1、第四章 动能和势能思 考 题4.1 起重机起重重物。问在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种情况下合力之功的正负。又：在加速上升和匀速上升了距离h这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功是否一样多？解 答在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种况下合力之功的正负分别为：正、0、负、正、0、负。在加速上升和匀速上升了距离h这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功不一样多。加速上升 ；匀速上升 。4.2 弹簧A和B，劲度系数，(1)将弹簧拉长同样的距离；(2)拉长两个弹簧到某一长度时，所用的力相同。在这两种情况下拉伸弹簧的过程中，对那个
2、弹簧做的功更多？解 答 (1) 拉长同样距离 ,.(2) , ,4.3 “弹簧拉伸或压缩时，弹簧势能总是正的。”这一论断是否正确？如果不正确，在什么情况下，弹簧势能会是负的。解 答与零势能的选取有关。4.4 一同学问：“二质点相距很远，引力很小，但引力势能大；反之，相距很近，引力势能反而小。想不通”。你能否给他解决这个疑难？解 答设两物体（质点）相距无限远处为零势能。4.5 人从静止开始步行，如鞋底不在地面上打滑，作用于鞋底的摩擦力是否做了功？人体的动能是哪里来的？分析这个问题用质点系动能定理还是用能量守恒定律分析较为方便？解 答（1）作用于鞋底的摩擦力没有做功。 （2）人体的动能是内力做功的
3、结果。 （3）用质点系动能定理分析这个问题较为方便。4.6 一对静摩擦力所做功的代数和是否总是负的？正的？为零？解 答不一定。4.7 力的功是否与参考系有关？一对作用力与反作用力所做功的代数和是否和参考系有关？解 答（1）有关。 如图：木块相对桌面位移（s-l）木板对木块的滑动摩擦力做功f(s-l)若以木板为参照系，情况不一样。（2）无关。相对位移与参照系选取有关。（代数和不一定为零）4.8 取弹簧自由伸展时为弹性势能零点，画出势能曲线。再以弹簧拉伸或压缩到某一程度时为势能零点，画出势能曲线。根据不同势能零点可画出若干条势能曲线。对重力势能和万有引力势能也可如此作，研究一下。解 答（1）弹簧原
4、长为势能零点 设处势能为零。（2）重力势能：处势能为零处势能为零处势能为零万有引力势能与上雷同。两质点距离无限远处势能为零习 题4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg。人用力向后登传送带而人的质心相对于地面不动。设传送带上侧以2m/s的速率向后运动。问运动员对传送带做功否？功率如何？解 答人作用到传送带上水平方向的力，大小为50g，方向向左。因为受力点有位移，所以运动员对传送带做功。 N=F=mg=50kg9.8N/kg2m/s=980w4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为，表示弹簧的伸长量，为正。（1）研究当和时弹簧的劲度有何不同
5、；（2）求出将弹簧由拉伸至时弹簧对外做的功。解 答（1）根据题意 所以弹簧劲度为当时，由于，所以，弹簧的劲度随弹簧的伸长量的增加而增加。当时，弹簧的劲度随弹簧的伸长量的增加而减小。当时，弹簧的劲度不变。以上三种情况的弹簧劲度系数如右图所示：（2）将弹簧由拉伸至时，弹簧对外界所做的功是： 当时，拉伸，外界做功，弹性力做负功。 当时，缩短，弹性力做正功。4.2.4 一轻细线系一小球，小球在光滑水平面上沿螺线运动，绳穿过桌中心光滑圆孔，用力向下拉绳。证明力对线做的功等于线作用与小球的拉力所做的功。线不可伸长。解 答设为绳作用在小球上的力。力对小球所做的功为将分解为沿方向和与垂直方向的两个分位移(为对
6、点的位矢)如图：又 绳子不可伸长 （是力的作用点的位移）4.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以的速率向上行使，斜坡与水平的夹角的正切，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？解 答取卡车为隔离体，卡车上下坡时均受到重力mg、牵引力F、地面支持力N和阻力f作用。受力分析如图所示：上坡受力分析下坡受力分析上坡时：卡车作匀速直线运动卡车的功率下坡时：卡车作匀速直线运动卡车的功率由题意：4.3.1 质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动。木块与一不可伸长的轻绳相连。绳跨过一固定的光滑小环。绳端作用着大小不变的力T=50N.木块在A点时具有向右的速率。求力
7、T将木块自A拉至B点的速度。 解 答TABABo做功为零由动能定理：式中利用积分公式：则上式注：关于T做功还有一种解法:其中T为常量，其受力点的位移可利用三角形求。4.3.2 质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上。不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F，F=60N.木块在处有向上的速度，求木块被拉至B时的速度。解 答重力做功 方向向上4.3.3 质量为m的物体与轻弹簧相连，最初，m处于使弹簧既未压缩也为伸长的位置，并以速度向右运动。弹簧的劲度系数为，物体与支撑面之间的滑动摩擦系数为。求证物体能达到的最远距离为。解 答由： 所以：解一元二次方程：由舍去负
8、号：4.3.4 圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑。质量为m的活塞将气体密封。气体膨胀后的体积各为和，膨胀前的压强为。活塞初速度为。（1）求气体膨胀后活塞的末速率，已知气体膨胀时气体压强与体积满足恒量。（2）若气体压强与体积的关系为恒量，为常量，活塞末速率又如何？（本题用积分）解 答（1）（2）4.3.5 坐标系与坐标系各对应轴平行。相对于沿x轴以作匀速直线运动。对于系，质点动能定理为，,沿x轴。根据伽利略变换证明：相对于系，动能定理也取这种形式。解 答 由动能定理得： 最后可得：说明相对于系，动能定理的形式不变。4.3.6 带电量为e的粒子在均匀磁场中偏转。A表示发射带电粒子的离子源，发射的
9、粒子在加速管道B中加速，得到一定速率后与C处在磁场洛仑兹力作用下偏转，然后进入漂移管道D。若粒子质量不同或电量不同或速率不同，在一定磁场中偏转的程度也不同。在本题装置中，管道C中心轴线偏转的半径一定，磁场感应强度一定，粒子的电荷和速率一定，则只有一定质量的离子能自漂移管道D中引出。这种装置能将特定的粒子引出，称为“质量分析器”。各种正离子自离子源A引出后，在加速管中受到电压为V的电场加速。设偏转磁感应强度为B，偏转半径为R.求证在管中得到的离子质量为.解 答正离子从离子源引出后，在加速器中受到电压V的电场加速。正离子获得的动能为(电势能)正离子的速度由于正离子在磁场受到洛仑兹力的作用而发生偏转
10、即：4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体。圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向。框架质量为200g。自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F=20.0N作用下移至图中位置，球圆柱体的速度，线长20cm，不计摩擦。解 答以轻绳，圆柱体和框架组成的质点组所受外力有：圆柱体重力，框架重力，轻绳拉力和作用在框架上的水平力。其中轻绳的拉力和不做功。质点组所受内力：框架槽和小球的相互作用力、，由于光滑，所以、做功之和为零。质点组所力情况如图：根据质点组动能定理： （1）为圆柱体的绝对速度为框架的绝对速度。由于（见下图）将此式投影到图中所示的沿水平方向的ox轴上，得：带入
11、（1）式中解得：4.4.1 二仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和2的劲度系数分别各为和。它们自由伸长的长度相差。坐标原点置于弹簧2自由伸展处。求弹簧组在和时弹性势能的表示式。解 答弹性力外力为当时，无势能，只有有势能。外界压缩弹簧做功使势能增加。设原点处为势能零点，则：时：原点为势能零点对于：外力做功对于：外力做功4.5.1 滑雪运动员自A自由下滑，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度刚好在水平方向，已知两点的垂直高度为25m。坡道在B点的切线方向与水平面成300角，不计摩擦。求（1）运动员离开B处的速率为，（2）B,C的垂直高度差h及沟宽d，（3）运动员到达平台时的速率。
12、解 答（1）运动员在A到B的滑动过程中，受到了重力和地面支持力作用。（忽略摩擦）。重力为保守力，支持力不做功，所以机械能守恒。以B点为重力势能零点，得到运动员离开B处的速率：（2）运动员从B到C做抛物线运动，当到达C点时，由题意知：沿水平方向，说明正好到达抛物线的最高点。所以B、C的垂直高度（3）因为运动员做抛物运动时在水平方向不受力，所以水平方向的动量守恒：（4）d的高度:水平射程的一半4.5.2 装置如图所示：球的质量为5kg，杆AB长1cm，AC长0.1m，A点距O点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动。球小球到铅垂
13、位置时的速度。不及弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。解 答包含球杆弹簧的质点组受力如图所示：不做功。重力和弹性力为保守力（不计摩擦）系统机械能守恒设杆水平时势能为零 （1）（水平位置） （2）将（2）式代入（1）式4.5.3 物体Q与一劲度系数为24N/m的橡皮筋连结，并在一水平圆环轨道上运动，物体Q在A处的速度为1.0m/s，已知圆环的半径为0.24m，物体Q的质量为5kg，由橡皮筋固定端至B为0.16m，恰等于橡皮筋的自由长度。求（1）物体Q的最大速度；（2）物体Q能否达到D点，并求出在此点的速度。解 答 （1）取物体Q为隔离体在竖直方向上Q所受的力的矢量和为零。而在水平方向只受到弹力和光滑圆
14、弧的水平方向的作用力作用，为保守力，不做功。所以机械能守恒。设弹簧势能零点为弹簧原点处： （B点速度最大）（2）在D点弹性势能为：因为 所以 4.6.1 卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当粒子与氢原子相碰时，可使之迅速运动起来。按正碰撞考虑很容易证明，氢原子速度可达粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射粒子能量的64%。试证明此结论（碰撞是完全弹性的，且粒子质量接近氢原子质量的四倍）。解 答设粒子的质量为4，氢原子的质量为；粒子的初速度为，氢原子的初速度为；正碰后，粒子的速度为，氢原子的速度为。由公式: 将以上数据代入： 入射粒子的能量：氢原子碰后的能量：则： 4.6.2 m为静止车厢的质量，质
15、量为M的机车在水平轨道上自右方以速率滑行并与m碰撞挂钩。挂钩后前进了距离s然后静止。求轨道作用于车的阻力。解 答选取机车和车厢为质点组挂钩时为完全非弹性碰撞。因为冲击力大于阻力，可视为动量守恒。 撞后：由动能定理4.6.3 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度。静止时，两球恰能接触且悬线平行。碰撞的恢复系数为e。若球A自高度释放，求该球弹回后能达到的高度。又问若两球发生完全弹性碰撞，会发生什么现象，试描述之。解 答（1）A球碰前的速度，由机械能守恒： （1）A与B发生非弹性碰撞 （2）又知： （3）由（1）（2）（3）式得： （4）A球上升高度：机械能守恒 （2）若两球发生完全弹性碰撞 由
16、（4）式 再由（2）式 即A球静止，B球以A球碰前的速度开始运动。当B球上升后（高度）又落下与A球再次发生完全弹性碰撞。 ，A球以速度开始向上运动。如此往复。4.6.4 质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg、用1m长的绳子悬挂着的摆。子弹穿过摆后仍然有100m/s的速度。问摆沿铅直方向升起若干。解 答第一阶段，动量守恒第二阶段，机械能守恒4.6.5 一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来使弹簧伸长10cm。今有一质量为200g的铅块在高30cm处从静止开始落入框架。秋此框架向下移动的最大距离。弹簧质量不计。空气阻力不计。解 答铅块下落到框底速度为 （1）接下来，铅块与框架底发
17、生完全非弹性碰撞。由于冲击力大于重力、弹性力，可视为动量守恒。 （2）（由于碰撞时间短，下降距离为零）以后以共同速度下降：机械能守恒设弹簧自由伸长处框架底板的位置为重力、弹性势能零点。碰撞前弹簧伸长为，碰撞后质点移动的最大距离为。 （3）依题意 （4）（2）（4）式代入（3）式：舍去负号项，4.6.6 质量为=0.790kg和=0.800kg的物体以劲度系数为10N/m的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上。最初弹簧自由伸张。质量为0.01kg的子弹以速率=100m/s沿水平方向射于内，问弹簧最多压缩了多少？解 答第一阶段：完全非弹性碰撞 （1）第二阶段：弹簧被压缩最甚，动量守恒。 （2）（为共同速
18、度）再由机械能守恒： （3）有（1）（2）（3）式解出：4.6.7 一10g的子弹沿水平方向以速率110m/s击中并嵌入质量为100g小鸟体内。小鸟原来站在离地面4.9m高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离。解 答第一阶段是子弹击中小鸟，两者发生完全非弹性碰撞水平方向动量守恒： （为子弹、小鸟共同速度） 第二阶段是子弹和小鸟一起做平抛运动小鸟落地时间：水平距离： 4.6.8 在一铅直面内有一个光滑轨道，左面是一个上升的曲线，右边是足够长的水平直线，二者平滑连接，现有A、B两个质点，B在水平轨道上静止，A在曲线部分高h处由静止滑下，与B发生完全弹性碰撞。碰后仍可返回上升到曲线轨道某处，并再度
19、下滑，已知A、B两质点的质量分别为和。求至少发生两次碰撞的条件。解 答分三个阶段：第一阶段，A第一次与B完全弹性碰撞。设，A撞前速度为，撞后速度为； B撞前速度为零，撞后速度为。由公式： 得：要使质点返回，必须，即第二阶段，A返回上升到轨道某处，并再度下滑到平面轨道。由机械能守恒： （是再度下滑到平面轨道的速度）得 第三阶段，A，B再次碰撞。要求，即将上面的，代入此式即 这是A，B至少发生两次碰撞的条件。4.6.9 一钢球静止地放在铁箱的光滑底面上，如图示。CD长。铁箱与地面间无摩擦。铁箱被加速至时开始做匀速直线运动。后来，钢球与箱壁发生完全弹性碰撞。问碰后再经过多长时间钢球与BD壁相碰？解
20、答选取铁箱和钢球为质点组，以地面为参考系，坐标系。第一阶段，钢球与AC发生完全弹性碰撞。设为铁箱碰撞前后速度， 为小球碰撞前后速度。由完全弹性碰撞： 即碰撞前后钢球相对铁箱的速度为。第二阶段，是钢球在箱内运动，直至与BD相碰。 取钢球为研究对象，选取铁箱为参照系，由于铁箱表面光滑，所以小球在箱内作匀速直线运动。可得钢球碰后再与壁相碰的时间间隔为4.6.10 两车厢质量均为M。左边车厢与其地板上质量为M的货箱共同向右以运动。另一车厢以2从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为。求：（1）货箱与地板间的摩擦系数；（2）车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。解 答（1）第
21、一步：两车厢完全非弹性碰撞，第二步：内力作功，使体系动能改变，由动能定理以地面为参照系; （2）碰撞后系统在水平方向的动能守恒。系统的动量： 系统总动量为零，质心不动。(常量) （1） （2）（3）解（2）（3）式得：4.7.1 质量为m的氘核的速率u与静止的质量为2m的粒子发生完全弹性碰撞，氘核以与原方向成角散射。（1）求粒子的运动方向，（2）用u表示粒子的末速度，（3）百分之几的能量由氘核传给粒子？解 答 （1）由动量守恒：即：由（完全弹性碰撞）在方向上有关系式： （3）（1）（2）式代入（3）式得：（2） 由（1）式（3） 动能比：4.7.2 参考3.8.7题图。桑塔娜空车质量为，载质量
22、为70kg一人，向北行驶。另一质量为的切诺基汽车向东行驶。而车相撞后连成一体，沿东偏北滑出d=16m而停止。路面摩擦系数为。该地段规定车速不得超过80km/。问那辆车违背交通规则？又问因相撞损失多少动能？解 答碰后的共同速度 （1） （2） （3）解得：切诺基超速。碰撞损失的动能：第十章 波动和声 习题10.2.1 频率在20至20000Hz的弹性波能使人耳产生听到声音的感觉.0时，空气中的声速为331.5m/s，求这两种频率声波的波长.解 答10.2.2 一平面简谐声波的振幅为0.001m，频率为1483Hz，在20的水中传播，写出其波方程.解 答已知表P309知波速1483m/s。设O-x
23、轴沿波传播方向，x表示质元平衡位置坐标，y表示质心相对平衡位置的位移，选坐标原点处位相为零的时刻为计时起点。即原点处初相为零。则位于处的体元相位落后。即：10.2.3 已知平面简谐波的振幅，波长1m，周期为，写出波方程（最简形式）.又距波源9m和10m两波面上的相位差是多少？解 答选坐标原点处位相为零刻为计时起点。O-x轴沿波传播方向，则可得波的最简形式：代入已知数据得设波源处为，则因此位相差是：10.2.4 写出振幅为A，波速为，沿Ox轴正方向传播的平面简谐波方程.波源在原点O，且当t=0时，波源的振动状态被称为零，速度沿Ox轴正方向.解 答波源振动方程：因此波源振动方程为： 任一处的位相比
24、波源的相位落后，得波方程为 将已知量代入得：10.2.5 已知波源在原点（）的平面简谐波方程为 ，A,b,c均为常量。试求：（1）振幅，频率，波速和波长；（2）写出在传播方向上距波源处一点的振动方程式，此质点振动的初位相如何？解 答与平面简谐波方程的标准形式比较可得：（1） 振幅为A，频率：；波速，波长（2）时，该点的振动方程式为：此质点振动的初位相为 。10.2.6 一平面简谐波逆轴传播，波方程为，试利用改变计时起点的方法将波方程化成最简形式。解 答 ，最简形式应为如改变计时起点后的新计时系统以应满足，因此即将计时起点提前3秒，就可将波方程化成最简形式10.2.7 平面简谐波方程，试用两种方
25、法画出时的波形图。（SI）解 答的波形图。方法一：有方程求得。找出对应于方程的各（x,y）点,例如：通过各点描绘出所求波形图（右图）。方法二：由方程求得，先画出的图形，在将纵坐标轴向右移动：即向右移动，就可以得到所求的波形图。10.2.8 对于平面简谐波画出处体元的位移-时间曲线。画出时的波形图。解 答（1）可求得T=12s,t=0时；（2）t=3s、6s时波形图其相位与t=3s时相差，所以将t=3s的波形图向右移，即得t=6s时的波形图。10.2.9 二图分别表示向右和向左传的两列平面简谐波在某瞬时的波形图，说明此时以及各质元的位移和速度为正还是为负？它们的相位如何？（对于和只要求说明其相位
26、在第几象限）解 答若波用余弦函数表示,则所求结果如下表.横坐标位移速度相位正最大0负负象限0负最大正最大0负正象限0正最大10.2.10 图（a）、（b）分别表示和时的某一平面简谐波的波形图。试写出此平面简谐波波方程。(a)(b)解 答由图知由图(a)知,原点处质元t=0时,位移最大,速度为零,因此原点处质元初相.比较t=0和t=2s的(a)(b)图知,因此取,将之值代入波方程的一般表示式就可以得到所求波方程的一个表达式:10.3.1 有一圆形横截面的铜丝，手张力1.0N，横截面积为1.0.求其中传播横波和纵波时的波速各多少？铜的密度为，铜的杨氏模量为.解 答可把很细的铜丝看作柔软的弦线(设弦
27、线的密度为),计算在其中传播的横波的波速.10.3.2 已知某种温度下水中声速为，求水的体变模量.解 答已知10.4.1 在直径为14cm管中传播的平面简谐声波.平均能流密度，.（1）求最大能量密度和平均能量密度，（2）求相邻同相位波面间的总能量.解 答(1) 能量密度 最大能量密度 能流密度 已知 平均能流密度 (2) 由于相邻同位相波面间的距离为.一周期内单位体积媒质具有的平均能量为,因此相邻同位相波面间的总能量为10.4.3 面向街道的窗口面积约，街道上的噪声在窗口的声强级为60dB，问有多少声功率传入室内（即单位时间内进入多少声能）？解 答声功率10.4.4 距一点声源10m的地方，声
28、音的声强级为20dB.求（1）距声源5m处的声强级；（2）距声源多远，就听不到1000Hz的声音了？解 答(1) (2) 设距声源时,刚好听不到声音10.5.1 声音干涉仪用于显示声波的干涉,见图.薄膜S在电磁铁的作用下振动.D为声音检测器,SBD长度可变,SAD长度固定.声音干涉仪内充满空气.当B处于某一位置时,在D处听到强度为100单位的最小声音,将B移动则声音加大,当B移动1.65时听到强度为900单位的最强音.(1)求声波的频率,(2)求到达D处二声波振幅之比.已知声速为342.4.解 答(1)由最小声音到相邻的最强音,经SAD,SBD管内穿到D处的二相干波,传播距离差应改变,此改变量
29、是由B管的移动引起的,因此(2)10.5.2 两个声源发出横波,振动方向与纸面垂直,二波源具有相同的位相,波长.(1)至少求出三个数值使得在P点合振动最强,(2) 求出三个数值使得在P点合振动最弱.解 答此二横波振动方向相同,波长相同,在同一种媒质中传播,波速相同,因此其周期相同,圆频率也相同,传到P点的此二横波的方程可写成:(1)在P点合振动最强时,二横波在该点引起的多振动位相相同,即由此得, . 已知 取 时得10.5.3 试证明两列频率相同,振动方向相同,传播方向相反而振幅大小不同的平面简谐波相叠加可形成一驻波与一行波的叠加.解 答设满足题目要求的二平面简谐波为:则:此结果的前一项表示一
30、行波,后一项表示一驻波,可见满足题目要求的二平面简谐波叠加后形成了一驻波与一行波的叠加.10.5.4 入射波在固定端反射,坐标原点与固定端相距,写出反射波方程.无振幅损失.(SI)解 答反射波的振幅,频率,波速均与入射波相同,传播方向与入射波传播方向相反,初位相也不同,因入射波在坐标原点的初位相为零.故反射波在原点的初位相为:其中为落后位相,为半波损失.入射波可见 由以上各条件可写出所求反射波在原点的振动方程:反射波的振动方程为:10.5.5 入射波方程为,在X=0处的自由端反射,求反射波的波方程.无振幅损失.解 答由入射波方程 知反射波振幅为A,周期为T,波长为,传播方向沿坐标轴O-X正方向
31、.因在X=0处自由端反射,故反射波与入射波在原点处位相相同.因此反射波方程为:10.5.6 图示某一瞬时入射波的波形图, 在固定端反射.试画出此瞬时反射波的波形图.无振幅损失.解 答因为反射波与入射波传播方向相反,在固定端反射时,二者位相差为,所以可以按以下方法作出反射波波形图:以界面处质元平衡位置为原点如图建立坐标系.设入射波波方程为先作出入射波波形图,以轴为对称轴的对称波形图,并画出该波形图在固定端左侧的部分.设此波是逆X轴正方向传播的,则其方程可写为因为固定端反射波在界面处有半波损失,所以反射波方程应为:其波形应比前述的入射波对称波形图向右移动半个波长.可见这两个波形图是以X轴为对称轴的
32、对称图形.因此,再作出以X轴为对称轴的前述波形图的对称图形.即得所求反射波的波形图.10.5.7 若10.5.6题图中为自由端反射,画出反射波波形图.解 答因为入射波在自由端反射时,没有半波损失,即反射波和入射波在界面处位相相同,而传播方向相反,所以反射波波形图是入射波波形图以界面为对称的对称图形,其图形如图所示10.5.8 一平面简谐波自左向右传播,在波射线上某质元A的振动曲线如图示.后来此波在前进方向上遇仪障碍物而反射,并与该入射平面简谐波叠加形成驻波,相邻波节波腹距离为,以质元A的平衡位置为轴原点,写出该入射波波方程.解 答振动的一般方程可写为 由题意知因此,质元A的振动方程为: 这就是
33、所求波方程中原点处质心的振动方程.已知相邻波节,波腹间距离为由以上诸条件可写出以质元A的平衡位置为OY轴原点的入射波方程为:10.5.9 同一媒质中有两个平面简谐波波源作同频率,同方向,同振幅的振动.二波相对传播,波长.波射线上A,B两点相距.一波在A处为波峰时,另一波在B处位相为.求AB连线上因干涉而静止的各点的位置.解 答由已知条件可知,此二平面简谐波为相干波,在二波源间的连线上形成驻波.以A为原点建立OX坐标轴,以甲波在点位相为零时刻为计时起点.在A,B间,甲波方程为:乙波方程为: 由题知,甲波在A处质点位移为正最大时,在处的B点位相为,因此当时,在处当AB间的点因干涉而静止时,甲乙二波
34、在该点的位相差应满足:当 时,这就是AB间静止各点的位置坐标.10.5.10 一提琴弦长50,两端固定.不用手指按时,发出的声音是A调:440.若欲发出C调:528,手指应按在何处?解 答音调决定了基频,弦的基频为一定, 已知 因此 10.5.11 张紧的提琴弦能发出某一种音调,若欲使它发生的频率比原来提高一倍,问弦内张力应增加多少倍?解 答因此,弦内张力应增加3倍.10.7.1 火车以速率驶过一个在车站上的观察者,火车发出的汽笛声频率为.求观察者听到的声音的变化.设声速是解 答近似认为静止的观察者和火车轨道在同一直线上,则当火车驶向观察者时,观察者听到的声音的频率为当火车驶离观察者时,观察者
35、听到的声音的频率为:因此,火车驶过观察者时, 观察者听到的声音频率的变化为:10.7.2 两个观察者A和B携带频率均为1000的声源.如果A静止,而B以的速度向A运动,那么A和B听到的拍是多少?设声速是340.解 答对A来说,系观察者静止,声源运动,因此A听到的频率为:A听到的拍频为 对B来说,系观察者运动,声源静止,因此B听到的频率为:B听到的拍频为 10.7.3 一音叉以速率接近墙壁,观察者在音叉后面听到拍音频率,求音叉振动频率. 设声速是340.解 答若音叉后的观察者直接听到音叉的频率为,听到经玻璃反射的频率为,因波源(音叉)在运动,所以:拍频 因此 10.7.4在医学诊断上用多普勒效应测内脏器壁或血球的运动速度.设将频率为的超声脉冲垂直射向蠕动的胆囊壁,得到回声频率,求胆囊壁的运动速率.设胆内声速为.解 答设胆囊内声速为,胆运动速度为
