1、任意四边形、梯形与相似模型模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，AOB面积为1平方千米，BOC面积为2平方千米，COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是692平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】 根据蝴蝶定理求得平方千米，公园四边形的面积是平方千米
2、，所以人工湖的面积是平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形的面积；？【解析】 根据蝴蝶定理，那么；根据蝴蝶定理， (？)【例 2】 四边形的对角线与交于点(如图所示)。如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，那么的长度是的长度的_倍。 【解析】 在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种
3、解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：，解法二：作于，于，【例 3】 如图，平行四边形的对角线交于点，、的面积依次是2、4、4和6。求：求的面积；求的面积。【解析】 根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，根据蝴蝶定理，所以，那么【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的
4、面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【解析】 在，中有，所以， 的面积比为。同理有，的面积比为。所以有=，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即=，所以有与的面积比为，=公顷，=公顷。 显然，最大的三角形的面积为21公顷。【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 。 【解析】 连接、。则可根据格点面积公式，可以得到的面积为：，的面积为：，的面积为：所以，所以【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形的面积。【
5、解析】 因为，且，所以，【例 6】 (2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形中，求三角形的面积 【解析】 连接因为，所以因为，根据蝴蝶定理，所以所以，即三角形的面积是【例 7】 如图，长方形中，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积 【解析】 连接，因为，所以因为，所以平方厘米，所以平方厘米因为，所以长方形的面积是平方厘米【例 8】 如图，已知正方形的边长为10厘米，为中点，为中点，为中点，求三角形的面积 【解析】 设与的交点为，连接、由蝴蝶定理可知，而，所以，故 由于为中点，所以，故，由蝴蝶定理可知，所以，那么（平方厘米）【例 9】 如图，在中，已知、分别在边、上，与相交于,若、和的
6、面积分别是3、2、1，则的面积是 【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解根据蝴蝶定理得 设，根据共边定理我们可以得，解得【例 10】 (2009年迎春杯初赛六年级)正六边形的面积是2009平方厘米，分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米 【解析】 如图，设与的交点为，则图中空白部分由个与一样大小的三角形组成，只要求出了的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积连接、设的面积为”“，则面积为”“，面积为”“，那么面积为的倍，为”“，梯形的面积为，的面积为”“，的面积为根据蝴蝶定理，故，所以，即的面积为梯形面积的，故为六边形面积的，那么空
7、白部分的面积为正六边形面积的，所以阴影部分面积为(平方厘米)板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：；的对应份数为梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例 11】 如图，求梯形的面积【解析】 设为份，为份，根据梯形蝴蝶定理，所以；又因为，所以；那么，所以梯形面积，或者根据梯形蝴蝶定理，【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是_平方厘米
8、【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可得，再根据梯形蝴蝶定理，所以(平方厘米)那么梯形的面积为(平方厘米)【例 12】 梯形的对角线与交于点，已知梯形上底为2，且三角形的面积等于三角形面积的，求三角形与三角形的面积之比 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可以求出，再根据梯形蝴蝶定理，通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论【例 13】 (第十届华杯赛)如下图，四边形中，对角线和交于点，已知，并且，那么的长是多少？【解析】 根据蝴蝶定理，所以，又，所以【例 14】 梯形的下底是上底的倍，三角形的面积是，问三
9、角形的面积是多少？【解析】 根据梯形蝴蝶定理，所以【巩固】如图，梯形中，、的面积分别为和，求梯形的面积【解析】 根据梯形蝴蝶定理，所以， 【例 15】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形的面积是，三角形的面积是，求四边形的面积【解析】 如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是【巩固】(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为_ 【解析】 做辅助线如下
10、：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是，3的面积就是【例 16】 如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点求图中阴影部分的面积【解析】 因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道，设份，则 份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米【巩固】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是 平方厘米【解析】 连接，根据题意可知，根据蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)【例 17】 如图面积为平方厘米的正方形中，是边上的三等分点，求阴影部分的面积【解析】 因为是边上的三等分点
11、，所以，设份，根据梯形蝴蝶定理可以知道份，份，份，因此正方形的面积为份，所以，所以平方厘米【例 18】 如图，在长方形中，厘米，厘米，求阴影部分的面积【解析】 方法一：如图，连接，将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形的面积为平方厘米由于，根据梯形蝴蝶定理，所以，而平方厘米，所以平方厘米，阴影部分的面积为平方厘米方法二：如图，连接，由于，设份，根据梯形蝴蝶定理， 份，份，份，因此份，份，而平方厘米，所以平方厘米【例 19】 (2008年”奥数网杯”六年级试题)已知是平行四边形，三角形的面积为6平方厘米则阴影部分的面积是 平方厘米【解析】 连接由于是平行四边形，所以，根据梯形蝴蝶定理，所以(平
12、方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米 【分析】 连接由于与是平行的，所以也是梯形，那么根据蝴蝶定理，故，所以(平方厘米)【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米【解析】 连接由于与是平行的，所以也是梯形，那么根据蝴蝶定理，故，所以(平方厘米)另解：在平行四边形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为(平方厘米)【例 20】 如图所示，、将长方形分成
13、4块，的面积是5平方厘米，的面积是10平方厘米问：四边形的面积是多少平方厘米？ 【分析】 连接，根据梯形模型，可知三角形的面积和三角形的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形的面积为(平方厘米)，所以长方形的面积为(平方厘米)四边形的面积为(平方厘米)【巩固】如图所示，、将长方形分成4块，的面积是4平方厘米，的面积是6平方厘米问：四边形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 (法1)连接，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形的面积和三角形的面积相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形的面积为(平方厘米)，所以长方形的面积为(平方厘米)四边形的面积为(平方厘米)(
14、法2)由题意可知，根据相似三角形性质，所以三角形的面积为：(平方厘米)则三角形面积为15平方厘米，长方形面积为(平方厘米)四边形的面积为(平方厘米)【巩固】(98迎春杯初赛)如图，长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为，的长是， 的长是.那么四边形的面积是多少？【解析】 因为连接知道和的面积相等即为，又因为,所以的面积为，根据四边形的对角线性质知道：的面积为：，所以四边形的面积为：(平方厘米).【例 21】 (2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为_平方厘米 【解析】 连接、四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定
15、理，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)【例 22】 (98迎春杯初赛)如图，长方形中，是直角三角形且面积为54，的长是16，的长是9那么四边形的面积是 【解析】 解法一：连接，依题意，所以，则又因为，所以，得，所以 解法二：由于，所以，而，根据蝴蝶定理，所以，所以【例 23】 如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点已知正方形的面积48，则的面积是多少？【解析】 由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形在梯形中，和的面积是相等的而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点
16、，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48那么的面积为【例 24】 如图所示，是梯形，面积是，的面积是9，的面积是27那么阴影面积是多少？【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可以得到，而(等积变换)，所以可得，并且，而，所以阴影的面积是：【例 25】 如图，正六边形面积为，那么阴影部分面积为多少？【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积【例 26】 如图，已知是中点，是的中点，是的中点三角形由这6部分组成，其中比多6平方厘米那么三角形的面积是多少平方厘
17、米？【解析】 因为是中点，为中点，有且平行于，则四边形为梯形在梯形中有=，=，：=： =4又已知-=6，所以=，=，所以=16，而=，所以=4，梯形的面积为、四块图形的面积和，为有与的面积比为平方与平方的比，即为1:4所以面积为梯形面积的=，即为因为是中点，所以与的面积相等，而的面积为、的面积和，即为平方厘米三角形的面积为48平方厘米【例 27】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求
18、解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为，因此空白处的总面积为，阴影部分的面积为解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的，阴影部分的面积占该梯形面积的，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的，那么阴影部分的面积为【例 28】 如图，在正方形中，、分别在与上，且，连接、，相交于点，过作、得到两个正方形和，设正方形的面积为，正方形的面积为，则_
19、 【解析】 连接、设正方形边长为3，则，所以，因为，所以由梯形蝴蝶定理，得，所以，因为，所以，所以，由于底边上的高即为正方形的边长，所以，所以，则【例 29】 如下图，在梯形中，与平行，且，点、分别是和的中点，已知阴影四边形的面积是54平方厘米，则梯形的面积是 平方厘米【解析】 连接，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形面积设梯形的上底为，总面积为则下底为，所以，由于梯形和梯形的高相等，所以，故，根据梯形蝴蝶定理，梯形内各三角形的面积之比为，所以；同理可得，所以，由于平方厘米，所以(平方厘米)【例 30】 (20
20、06年“迎春杯”高年级组决赛)下图中，四边形都是边长为1的正方形，、分别是，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于 【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积如下图所示，在左图中连接设与的交点为左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为如上图所示，在右图中连接、设、的交点为可知且那么三角形的面积为三角形面积的，所以三角形 的面积为，梯形的面积为在梯形中，由于，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即，那么。4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 17 of 17
