1、第五章 恒定磁场5-1 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质（即）中，当存在恒定电流时，试证磁感应强度应满足拉普拉斯方程，即。证 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质中，由及，得对等式两边同时取旋度，得但是，考虑到恒等式，得又知，由上式求得。5-2 设两个半径相等的同轴电流环沿x轴放置，如习题图5-2所示。试证在中点P处，磁感应强度沿x轴的变化率等于零，即Paaaz习题图5-2xyo解 设电流环的半径为a，为了求解方便，将原题中坐标轴x换为坐标轴z，如图示。那么，中点P的坐标为（z，0，0），电流环位于处，电流环位于处。根据毕奥沙伐定律，求得电流环在P点产生的磁感应强度为取圆柱坐标系，则，因此 同
2、理可得，电流环在P点产生的磁感应强度为那么，P点合成磁感应强度为 由于和均与坐标变量z无关，因此P点的磁感应强度沿z轴的变化率为零，即ao aaPxyACB习题图5-35-3 已知边长为a的等边三角形回路电流为I，周围媒质为真空，如习题图5-3所示。试求回路中心点的磁感应强度。解 取直角坐标系，令三角形的AB边沿x 轴，中心点P位于y轴上，电流方向如图示。由毕奥沙伐定律，求得AB段线电流在P点产生的磁感应强度为式中，即由于轴对称关系，可知BC段及AC段电流在P点产生的磁感应强度与AB段产生的磁感应强度相等。因此，P点的磁感应强度为5-4 已知无限长导体圆柱半径为a，通过的电流为I，且电流均匀分
3、布，试求柱内外的磁感应强度。解 建立圆柱坐标系，令圆柱的轴线为Z轴。那么，由安培环路定律得知，在圆柱内线积分仅包围的部分电流为，又，则即在圆柱外，线积分包围全部电流，那么即习题图5-5(b)YXrYXcabJY习题图5-5(a)5-5 已知无限长导体圆柱的半径为a，其内部存在的圆柱空腔半径为b，导体圆柱的轴线与空腔圆柱的轴线之间的间距为c，如习题图5-5（a）所示。若导体中均匀分布的电流密度为，试求空腔中的磁感应强度。解 柱内空腔可以认为存在一个均匀分布的等值反向电流，抵消了原有的电流而形成的。那么，利用叠加原理和安培环路定律即可求解。已知半径为，电流密度为的载流圆柱在柱内半径r处产生的磁场强
4、度H1为求得，或写为矢量形式对应的磁感应强度为同理可得半径为，电流密度为的载流圆柱在柱内产生的磁场强度为对应的磁感应强度为上式中的方向及位置如习题图5-5（b）示。因此，空腔内总的磁感应强度为5-6 两条半无限长直导线与一个半圆环导线形成一个电流回路，如习题图5-6所示。若圆环半径r =10cm，电流I = 5A，试求半圆环圆心处的磁感应强度。rI0X习题图5-6Y解 根据毕奥沙伐定律，载流导线产生的磁场强度为 设半圆环圆心为坐标原点，两直导线平行于X轴，如图所示。那么，对于半无限长线段，因此，在圆心处产生的磁场强度为同理线段在圆心处产生的磁场强度为对于半圆形线段, , 因此，它在半圆心处产生
5、的磁场强度为 那么，半圆中心处总的磁感应强度为5-7 若在处放置一根无限长线电流，在y = a处放置另一根无限长线电流，如习题图5-7所示。试YZ-aaI0IX习题图5-7求坐标原点处的磁感应强度。解 根据无限长电流产生的磁场强度公式，求得位于处的无限长线电流在原点产生的磁场为位于处的无限长线电流产生的磁场为因此，坐标原点处总磁感应强度为yz-w/2w/2IodxJxP5-8 已知宽度为W的带形电流的面密度，位于z = 0平面内，如习题图5-8所示。试求处的磁感应强度。dyyzyo习题图5-8(a)习题图5-8(b)解 宽度为，面密度为的面电流可看作为线电流，其在P点产生的磁场为 由对称性可知
6、，z方向的分量相互抵消，如习题图5-8（b）所示，则 YZPah0IX习题图5-9因此，在处的磁感应强度为5-9 已知电流环半径为a，电流为I，电流环位于z = 0平面，如习题图5-9所示。试求处的磁感应强度。解 由毕奥沙伐定律得因为处处与正交，则即由对称性可知，P点磁场强度只有分量，所以因此，处的磁感应强度为zzdr05-10 当半径为a的均匀带电圆盘的电荷面密度为，若圆盘绕其轴线以角速度旋转，试求轴线上任一点磁感应强度。解 如习题图 5-10所示，将圆盘分割成很多宽度为的载流圆环dI，它在处产生的磁感应强度，根据题5-9结果,得知因为习题图5-10因此5-11 已知位于y = 0平面内的表
7、面电流，试证磁感应强度B为0XYZ习题图5-11解 有两种求解方法。解法一：将平面分割成很多宽度为的无限长线电流，那么由题5-8结果获知，当时因此，积分求得同理，当时，那么，积分求得解法二：由题5-8知，即 令y 0的区域中磁场强度为H2，那么，在的边界上，。由此求得 ，因此5-12 已知N边正多边形的外接圆半径为a，当通过的电流为I时，试证多边形中心的磁感应强度为IIIO习题图5-12式中为正多边形平面的法线方向上单位矢量。若时，中心B值多大？解 如习题图5-12所示，载流线圈每边在中心O处产生的磁感应强度为所以，N条边在中心O处产生的磁场为 当时，此结果即是半径为的电流环在中心处产生的磁感
8、应强度。5-13 若表面电流位于平面内，试证式中为在处取极值的一维函数。解 由安培环路定理得知，因，再利用斯托克斯定理得由函数的定义可知，一维函数的量纲为长度的倒数。因此，为体电流密度,即上式对于任何表面都成立，因此被积函数为零，即5-14 若位于圆柱坐标系中处的无限长线电流的电流为I，方向与正Z轴一致，试证磁感应强度为解 由函数的定义可知，为二维函数在圆柱坐标系中的表示，其量纲为面积的倒数。因此，为位于处的z方向的电流密度。那么由安培环路定律得知，即再利用斯托克斯定理，求得 上式对于任何表面均成立，因此被积函数为零，即5-15 若无限长的半径为a的圆柱体中电流密度分布函数，试求圆柱内外的磁感
9、应强度。解 取圆柱坐标系，如习题图5-15所示。当时，通过半径为r的圆柱电流为oxyz习题图 5-15由求得当时由求得5-16 证明矢量磁位A满足的方程式的解为（提示：利用函数在处的奇点特性）。证明 已知因此xyo习题图 5-175-17 已知空间y 0区域为磁性媒质，其相对磁导率区域为空气。试求：当空气中的磁感应强度时，磁性媒质中的磁感应强度B；当磁性媒质中的磁感应强度时，空气中的磁感应强度B0。解 根据题意，建立的直角坐标如图5-17所示。 设磁性媒质中的磁感应强度为已知在此边界上磁感应强度的法向分量连续，磁场强度的切向分量连续。因此，求得，即 设空气中的磁感应强度为则由边界条件获知，求得
10、，即5-18 已知均匀绕制的长螺线管的匝数为N，长度为L，半径为a，电流为I，如习题图5-18(a)所示。试求： 螺线管内部中点o处的磁感应强度；orRxzyPIdl习题图5-18(b)f 螺线管外部P点的磁感应强度，图中。PoNL2ad习题图5-18(a)解 螺线管可看作是线密度为的圆柱面电流，如图习题图5-18(b)所示。由题5-9的结果得知，电流为的电流环在中点o处产生的磁感应强度为那么，螺线管在中点o处产生的总磁感应强度为 为了计算螺线管外的场强，可将螺线管看作为由N个同轴电流环组成。已知在xoy平面内，单个电流环I在点产生的矢量磁位为 式中，。考虑到，那么因此 当电流环位于xoy平面
11、时，r = d，那么，在处产生的磁感应强度为考虑到，对于P点而言，可以认为每个电流环均处于xoy平面内。因此，P点磁感应强度增加N倍，即5-19 根据式（5-2-9b），证明。证明 式（5-2-9b）为则利用高斯定理，同时考虑到，求得但由电流连续性原理获知，。因此，。5-20 证明在边界上矢量磁位A的切向分量是连续的。解 已知磁通与矢量磁位A的关系为 类似证明磁场强度的切向分量是连续的方法，紧靠边界作一个闭合矩形方框。当方框面积趋近零时，穿过方框的磁通也为零，那么求得这样，由此获知，即边界上矢量磁位的切向分量是连续的。5-21 当磁导率为的磁棒插入电流为I的螺线管中，若单位长螺线管的匝数为N，
12、磁棒的半径为a，螺线管的内径为。试求：及区域中的磁感应强度B，磁场强度H及磁化强度；磁棒中的磁化电流密度及磁棒表面的表面磁化电流密度。BACDmz习题图 5-22解 根据题意，螺线管中磁棒位置如图5-22所示。取圆柱坐标系，且令螺线管的轴线与z轴一致。作一个矩形闭合回路，其中AB和CD边垂直于螺线管壁，AD边紧靠在螺线管外壁，BC边平行于螺线管内壁，其长度为。沿该矩形闭合回路积分，由安培环路定律知可以认为，螺线管中的磁场强度方向均与螺线管的轴线平行，螺线管外附近无漏磁。那么当矩形回路的BC边位于磁棒内时，若令磁棒内的磁场强度为H1，则上述闭合积分变为因此，磁棒内的磁场强度为磁棒内的磁感应强度为
13、磁棒内的磁化强度为若令磁棒与螺线管壁之间的磁场强度为H2，则上述闭合积分变为 磁棒与螺线管壁之间的磁感应强度为磁棒与螺线管壁之间磁化强度为 磁棒中的磁化电流密度为磁棒侧面的表面磁化电流密度为5-22 已知半径为a的铁氧体球内部的磁化强度，试求：球内磁化电流密度及球面的表面磁化电流密度；磁化电流在球心处产生的磁感应强度B。解 球内磁化电流密度为球面的表面磁化电流密度为由题5-9的结果获知，位于处宽度为的环行电流在球心产生的磁感应强度那么，整个球面上磁化电流在球心产生的磁感应强度为5-23 当磁矩为25Am2的磁针位于磁感应强度B = 2T的均匀磁场中，试求磁针承受的最大转矩。解 当磁矩方向与磁感应强度方向垂直，即夹角时，磁针承受的转矩最大，因此磁针承受的最大转矩为5-24 已知体积为1m3的均匀磁化棒的磁矩为10Am2，若棒内磁感应强度，为轴线方向。试求棒内磁场强度。解 由磁化强度定义，求得棒内磁化强度为那么，棒内磁场强度为5-25 已知位于坐标原点的磁化球的半径为a，若球内的磁化强度，式中A，B均为常数，试求球内及球面上的磁化电流。解 球内的磁化电流密度为因此，球内的磁化电流为零。球面上的表面磁化电流密度为位于处宽度为的环形电流为因此，球面上的总磁化电流为19 / 19
