1、l 习题及参考答案5.1 一个点电荷Q与无穷大导体平面相距为d，如果把它移动到无穷远处，需要作多少功？解：用镜像法计算。导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为-Q，位于和原电荷对称的位置。当电荷Q离导体板的距离为x时，电荷Q受到的静电力为 静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力在移动过程中，外力f所作的功为当用外力将电荷Q移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为。也可以用静电能计算。在移动以前，系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能：移动点电荷Q到无穷远处以后，系统的静电能为零。因此，在这个过程中，
2、外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为。y-qqd52 一个点电荷放在直角导体内部（如图5-1），求出所有镜像电荷的位置和大小。a解：需要加三个镜像电荷代替x导体面上的感应电荷。在（-a，d）qq处，镜像电荷为-q，在（错误！链接无效。）处，镜像电荷为q，在（a，-d）处，镜像电荷为-q。 图5-153 证明：一个点电荷q和一个带有电荷Q、半径为R的导体球之间的作用力为 其中D是q到球心的距离（DR）。证明：使用镜像法分析。由于导体球不接地，本身又带电Q，必须在导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。在距离球心b=R2/D处，镜像电荷为q= -Rq/D；在球心处，镜像电荷为。点电
3、荷q受导体球的作用力就等于球内两个镜像电荷对q的作用力，即 54 两个点电荷+Q和-Q位于一个半径为a的接地导体球的直径的延长线上，分别距离球心D和-D。（1）证明：镜像电荷构成一电偶极子，位于球心，偶极矩为2a3Q/D2。（2）令Q和D分别趋于无穷，同时保持Q/D2不变，计算球外的电场。解：（1）使用导体球面的镜像法叠加原理分析。在球内应该加上两个镜像电荷：一个是Q在球面上的镜像电荷，q1 = -aQ/D，距离球心b=a2/D；第二个是-Q在球面上的镜像电荷，q2 = aQ/D，距离球心b1=-a2/D。当距离较大时，镜像电荷间的距离很小，等效为一个电偶极子，电偶极矩为（2）球外任意点的电场
4、等于四个点电荷产生的电场的叠加。设+Q和-Q位于坐标z轴上，当Q和D分别趋于无穷，同时保持Q/D2不变时，由+Q和-Q在空间产生的电场相当于均匀平板电容器的电场，是一个均匀场。均匀场的大小为，方向在-ez。由镜像电荷产生的电场可以由电偶极子的公式计算： 55 接地无限大导体平板上有一个半径为a的半球形突起，在点（0，0，d）处有一个点电荷q（如图5-5），求导体上方的电位。qz解：计算导体上方的电位时，要保持d导体平板部分和半球部分的电位都为aq2b零。先找平面导体的镜像电荷q1 = -q，-bq3位于（0，0，-d）处。再找球面镜像q1-d电荷q2 = -aq/d，位于（0，0，b）处，b=
5、 a2/d。当叠加这两个镜像电荷和原电荷共同产生的电位时，在导体平面上和 图5-5球面上都不为零，应当在球内再加上一个镜像电荷q 3 =aq/d，位于（0，0，-b）处。这时，三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平面和球面上都为零。而且三个镜像电荷在要计算的区域以外。导体上方的电位为四个点电荷的叠加，即其中56 求截面为矩形的无限长区域（0xa，0yb）的电位，其四壁的电位为 解：由边界条件知，方程的基本解在y方向应该为周期函数，且仅仅取正弦函数，即 在x方向，考虑到是有限区域，选取双曲正弦和双曲余弦函数，使用边界条件，得出仅仅选取双曲正弦函数，即 将基本解进行线性组合，得 待定常数由x=
6、a处的边界条件确定，即使用正弦函数的正交归一性质，有 化简以后得=求出系数，代入电位表达式，得57一个截面如图5-7所示的长槽，向y方向无限延伸，两则的电位是零，槽内y，0，底部的电位为y=0=U0x求槽内的电位。=0解：由于在x=0和x=a两个边界的电位为零，故在x方向选取周期解，a且仅仅取正弦函数，即 图5-7在y方向，区域包含无穷远处，故选取指数函数，在y时，电位趋于零，所以选取由基本解的叠加构成电位的表示式为由基本解的叠加构成电位的表示式为待定系数由y=0的边界条件确定。在电位表示式中，令y=0，得当n为奇数时，当n为偶数时，。最后，电位的解为57 若上题的底部的电位为重新求槽内的电位
7、。解：同上题，在x方向选取正弦函数，即，在y方向选取。由基本解的叠加构成电位的表示式为将y=0的电位代入，得应用正弦级数展开的唯一性，可以得到n=3时，其余系数，所以y59 一个矩形导体槽由两部分构成，如图5-9所示，两个导体板的电位分别是U0和零，求槽内的电位。=U0a解：将原问题的电位看成是两个电位的叠加。一个电位与平行板电容器的电位相同（上板电位为U0，下=U0板电位为零），另一个电位为U，即x 图5-9其中，U满足拉普拉斯方程，其边界条件为y=0 , U=0 y=a , U=0x=0时,x时，电位U应该趋于零。U的形式解为 待定系数用x=0的条件确定。 化简以后，得到 =只有偶数项的系
8、数不为零。将系数求出，代入电位的表达式，得510 将一个半径为a的无限长导体管平分成两半，两部分之间互相绝缘，上半(0）接电压U0，下半（1的各项，得由此解出。最终得到圆柱内、外的电位分别是电场强度分别为514 在均匀电场中，设置一个半径为a的介质球，若电场的方向沿z轴，求介质球内、外的电位、电场（介质球的介电常数为，球外为空气）。解：设球内、外电位解的形式分别为 选取球心处为电位的参考点，则球内电位的系数中，.在r处，电位，则球外电位系数中，仅仅不为零，其余为零。因此，球内、外解的形式可分别简化为 再用介质球面（r=a）的边界条件=及，得比较上式的系数，可以知道，除了n=1以外，系数、均为零，且由此，解出系数最后得到电位、电场：17 / 17
