x轴上，且ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标3（2011淮安）如图已知二次函数y=x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为
2、A（4，0），与y轴交于点B（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在点P使得PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由4（2014曲靖模拟）如图，已知二次函数y=ax24x+c的图象与坐标轴交于点A（1，0）和点C（0，5）（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得OPM是等腰三角形5（2008秋密云县期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点（0，3）（3，0）（2，5），（1）求这个二次函数的解析式；（2）
3、若这个二次函数的图象与x轴交于点C、D（C点在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使ABC是等腰三角形，求出点B的坐标6（2008海淀区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点（0，3），（3，0），（2，5）求：（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值；（3）若设这个二次函数图象与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使ACB是等腰三角形，求出点B的坐标7（2006松江区二模）如图，已知二次函数y=x2+bx+c（c0）的图象经过点A（2，m）（m0），与y轴交于点
4、B，ABx轴，且3AB=2OB（1）求m的值；（2）求二次函数的解析式；（3）如果二次函数的图象与x轴交于C、D两点（点C在左恻）问线段BC上是否存在点P，使POC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由8（2010秋永新县校级月考）已知二次函数y=（x1）（x4）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C（1）求出A、B、C三点的坐标；（2）求ABC的面积；（3）在y轴上是否存在点P，使P、A、C能组成以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由9（2013德宏州）如图，已知直线y=x与抛物线交于A、B两点（1）求交点A、B的坐标；
5、（2）记一次函数y=x的函数值为y1，二次函数的函数值为y2若y1y2，求x的取值范围；（3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点P的坐标10（2014曲阜市模拟）设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形（1）当ABC为等腰直角三角形时，求b24ac的值；（2）当ABC为等边三角形时，求b24ac的值11（2015赤峰）已知二次函数y=ax2+bx3a经过点A（1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D（1）求此二次函数解析式；
6、（2）连接DC、BC、DB，求证：BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由12（2013秋本溪期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，4），动点C是从点A出发，向O点运动，到达0点时停止运动，过点C作ECx轴，交直线AB于点D，交抛物线于点E（1）求二次函数的解析式；（2）连接OE交AB于F点，连接AE，在动点C的运动过程中，若AOF的面积是AEF面积的2倍，求点C的坐标？（3）在动点C的运动过程中，DEF能否为等腰
7、三角形？若能，请直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由13（2011临川区模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（1，0），B（3，0），C（0，3），它的顶点为M，且正比例函数y=kx的图象与二次函数的图象相交于D、E两点（1）求该二次函数的解析式和顶点M的坐标；（2）若点E的坐标是（2，3），且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；（3）试探究：抛物线的对称轴上是否存在点P，使PAC为等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由14（2006孝感）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个
8、公共点M，与y轴的交点为A，过点A的直线y=x+c与x轴交于点N，与这个二次函数的图象交于点B（1）求点A、B的坐标（用含b、c的式子表示）；（2）当SBMN=4SAMN时，求二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点P为x轴上的一个动点，那么是否存在这样的点P，使得以P、A、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由15（2011东营模拟）如图，已知二次函数y=x2+bx+c（c0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x
9、轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由16（2010徐州）如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC（1）点A的坐标为，点C的坐标为；（2）线段AC上是否存在点E，使得EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？1
10、7（2011呼伦贝尔）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点B，A（），且AOBBOC（1）求C点坐标、ABC的度数及二次函数y=ax2+bx+3的关系式；（2）在线段AC上是否存在点M（m，0）使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由18（2013廊坊一模）如图，二次函数y=ax2+x+c的图象与x轴交于点A、B两点，且A点坐标为（2，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求出这个二次函数的解析式；（2）直接写出点B的坐标为；（3）在x轴是否存在一点P，
11、使ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由19（2012景宁县模拟）已知二次函数y=x2+4x+5图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点D是该函数图象上一点，且点D的横坐标为4，连BD，点P是AB上一动点（不与点A重合），过P作PQAB交射线AD于点Q，以PQ为一边在PQ的右侧作正方形PQMN设点P的坐标为（t，0）（1）求点B，C，D的坐标及射线AD的解析式；（2）在AB上是否存在点P，使OCM为等腰三角形？若存在，求正方形PQ
12、MN 的边长；若不存在，请说明理由；（3）设正方形PQMN与ABD重叠部分面积为s，求s与t的函数关系式20（2013徐州）如图，二次函数y=x2+bx的图象与x轴交于点A（3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E（1）请直接写出点D的坐标：；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由21（2013鞍山一模）如图，已知二次函数y=
13、ax2+bx+8（a0）的图象与x轴交与A，B两点，与y轴交与点C，已知点A的坐标为（2，0），sinABC=，点D是抛物线的顶点，直线DC交x轴于点E（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）在直线CD上是否存在一点Q，使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是直线y=2x4上一点，过点P作直线PM垂直于直线CD，垂足为M，若MPO=75，求出点P的坐标22（2013菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点
14、D使四边形ABCD能构成平行四边形（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：当P运动到何处时，有PQAC？当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？23（2014北塘区二模）已知二次函数y=mx25mx+1（m为常数，m0），设该函数图象与y轴交于点A，图象上一点B与点A关于该函数图象的对称轴对称（1）求点A、B的坐标；（2）点O为坐标原点，点M为函数图象的对称轴上一动点，求当M运动到何处时MAO的周长最小；（3）若该函数图象上存在点P与点A、B构成一个等腰三角形，且PAB的面积为10
15、，求m的值24（2015黔东南州）如图，已知二次函数y1=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；（2）由图象写出满足y1y2的自变量x的取值范围；（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由25（2015曲靖一模）如图，直线y=x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（1，0）（1）求B、C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存
16、在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标26（2014怀集县二模）如图，ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y=x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形（1）试求点B、D的坐标，并求出该二次函数的解析式；（2）P、Q分别是线段AD、CA上的动点，点P从A开始向D运
17、动，同时点Q从C开始向A运动，它们运动的速度都是每秒1个单位，求：当P运动到何处时，APQ是直角三角形？当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？27（2015铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标）；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，
18、点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积28（2015丹东）如图，已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求此时点N的坐标29（2013无锡）如图，直线x=4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点
19、交线段OE于点A，交直线x=4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3（1）求点A的坐标；（2）若OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式30（2014遵义）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由（3）当P，Q运动到t秒时，APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标二次函数综合题等腰三角形参考答案一解答题（共30小题）1；2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12；13；14；15；16（0，4）；（8，0）；17；18（6，0）；19；20（-3，4）；21；22；23；24；25；26；27；28；29；30；第13页（共13页）
