1、抽象函数的周期性与对称性知识点梳理一、 抽象函数的对称性定理1. 若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图象关于直线对称。推论1. 若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图像关于直线对称。推论2. 若函数定义域为，且满足条件：),则函数的图像关于直线对称。总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程推论3. 若函数定义域为，且满足条件：， 又若方程有个根，则此个根的和为。定理2. 若函数定义域为，且满足条件：（为常数），则函数的图象关于点对称。推论1. 若函数定义域为,且满足条件：成立，则 的图象关于点对称。推论2.若函数定义域为，且满足条件：（为常数），则函数的图象关于点对
2、称。总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。定理3.若函数 定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得）。推论1. 函数与函数的图象关于直线对称。推论2. 函数与函数的图象关于直线对称。定理4.若函数 定义域为，则函数与 的图象关于点对称。推论. 函数与函数图象关于点对称。二、抽象函数的周期性定理5.若函数 定义域为，且满足条件，则是以为周期的周期函数。推论1.若函数 定义域为，且满足条件，则是以为周期的周期函数。推论2.若函数满足条件 则是以为周期的周期函数。推论3. 若函数满足条件 则是以为周期的周期函数。定理7.若
3、函数的图象关于直线 与 对称，则是以为周期的周期函数。定理8.若函数的图象关于点与点 对称，则是以为周期的周期函数。定理9.若函数的图象关于直线与 点，则是以为周期的周期函数。总结：x的系数同为为1，具有周期性。1定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x2)13，f(1)2，则f(99)()A13B2C. D.2已知奇函数f(x)在区间3,7上是增函数，且最小值为5，那么函数f(x)在区间7，3上()A是增函数且最小值为5B是增函数且最大值为5C是减函数且最小值为5D是减函数且最大值为53已知函数f(x1)是奇函数，f(x1)是偶函数，且f(0)2，则f(4)_.4对于定义在R上的函数f(
4、x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为_若f(x)是奇函数，则f(x1)的图象关于点A(1,0)对称；若对xR，有f(x1)f(x1)，则yf(x)的图象关于直线x1对称；若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，则f(x)为偶函数；函数yf(1x)与函数yf(1x)的图象关于直线x1对称5已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a、b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围6设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足f(x1x2)；存在正常数a，使f(a)1.求证：(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a.1、
5、若函数对一切实数都有f (2x) = f (2x)则（ ）A.f (2)f (1) f(4)B.f (1)f (2) f(4)C.f (2)f (4) f(1)D.f (4)f (2) f(1)2、设函数y= f (x)定义在实数集R上，则函数y= f (x1)与y= f (1x)的图象关于（ ）对称。A.直线y=0B.直线 x=0C.直线 y=1D.直线 x=13、已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（ ）A. 恒小于0B.恒大于0C可能为0D可正可负4、函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象之间（D ）A关于直线x5对称B关
6、于直线x1对称C关于点（5，0）对称D关于点（1，0）对称5、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则f(x)是（ ）A偶函数，又是周期函数B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数D奇函数，但不是周期函数6、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ）A.0B.C.1D. 7、已知，则（ ）.A.B. C. D.3 8、在数列则= 9、定义域为R，且对任意都有，若则= 10、已知f(x)是R上的偶函数，对都有f(x6)=f(x)f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)= 11、函数在R上有定义，且满足
7、是偶函数，且，是奇函数，则的值为 12、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1x),当1x0时，f (x) = x，则f (8.6 ) = _13、设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.参考答案：1、若函数对一切实数都有f (2x) = f (2x)则（ ）A.f (2)f (1) f(4)B.f (1)f (2) f(4)C.f (2)f (4) f(1)D.f (4)f (2) f(1)答案：A。2、设函数y= f (x)定义在实数集R上，则函数y= f (x1)与y= f (1x)的图象关于（ ）对称。A.直线y=0B.直线 x=0
8、C.直线 y=1D.直线 x=1答案：D。由3、已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（ ）A. 恒小于0B.恒大于0C可能为0D可正可负答案A。分析：图象关于点对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.，且函数在上单调递增，所以，又由，有，4、函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象之间（D ）A关于直线x5对称B关于直线x1对称C关于点（5，0）对称D关于点（1，0）对称答案：D。解：据复合函数的对称性知函数yf(x4)与yf(6x)之间关于点（64）/2，0）即（1，0）中心
9、对称，故选D。5、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则f(x)是（ ）A偶函数，又是周期函数B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数D奇函数，但不是周期函数答案：C。6、定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）A.是偶函数，也是周期函数B.是偶函数，但不是周期函数 C.是奇函数，也是周期函数D.是奇函数，但不是周期函数答案：A.解：f (10+x)为偶函数，f (10+x) = f (10x).f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以
10、10为其一个周期的周期函数， x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。7、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ）A.0B.C.1D. 答案：A。解析：令，则；令，则由得，构造函数，由，所以8、已知，则（ ）.A.B. C. D.3 答案：A。分析：由，知，.为迭代周期函数，故，.9、在数列则= 答案：。10、定义域为R，且对任意都有，若则=_答案：。11、已知f(x)是R上的偶函数，对都有f(x6)=f(x)f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)= 答案：2.12、函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为 答案：0.函数关于和对称，周期为4。13、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1x),当1x0时，f (x) = x，则f (8.6 ) = _解：f(x)是定义在R上的偶函数x = 0是y = f(x)对称轴；又f(1+x)= f(1x) x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.311、设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.解：设时，有 是以2 为周期的函数，.6
