1、电磁场与电磁波复习资料填空题1梯度的物理意义为描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向，等值面、方向导数与梯度的关系是空间某一点的梯度垂直过该点的等值面；梯度在某方向上的投影即为方向导数。2用方向余弦写出直角坐标系中单位矢量的表达式3某二维标量函数，则其梯度= 梯度在正方向的投影为-1 。4自由空间中一点电荷位于，场点位于，则点电荷的位置矢量为 ，场点的位置矢量为 ，点电荷到场点的距离矢量为 。5矢量场，其散度为3 ，矢量场在点处的大小为3 。6直角坐标系下方向导数的数学表达式梯度的表达式为任意标量的梯度的旋度恒为0 ，任意矢量的旋度的散度恒为0 。7矢量散度在直角坐标系的表达式为 在圆
2、柱坐标系的表达式为在球坐标系的表达式为8矢量微分运算符在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系的表达式分别为 。9高斯散度定理数学表达式为 ， 斯托克斯定理数学表达式为 。10矢量通量的定义为：P16页1.4.2节第三段第一句即定义散度的定义为P17页1.4.3节第二段即定义环流的定义为矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分。旋度的定义为矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向11矢量的旋度在直角坐标系下的表达式为 。12矢量场为无旋场的条件为，该矢量场是由 散度 源所产生。13矢量场为无散场的条件为，该矢量场
3、是由漩涡 源所产生。14电流连续性方程的微分形式为 。15在国际单位制中，电场强度的单位是V/m（伏/米），电位移的单位是C/m，磁场强度的单位是A/m ，磁感应强度的单位是 特斯拉，简称特（T），介电常数的单位是法拉/米(F/m)； ，磁导率的单位是亨利每米（H /m），电导率的单位是西门子/米（S/m）。16在自由空间中，点电荷产生的电场强度与其电荷量成正比，与场点到源点的距离平方成反比。17从宏观效应来看，物质对电磁场的响应可分为极化 ，磁化 ，传导 三种现象。18线性且各向同性媒质的本构关系方程是： ， ， 。19麦克斯韦方程组的微分形式是： ， ， ， 。20麦克斯韦方程组的积分形式
4、是： ， ， ， 。21求解时变电磁场或解释一切宏观电磁现象的理论依据是麦克斯韦方程组 。22在两种媒质分界面的两侧，电场的切向分量0 ；磁场的法向分量0 ；电流密度的法向分量0 。23一般介质分界面的边界条件分别为， ， 24两种理想介质分界面的边界条件分别是2.7.13141516 ，理想介质与理想导体分界面的边界条件分别是2.7.9101112。25静态场指不随时间变化的场 ，静电场 、恒定电场 、恒定磁场；分别是由静止电荷、在导电媒质中恒定运动电荷 、恒定电流产生的。26静电场的基本方程积分形式为： ， ；相应的边界条件为： ， 。微分形式为： ， 。27恒定电场的基本方程积分形式为：
5、 ， ；相应的边界条件为： ， 。微分形式为： ， 。28恒定磁场的基本方程积分形式为： ， ；相应的边界条件为： ， 。微分形式为： ， 。29理想导体（媒质2）与空气（媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：2.7.910111230电位满足的泊松方程为；在两种纯介质分界面上电位满足的边界条件为：3.1.19 ，3.1.20 。31在静电场中，电场强度与电位的微分关系为 ，积分关系为 ，电场强度的方向为高 电位指向低 电位。32对于时变电磁场，磁场与矢量位的关系为 ，电场强度与标量位的关系为 。33在磁场中，定义矢量位函数的前提条件是 。的散度定义为 ，这个条件叫洛仑兹规范。34一般介质中电
6、磁波的波动方程为 ， 。均匀平面波的波动方程为5.1.12 ，5.1.34 。35标量位函数的达朗贝尔方程为 ，矢量位函数的达朗贝尔方程为 。36时谐电磁场的亥姆霍兹方程组为公式4.5.2137用电场矢量、表示的电场能量密度的公式为 。38空气中的电场强度，则其位移电流密度 。39磁场强度，其复数形式为。40均匀平面电磁波在真空中的传播速度，则在的电介质中传播时，传播速度为m/s 。41均匀平面波在理想介质中传播时，的相位与的相位同相位 。42沿Z轴传播的平面电磁波的复数表示式为:43电磁波的极化是在空间任意给定点上，合成波电场强度矢量的大小和方向都可能随时间变化的现象。其三种基本形式分别为直
7、线极化 、圆极化 、椭圆极化计算题：1矢量，求（1）（2）解：（1） （2） 2标量场，在点处（1）求出其梯度的大小（2）求梯度的方向解：（1） 梯度的大小： （2）梯度的方向 3矢量函数，试求（1）（2）解：（1）（2） 4某矢量函数为（1）试求其散度（2）判断此矢量函数是否可能是某区域的电场强度（静电场）？解：（1） （2）可见，该矢量函数为无旋场，故它可能是某区域的电场强度。 5按要求完成下列题目（1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？（2）如果是，求相应的电流分布。解：（1）根据散度的表达式 将矢量函数代入，显然有 故：该矢量函数为某区域的磁通量密度。 （2）电流分布为： 6矢量函
8、数，试求（1）（2）若在平面上有一边长为2的正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量穿过此正方形的通量。解： （1） （2） 平面上面元矢量为 穿过此正方形的通量为 7放在坐标原点的点电荷在空间任一点处产生的电场强度表达式为 （1）求出电力线方程；（2）画出电力线。解:（1） 由力线方程得 对上式积分得 式中，为任意常数。（2）电力线如图所示。8一个点电荷位于处，另一个点电荷位于处，其中。求（1） 求出空间任一点处电位的表达式；（2） 求出电场强度为零的点。解：（1）建立如图所示坐标空间任一点的电位 其中， （2）根据分析可知，电场等于零的位置只能位于两电荷的连线上的的左侧，设位于处，则在
9、此处电场强度的大小为 令上式等于零得 求得 9设无限长直线均匀分布有电荷，已知电荷密度为，求（1） 空间任一点处的电场强度；（2） 画出其电力线，并标出其方向。解（1）由电荷的分布对称性可知，离导线等距离处的电场大小处处相等，方向为沿柱面径向，在底面半径为长度为的柱体表面使用高斯定理得： 可得空间任一点处的电场强度为：（2）其电力线如图所示10真空中均匀带电球体，其电荷密度为，半径为，试求（1） 球内任一点的电位移矢量（2） 球外任一点的电场强度解：（1）作半径为的高斯球面，在高斯球面上电位移矢量的大小不变， 根据高斯定理，有 （2）当时，作半径为的高斯球面，根据高斯定理，有 电场强度为 11
10、设真空中无限长直导线电流为，沿轴放置，如图所示。求（1）空间各处的磁感应强度（2）画出其磁力线，并标出其方向。解：（1）由电流的柱对称性可知，柱内离轴心任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为沿柱面切向，由安培环路定律： 得： 于是空间各处的磁感应强度为： (2) 磁力线如图所示 方向：与导线电流方向成右手螺旋。 12设半径为的无限长圆柱内均匀地流动着强度为的电流，设柱外为自由空间，求（1） 柱内离轴心任一点处的磁场强度；（2） 柱外离轴心任一点处的磁感应强度。解（1）由电流的柱对称性可知，柱内离轴心任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为沿柱面切向，由安培环路定律： 整理可得柱内离轴心任一点处的
11、磁场强度 （2）柱外离轴心任一点处的磁感应强度也大小处处相等，方向为沿柱面切向，由安培环路定律： 整理可得柱内离轴心任一点处的磁感应强度 13海水的电导率为4 S/m ，相对介电常数为 81 ，求频率为1 MHz 时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。解：设电场随时间作正弦变化，表示为则位移电流密度为 其振幅值为传导电流的振幅值为故14真空中均匀带电球体，其电荷密度为，半径为，试求（1） 球内任一点的电位移矢量（2） 球外任一点的电场强度解：（1）作半径为的高斯球面，在高斯球面上电位移矢量的大小不变， 根据高斯定理，有 （2）当时，作半径为的高斯球面，根据高斯定理，有 电场强度为 15电偶极子
12、电量为，正、负电荷间距为，沿轴放置，中心位于原点，求（1）求出空间任一点P处的电位表达式（2）画出其电力线。解：（1） 空间任一点P处的坐标为则该点处的电位为： 其中， （2）电力线图如图所示 零电位面电力线16同轴线内导体半径为，外导体半径为，内、外导体间介质为空气，其间电压为（1）求处的电场强度（2）求处的电位移矢量解：（1） 导体内部没有电荷分布，故内导体内部处的电场强度处处为零。 （2）设单位长内导体表面电荷密度为，由电荷的分布对称性可知，离导线等距离处的电场大小处处相等，方向为沿柱面径向，在底面半径为长度为的柱体表面使用高斯定理得：可得任一点处的电场强度为： 再由得任一点处的电位移矢
13、量为： 17无限长同轴电缆内导体半径为，外导体的内、外半径分别为和。电缆中有恒定电流流过（内导体上电流为、外导体上电流为反方向的），设内、外导体间为空气，试求：（1）求处的磁场强度（2）求处的磁场强度。解：（1）由电流的对称性可知，柱内离轴心任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为沿柱面切向，由安培环路定律： 可得同轴内外导体间离轴心任一点处的磁场强度 （2）区域同样利用安培环路定律 此时环路内总的电流为零，即 处的磁场强度为 18已知同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，内外导体间填充介电常数为的均匀电介质，求同轴线单位长度的电容。解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和 ，应用
14、高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为内外导体间的电位差 得同轴线单位长度的电容为19.如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。解 设长直导线中的电流为I ，根据安培环路定理，得到 穿过三角形回路面积的磁通为由图中可知20一个位于Z轴上的长直导线，在其旁边放置一个矩形导线框，矩形线框与直线电流共面，位置参数和尺寸参数如图所示，求长直导线与矩形线框的互感系数M。解：设长直导线中通过的电流为I，根据安培环路定理，得：穿过矩形回路面积的磁通为：则长直导线与矩形线框的互感系数为：21已知自由空间（参数为）中的磁场强度为，式中均为常数。求该空间中的电场强度和位移电流密度。解 自由空
15、间的传导电流密度为0，故得22两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和 x = a 处，在两板之间的 x = b 处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。解 在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程 方程的解为 利用边界条件，有x=0处 处，x=a处 处x=b处所以由此解得 , 最后得：23在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1） 试写出其时间表达式；（2） 说明电磁波的传播方向解：（1）该电场的时间表达式为： （2）由于相位因子为，其等相位面在xoy平面，传播方向为z轴方向。
