1、1 高等数学二复习教程 第一讲 函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续 函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法 （1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与 Ta
2、ylor 级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 2 1. （ 等价小量与洛必达 ）612arctnlim)21ln(arcti 3030 xxx 2.已知 2030 )(li(6si xffxx ， 求 解： 2030 3 cosli)il yfxfx 72)0(6)(32163cos1lim2sinlim0 yy xyxxx （ 洛必达 ）3li2lili 0020xxf 3. （ 重要极限 ）11)(limx 4.已知 a、b 为正常数， x xba30)2(lim求 解：令 2ln)ln(l,)2( 3xxxtt （ 变量替换 ）2/300)( )l( 3)ll(linli
3、mabt abbaxxxx 5. )1ln(02coslixx 解：令 )ln(cos)1l(,)(2)1ln(2 xttx （ 变量替换 ）/00alimli ettxx 6.设 连续， ，求 )(f 0)(,)(ff 1)(lim02 2xxdtf （ 洛必达与微积分性质 ） 7.已知 在 x=0 连续，求 a 0,)ln(cos)2xaf 解：令 （ 连续性的概念 ）/1/)l(im2x 3 三、补充习题（作业） 1. （ 洛必达 ）3cos1lim0xe xx 2. （ 洛必达或 Taylor）)in(li0tgx 3. （ 洛必达与微积分性质 ）1li20xtxed 第二讲 导数、微
4、分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理 理解 Roll、Lagrange 、Cauchy、Taylor 定理 会用定理证明相关问题 3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） 二、题型与解法 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导A.导数微分的计算 1. 决定，求52arctn)(eyxy由 dxy 2. 决定，求si)l3由 1|0x 解：两边微分得 x=0 时 ，将 x=0 代入等式得 y=1
5、yxyco 3. 决定，则 xyy2)(由 dxdx)2(ln|0 B.曲线切法线问题 4.求对数螺线 处切线的直角坐标方程。/,/ee（），在 （ 解： 1|),0(|),(sinco2/2/2/ yyxeyx2/ 5.f(x)为周期为 5 的连续函数，它在 x=1 可导，在 x=0 的某邻域内满足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求 ，等式取 x-0 的极限有： f(1)=0)1(,)6(,ff或 4 )6(2)1(8)(413limsin)i1()1(0sin xyff tfftxfftx C.导数应用问题 6
6、.已知 ，xeffxy 2满 足对 一 切 ，求 点的性质。)0()0xf若 ),(0y 解：令 ，故为极小值点。0,0100 xexfx代 入 ， 7. ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。2 3)1(xy 解：定义域 ),1()： 斜： 铅 垂 ；拐 点 及驻 点 200 3xyxy 8.求函数 的单调性与极值、渐进线。exarctn2/)1( 解： ，10arctn2/2 xyx与驻 点)(yxe与渐 ： D.幂级数展开问题 9. xdtd022sinsin x nnx nnnnxxxdtdt txtxtxdt txtttx0 2)12(62 4732 1417)12(622 s
7、i!)!1)sin(i )!()()!1)()sin( !i 或： 20202 sinsi)(sinduxdudxutx 10.求 )()1l()(2 ff 阶 导 数处 的在 5 解： )(2)1(32()1ln( 22 nnxoxxx = )()1(3543 nnxo2!)1(0)(nfn E.不等式的证明 11.设 ，,x 21)ln(12l)1(l)2 xx，求 证 （ 证：1）令 0,)(ngg ； 得 证 。单 调 下 降 ， 单 调 下 降单 调 下 降 ，时 0)()(,0)( )(,1 01l),(, 2xgxgxg 2）令 单 调 下 降 ， 得 证 。,1,)ln(hh
8、F.中值定理问题 12.设函数 具有三阶连续导数，且 ，1)，在xf 1)(,0)(ff ，求证：在（-1， 1）上存在一点0(f 3， 使 证： 2)(!31)0(!)() xfxfxfx 其中 , 将 x=1，x=-1 代入有 )(61)0(2)(1 021fff 两式相减： 6)(21ff 3)()( 2121 f， 13. ，求证： eba4ln2abeb 证： )()(:fafLgrn 令 l2l,l)(2bxf 6 令 222 ln)(0ln1)(,ln)( eett （关键：构造函数）4l22abeb 三、补充习题（作业） 1. 23)0(,1ln)(2yxxf求 2.曲线 01
9、),(cosi xyteyt 处 切 线 为在 3. ex0)1ln(的 渐 进 线 方 程 为 4.证明 x0 时 22)1(l 证：令 3 222 )1(),(),ln)() xgxxxg 01(01g， 0),1(02,),( gxx 第三讲 不定积分与定积分 一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系） 会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2.定积分 理解定积分的概念与性质 理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分 会用定积分求几何问题（长、面、体） 会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值 二、题型与
10、解法 A.积分计算 1.Cxxdxd2arcsin)2(4)( 2. xedeee xtant1tan 222 3.设 ，求xf)l()(df)( 7 解： dxedxf)1ln()( Cee xxxxx )1ln()()()l( 4. 1 1212 2l4lim|arctnarctnbdd B.积分性质 5. 连续， ,且 ，求 并讨论)(xf10)()(dxfAxf)(0)(x 在 的连续性。 解： x dyfxtyf 0)()(,0)( )0(2/)0(lim2)0()()( 20 Axdffx x 6. xtdfttfd0202)( )(2ydx C.积分的应用 7.设 在0，1连续，
11、在（0，1）上 ，且)(f 0)(xf ，又 与 x=1,y=0 所围面积 S=2。求 ，23 xaf )(xf 且 a=?时 S 绕 x 轴旋转体积最小。 解： 102 42)()(2)( acdxfcxffd 25(143yVxaf 8.曲线 ，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与 x 轴所围图y 形绕 x 轴旋转的表面积。 解：切线 绕 x 轴旋转的表面积为2/520yds 曲线 绕 x 轴旋转的表面积为1y )1(61 总表面积为 )5(6 三、补充习题（作业） 1. Cxxdxcot2sinlcotsinl2 8 2.dxx13652 3. arcsin 第四讲 向量代数、多元函数微分
12、与空间解析几何 一、理论要求 1.向量代数 理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模） 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示 2.多元函数微分 理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分 熟练掌握复合函数与隐函数求导法 3.多元微分应用 理解多元函数极值的求法，会用 Lagrange 乘数法求极值 4.空间解析几何 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离 二、题型与解法 A.求偏导、全微分 1. 有二阶连续偏导， 满足 ，求)(xf )sin(yefzxzezxyx2 解
13、： uuecff 21)(0 2. yxzxyfxz)(1， 求 3. ，求决 定由 0),(),(, Ffzy dxz/ B.空间几何问题 4.求 上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。ax 解： adzy000/ 5.曲面 在点 处的法线方程。2132x),( C.极值问题 6.设 是由 确定的函数，),(yz 01826zyxy 求 的极值点与极值。x 三、补充习题（作业） 9 1. yxzgyxfz2),(,(求 2. f求),(,( 3. dzxyyxuz 求,arctn,ln,2 第五讲 多元函数的积分 一、理论要求 1.重积分 熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）Dr
14、baxyrdfdyxyf21)(,),(V rzzzbaxyyxdrfdrzfxyzf)(21),(212,)(21),(sin),),),( 会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量） DyxzAyxfz 2),( 2.曲线积分 理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法L ttbaxdrrfr ytxtyxLfdlyxf 22)sin,co()(: (1),)(:),( 熟悉 Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件 3.曲面积分 理解两类曲面积分的概念（质量、通量） 、关系 熟悉 Gauss 与 Stokes 公式，会计算两类曲面积分
15、LSSVDxy yxyxzS dFrdtokesEGau dzyzfzf 旋 度 ）通 量 ， 散 度 ）()(: 1),(),( 2),(: 二、题型与解法 A.重积分计算 1. 为平面曲线 绕 z 轴旋转一周与 z=8,)(2dVyxI 02xy 的围域。 解： 10 31024)( 20802280 zzyx rddzxydI 2. 为 与DDa,422 )(2axa 围域。 （xy)16(I 3. ，其 他,00,2),( 2xyxyf 求 (49/20)Ddf:2 B.曲线、曲面积分 4. L xx dyaeybeI )cos()(sin( 0,2)0, OaA至沿从 解：令 AyO
16、至沿从1 32201 )()()( abdxbdxyabI aDL 5. , 。yxdI24为 半 径 的 圆 周 正 向为 中 心 ，为 以 )1(),(R 解：取包含(0,0)的正向 ，sinco:1ryxL 1110LLL 6.对空间 x0 内任意光滑有向闭曲面 S， ，且 在 x0 有连续0)()(2S xzdyexyfdzxf )(xf 一阶导数， ,求 。1lim0x)(f 解： s xdVefxffdVFSd )()(0 2 11)( 2xxeyeyx 第六讲 常微分方程 一、理论要求 1.一阶方程 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法 11 2.高阶方程 会求 )
17、(),(),(),(),()( ypyfxpyxfyfyn 3.二阶线性常系数 (齐次 ) sinco()00 211221122xeyixqqp (非齐次 ) xnxn eQyandrPxf 2212)()( (非齐 ),max(si)cos)(icos2 jixrxqeyippef nnjix 次 ) 二、题型与解法 A.微分方程求解 1.求 通解。 （0)2()23( dyxdyx3cy 2.利用代换 化简 并求通解。xuos xeyxycos3sin （ ）ecce5i2,4 1 3.设 是上凸连续曲线， 处曲率为 ，且过 处)(xy),(yx21y)1,0( 切线方程为 y=x+1，
18、求 及其极值。y 解： 2ln1,2ln1|)4cos(|ln01 max2 yxy 三、补充习题（作业） 1.已知函数 在任意点处的增量 。( ）)(xy )1,)0(,12yxoy求4 e 2.求 的通解。 （ ）e24xxecey214 3.求 的通解。 （ ）0)(,(0)( ydxy )1(2xy 4.求 的特解。 （)(,2 ye e31 12 第七讲 无穷级数 一、理论要求 1.收敛性判别 级数敛散性质与必要条件 常数项级数、几何级数、p 级数敛散条件 正项级数的比较、比值、根式判别法 交错级数判别法 2.幂级数 幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法 幂级数在收敛区间的基本性质
19、（和函数连续、逐项微积分） Taylor 与 Maclaulin 展开 3.Fourier 级数 了解 Fourier 级数概念与 Dirichlet 收敛定理 会求 的 Fourier 级数与 正余弦级数,l,0l 第八讲 线性代数 一、理论要求 1.行列式 会用按行（列）展开计算行列式 2.矩阵 几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随） 矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式 矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆 矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价 用初等变换求矩阵的秩与逆 理解并会计算矩阵的特征值与特征向量 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件
20、掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 3.向量 理解 n 维向量、向量的线性组合与线性表示 掌握线性相关、线性无关的判别 理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩 了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法 了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质 4.线性方程组 理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件 理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法 5.二次型 二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换 二次型的标准形、规范形及惯性定理 掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法 了解二次型的对应矩阵的正定性及
21、其判别法 第九讲 概率统计初步 一、理论要求 13 1.随机事件与概率 了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算 会计算古典型概率与几何型概率 掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式 2.随机变量与分布 理解随机变量与分布的概念 理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度 掌握 0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函 数 3.二维随机变量 理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 理解随机变量的独立性及不相关概念 掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度 会求两个随机变量简单函数的分布 4.数字特征 理解期望、方差、标准差
22、、矩、协方差、相关系数的概念 掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望 5.大数定理 了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理 了解隶莫弗-Laplace 定理与列维- 林德伯格定理 6.数理统计概念 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩 了解 分布、 t 分布、F 分布的概念和性质，了解分位数的概念2 了解正态分布的常用抽样分布 7.参数估计 掌握矩估计与极大似然估计法 了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间 8.假设检验 掌握假设检验的基本步骤 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验
23、 第十讲 总结 1.极限求解 变量替换（ 作对数替换） ，洛必达法则，其他（重要极限，微积分1 性质，级数，等价小量替换） 1. (几何级数)2)1(.)2()(limaxnxnaxn 2. (对数替换)2/10)arcos2(liexx 3. 2 tn1lix 4. 2 1)63(limxx 5. 2 1)()(liaxnnax 14 6. ，求 )0(cos,4,2s1)(0xtdxxfx )(lim0xf 2.导数与微分 复合函数、隐函数、参数方程求导 1. )()(bax 2. ，求 dy/dx0)sinrctyxy 3. 决定函数 ，求 dytextio( 4.已知 ，验证1ln2y
24、0)124yxy 5. ,求bxvueysin,3,3x 3.一元函数积分 1.求函数 在区间 上的最小值。 （ 0）xdttI021)( 2.2|1|dx 3. 02/3)（ 4.dx)1( 5. 2t 6.dx241 4.多元函数微分 1. ，求),(xyefzyxz, 2. 由 给出，求证：),(0),(Fxyzxzy 3.求 在 O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。xyyxu2,2 4. ，求)ln(siu 15 6.证明 满足)(2xyfznnzyzx 7.求 内的最值。18:4, 22Df 在 5.多元函数积分 1.求证： brotatbadiv)( 2. DyxyxI 2:,2 3. )( 4.改变积分次序 201),(xdyfd 5. 围域。 DxyI 1,:,)(2 6.常微分方程 1.求 通解。01ln122dyxd 2.求 通解。ey35 3.求 通解。x26 4.求 通解。0)()(2 dydyx 5.求 特解。)(,2cos14x 6.求 特解。1)(,yeyx 高等数学考研题型分析 填空题：极限（指数变换，罗必达） 、求导（隐函数，切法线） 、不定积分、二重积分、 变上限定积分 选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限 计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用
