1、数学分析 2 期末试题库数学分析II 考试试题（ 1）一、 叙述题：（每小题6 分，共18 分）1、 牛顿 - 莱不尼兹公式2、an 收敛的 cauchy 收敛原理n 13、 全微分二、 计算题 ：（每小题8 分，共32 分）x2sin t 2 dt1、 lim0x4x 02、求由曲线 yx 2 和 xy2 围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。3、求x n的收敛半径和收敛域，并求和n 1 n(n1)y2 u4、已知 ux z，求x y三、（每小题10 分，共 30 分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数2、讨论反常积分x p 1e x dx 的敛散性03、讨
2、论函数列 Sn ( x)x 21x (, ) 的一致收敛性n2四、 证明题 （每小题10 分，共 20分）1、设 xn 0, xn111 (n1,2) ，证明xn 发散xnnn 12、证明函数 f ( x, y)xyx 2y 20x 2y2x 2y 2在（ 0， 0）点连续且可偏导，00但它在该点不可微。 ，数学分析II 考试题（ 2）一、 叙述题 ：( 每小题 5 分，共 10 分）1、 叙述反常积分bcauchy 收敛原理f (x)dx,a 为奇点收敛的a2、 二元函数f ( x, y) 在区域 D上的一致连续二、 计算题 ：（每小题 8 分，共 40 分）1、 lim (111 )nn1
3、n 22n2、求摆线xa(tsin t) 0,2 与 x 轴围成的面积ya(1tcost)3、求 (cpv)1xdx1x 24、求幂级数( x 1)n的收敛半径和收敛域n 1n25、 uf (xy , x ) ， 求2uyx y三、 讨论与验证题 ：（每小题10 分，共 30 分）1、 f (x, y)xy 2，求 limlim f (x, y),milmilf (x, y) ； limf (x, y) 是否存在？xyx 0y 0y 0x 0(x, y)(0 ,0)为什么？2、讨论反常积分arctan x0xpdx 的敛散性。3、讨论n3 (2(1) n ) n的敛散性。n13n四、 证明题
4、：（每小题 10分，共 20 分）1、 设 f （x）在 a, b 连续， f ( x)0 但不恒为0，证明b( )0fx dxa2、 设函数 u 和 v 可微，证明grad ( uv)= ugradv+vgradu数学分析II 考试题（ 3）五、 叙述题 ：（每小题5 分，共 15分）1、定积分2、连通集3、函数项级数的一致连续性六、 计算题 ：（每小题7 分，共 35分）e1、 sin(ln x)dx12、求三叶玫瑰线ra sin 3 0, 围成的面积3、求 xnncos 2n的上下极限2n154、求幂级数( x1) n 的和n 12n5、 uf ( x, y) 为可微函数，求 (u )2
5、(u ) 2 在极坐标下的表达式xy七、 讨论与验证题：（每小题10 分，共 30 分）1、已知(x 2y 2 ) sin 1 cos 1x0, y0，求 limf( ,y) ，问f ( x, y)0xyx 0或 y 0( x , y) (0, 0)xlim limf ( x, y), lim limf ( x, y) 是否存在？为什么？x 0 y 0y0 x 02、讨论反常积分1dx 的敛散性。0xpxq3、讨论 f n ( x)nxx 0,1的一致收敛性。1nx八、 证明题 ：（每小题 10分，共20 分）1、 设 f （x）在 a,+ ）上单调增加的连续函数，f (0)0，记它的反函数f
6、 -1 （ y），证明a()b1( )(0,0)fx dx0fy dy abab02、 设正项级数xn收敛，证明级数xn2也收敛n 1n1数学分析（二）测试题（4）一 判断题 （正确的打“” ，错误的打“” ；每小题 3 分，共 15 分）：1闭区间 a, b 的全体聚点的集合是a, b 本身。2函数lnxx 21是1在区间 1,内的原函数。x 213若 fx在 a,b 上有界，则f x在 a,b上必可积。4若 fxFxxft dt为连续的偶函数，则0亦为偶函数。5正项级数10n是收敛的。n1 !n 1二填空题 （每小题3 分，共 15分）：1数列1 nn1的上极限为，下极限为。3n2 lim
7、12n。n212n222n2n2n3 dtan xdtet。dx 04幂级数x n的收敛半径 R。n 3nn 15 将 函 数 f xxx展 开 成 傅 里 叶 级 数 ， 则 a0，an，bn。三计算题 （每小题7 分，共 28分）：1dxexx；2ee03xdx ；21440x1xln x dx ；xdxx1四解答题 （每小题10 分，共 30 分）：1求由抛物线 y22x 与直线 yx 4 所围图形的面积。2判断级数1 n tan 1是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？n 1nx2 n 13确定幂级数的收敛域，并求其和函数。n 1 2n1五证明题 （ 12 分）：证明：函数 f x
8、sin nx在,上有连续的二阶导函数，并求f x 。n 4n 1数学分析（二）测试题（5）二 判断题 （正确的打“” ，错误的打“” ；每小题 3 分，共 15 分）：1设 a 为点集E 的聚点，则 aE。2函数 ln xx 21 是1在,内的原函数。x 213有界是函数可积的必要条件。4若 f x 为连续的奇函数，则Fxxf t dt亦为奇函数。05正项级数n 2是收敛的。n 1 2 n二填空题 （每小题3 分，共 15 分）：1数列21 n的上极限为，下极限为。2 lim12n。n2nn22nn2n2n3 dsin xdtet。dx 04幂级数4nxn的收敛半径R。n 2n 115 将 函
9、 数 f xxx展 开 成 傅 里 叶 级 数 ， 则 a0，an，bn。三计算题 （每小题7 分，共 28 分）：x31e x dx；2 dx ；129x03dx；1xdxx 2x 241 x 220四解答题 （每小题10 分，共30 分）：1求由两抛物线y x2 与y2 x2 所围图形的面积。2判断级数1 n ln n1是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？n 1n3确定幂级数n x n 1的收敛域，并求其和函数。n 1五证明题 （ 12 分）：1x2证明：函数n2上连续。f xn 1 n 2e在 0,数学分析（二）测试题（6）一判断（ 2*7=14 分）（）1. 设 x0为 f (
10、x)在 a ,b 上的极值点，则 f (x0 )0（） 2. 若在 a ,b内 f(x)g (x), f (b)g(b), 则对 x a,b, 有 f (x) g(x)（）3. 若 x为点集 A的聚点，则必有 xA（） 4.若 F ( x)连续，则F ( x)dxF (x)C（）5. 若(）在,上连续，,则x 2( )(2 )bxfdtxf xaa btfa（）6. 若an收敛， bn发散，则 （an bn）必发散（） 7. 若 an2收敛，则an3必收敛二填空（ 3*7=21 分）1. 已知f (ln x)2x,则f ( x)_2sin x ln( x21)dx_3. 设 f（x）x2( x
11、0)2f (x 1)dx_x( x0), 则e04 . 求 lim1x_sin t 2dtx0x305. 求 yx3 x 21的拐点坐标 (_)6用定积分求 lim111_n1n 2nnn7. 幂级数1 x n 的收敛半径 R n 2n三 . 计算 （4*7=28 分） ( 要有必要的计算过程 )1. xex dx1dx2.x x2113.arcsin xdx0求曲线 y2x2与 yx所围成的图形的面积4四 判别级数的敛散性（ 2*9=18 分） ( 要有必要的过程 )1 .2nn!n 1 nn2 . 判别( 1)nn）上是否一致收敛，为什么在（ ,n 1n 2x2五证明： (9+10=19
12、分)1设级数an2 与bn2 都收敛，证明：a b 绝对收敛n n2设 f ( x)在 a , b 上二阶可导， f (a) f (b)0 ，证明：存在一点(a ,b) ，使得4f ( )(b a) 2 f (b)f (a)数学分析（二）测试题（7）一判断（ 2*7=14 分）（）1.设 f ( x0 )0 ，则x0必为 f ( x) 的极值点（） 2. 若在 a ,b内 f (x)g (x), f (b) g(b), 则对x a, b, 有f (x) g (x)（）3. 若 x为点集 A的聚点，则 x可能不属于 A（） 4.若 F x 连续，则FxdxF x)C( )( )(（）5. 若 f
13、 (x）在 a,b 上连续， xbf (t)dtf ( x)b, a ,则x（）6. 若limun 1，则级数un收敛unl 1n（） 7.幂级数an xn 至少存在一个收敛点二填空（ 3*7=21 分）1. 已知f(1)x22,则()_xfx2 已知1cosxdx1cosx_1x4A, 则x4dx1013. 设f（x）x1(x0)2_x2(x, 则f ( x 1)dx0)04 . 求 lim 1x1cost dt_x0 x0t5. 求 f ( x)1x31x21的极大值为 f (_)_326用定积分求 lim 112n_nnnnn7. 幂级数2n xn 的收敛半径 R n三 .计算 （4*7
14、=28 分） ( 要有必要的计算过程 )1.x ln xdx2.13.1dxx arctanxdxxx2 10求曲线yx3从x0到x1的弧长4四 判别级数的敛散性（ 2*9=18 分） ( 要有必要的过程 )1nn21 .1n 1 2nn2 . 判别(1)nn在（ ,）上是否一致收敛，为什么n 1n 2x2五证明： (9+10=19 分)1设级数an 2 与bn 2 都收敛，证明：(anbn ) 2 收敛2 若 fx 在 ab 上连续， f xbdx证明： f x， xabf x0,)( ),( ) 0,( )(0,a数学分析（二）测试题（8）三 判断题 （正确的打“” ，错误的打“” ；每小
15、题 3 分，共 15 分）：1开区间a, b的全体聚点的集合是a, b本身。2函数lnxx 21是1在区间 1,内的原函数。x 213若 f x 在 a,b 上有界，则f x在 a,b 上必可积。4若 fx为 a,b 上的连续函数，则F xax ft d t 在 a,b 上可导。5正项级数1是收敛的。n1n二填空题 （每小题4 分，共 16分）：1 lim12n。2122222nnn2nndx t2 d x0 ed t。3幂级数x n的收敛半径 R。n 3nn 14 将 函 数 f xxx展 开 成 傅 里 叶 级 数 ， 则 a0，an，bn。三计算题 （每小题10 分，共 30 分）：1d
16、 x；2 1e ln xd x ；3xdx ；1x201 x 4四解答题 （每小题10 分，共 30 分）：1求由抛物线 y22x与直线 yx 4 所围图形的面积。2判断级数1 n 1是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？n 1n23确定幂级数n x n 1的收敛域，并求其和函数。n 1五证明题 （ 9 分）：1x2证明：函数n2上连续。f xn 1 n 2e在 0,参考答案（ 1）一 、 1 、 设 f ( x) 在 a, b 连续 ， F ( x) 是 f ( x) 在 a,b 上 的一个原函数，则成 立bF (b)F (a)f (x) dxa2、0. N0, 使得mn N ，成立 a
17、n 1 an 2am3 、设 DR 2为 开 集 ， zf ( x, y), ( x, y)D 是 定 义 在 D 上 的 二 元 函 数 ，P0 ( x0 , y0 )为 D 中的一定点，若存在只与点有关而与x, y无关的常数AB和 ，使得z A xByo( x 2y2 ) 则称函数 f在点 P0 (x0 , y0 ) 处是可微的，并称A x B y 为在点 P0 (x0 , y0 ) 处的全微分二、 1、分子和分母同时求导x 2sin t 2dt4lim02x sin x1（8 分）x6lim6x53x 0x 02、 、两曲线的交点为（0， 0），（ 1，1）（ 2 分）所求的面积为：1(
18、 xx 2 )dx1（ 3 分）031x5 )dx3所求的体积为：(x（ 3 分）01013、 解：设 f ( x)x n1)， lim(n 1)( n2)1 ，收敛半径为1，收敛域n 1 n( nn1n(n1)-1 ， 1（ 2 分）f ( x)x n111ln(1x), (0x1),n 1 (n1)xx2f ( x)xf (t)dt11x ln(1x), (0x1) (3 分）0xx=0 级数为 0， x=1，级数为1， x=-1 ，级数为1-2ln2 （ 3 分）4、解：yln x （ 3 分）2uyln xy1 (5 分）u = x zx zx z1yzx yzx三、1、解、有比较判别
19、法， Cauchy,DAlembert,Raabe判别法等 （应写出具体的内容4 分）(n1)!lim(n1) n 1lim (11) ne 1 （ 4 分）由 DAlembert判别法知级数收敛（ 1 分）nn!nn 1nnx p 1e xdx11e x dxx p1e x dx （ 211e x dx ，由于2、解：0x p1分），对x p00x1p x p1 e x1(x0) 故 p01xdx 收敛 （ 4x p 1 e x dx ， 由于时 x p 1 e分）；01x2 x p 1e x0( x) （ 4分）故对一切的px p 1 e xdx 收敛，综上所述 p0，积分1收敛3、解：
20、Sn ( x)x21分） limsupSn ( x)x0 所以函数列n2 收敛于 x （ 4nx( ,)一致收敛性（ 6 分）四、 证明题 （每小题10 分，共20 分）1、证明： x3x4xnxn1 2n21xn1x2 , (n2) （ 6 分）x2 x3xn 1x22 3 n 1 n 1n 11发散，由比较判别法知级数发散（4 分）n 2 n12、证明：0|xy| xy | （ 4 分）limxy=0 所以函数在（ 0，0）x 2y2x 2y2( x, y) (0 ,0)点 连 续 ，（ 3 分 ） 又 l i m 00 ， f x (0,0), f y (0,0)存 在 切 等 于0 ，（ 4 分 ） 但x 0x
