1、 1 / 17 1.（2018卷）设函数 f(x)=5|x+a|x2| （1 ） 当 时，求不等式 的解集； a=1 f(x) 0 （2 ）若 ，求 的取值范围 f(x) 1 a 2.（2013辽宁）已知函数 f（x）=|xa|，其中 a1 （1 ）当 a=2 时，求不等式 f（x）4|x4| 的解集； （2 ）已知关于 x 的不等式|f（2x+a）2f （x）|2 的解集x|1x2，求 a 的值 3.（2017新课标）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f（x）=|x+1|x 2| （）求不等式 f（x）1 的解集； （）若不等式 f（x）x 2x+m 的解集非空，求 m 的取值范围 4.（
2、2017新课标）选修 4-5：不等式选讲 已知 a0 ，b 0，a 3+b3=2，证明： （）（a+b）（a 5+b5）4 ； （）a+b2 5.（2017新课标卷） 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f（x）=x 2+ax+4，g（x ）=|x+1|+|x1|（10 分） （1 ）当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集； （2 ）若不等式 f（x）g （x）的解集包含 1，1 ，求 a 的取值范围 6.（2017新课标）选修 4-5：不等式选讲 已知 a0 ，b 0，a 3+b3=2，证明： （）（a+b）（a 5+b5）4 ； （）a+b2 7.（2018卷）已知 f(x)=|
3、x+1|ax1| （1 ）当 时，求不等式 的解集 a=1 f(x)1 （2 ）若 时，不等式 成立，求 的取值范围 x (0,1) f(x)x a 8.（2018卷）已知 f(x)=|x+1|-|ax-1| （1 ）当 a=1 时,求不等式 f(x)1 的解集 （2 ）若 x(0,1)时不等式 f(x)x 成立,求 a 的取值范围 9.（2017新课标） 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f（x）=|x+1|x 2| （1 ）求不等式 f（x）1 的解集； （2 ）若不等式 f（x）x 2x+m 的解集非空，求 m 的取值范围 2 / 17 10.（ 2014新课标 II）设函数 f（x）
4、=|x+ |+|xa|（a0 ） 1a （1 ）证明：f （x）2； （2 ）若 f（3）5，求 a 的取值范围 11.（ 2015福建 )选修 4-5：不等式选讲 已知 ，函数 的最小值为 4 a0,b0,c0, f(x)=|x+a| +|x-b| +c （1 ）求 的值； a+b+c （2 ）求 的最小值 14a2+19b2+c2 12.（ 2014新课标 I）若 a0，b0 ，且 + = 1a 1b ab （1 ）求 a3+b3 的最小值； （2 ）是否存在 a，b ，使得 2a+3b=6？并说明理由 13.（ 2017新课标 ）已知函数 f（x）=lnx+ax 2+（2a+1）x（12
5、 分） （1 ）讨论 f（x）的单调性； （2 ）当 a0 时，证明 f（x ） 2 34a 14.（ 2017新课标 ）已知函数 f（x）=x1 alnx （）若 f（x）0，求 a 的值； （）设 m 为整数，且对于任意正整数 n，（1+ ）（1+ ）（1+ ）m，求 m 的最小值 12 122 12n 15.（ 2018卷 ）设函数 f(x)=|2x+1|+|x1| （1 ）画出 的图像 y=f(x) （2 ）当 时， ，求 的最小值。 x 0,+) f(x) ax+b a+b 16.（ 2013福建）设不等式 |x2|a（a N*）的解集为 A，且 32 A,12A （1 ）求 a 的
6、值 （2 ）求函数 f（x）=|x+a|+|x 2|的最小值 17.（ 2013新课标 ）（选修 45：不等式选讲） 已知函数 f（x）=|2x 1|+|2x+a|，g（x）=x+3 3 / 17 （1 ）当 a=2 时，求不等式 f（x）g（x ）的解集； （2 ）设 a 1，且当 时，f （x ）g （x ），求 a 的取值范围 x a2,12) 18.（ 2016全国）选修 45：不等式选讲 已知函数 f(x)= x- +x+ ，M 为不等式 f(x) 2 的解集. 12 12 （1 ）求 M； （2 ）证明：当 a,bM 时，a+b1+ab。 19.（ 2016全国） 选修 4-5：不
7、等式选讲 已知函数 f（x ）=|2x a|+a （1 ）当 a=2 时，求不等式 f（x）6 的解集； （2 ）设函数 g（x）=|2x 1|，当 xR 时，f（x）+g（x）3，求 a 的取值范围 20.（ 2012新课标）已知函数 f（x）=|x+a|+|x 2| （1 ）当 a=3 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2 ）若 f（x） |x4|的解集包含1，2 ，求 a 的取值范围 21.（ 2012辽宁）选修 45：不等式选讲 已知 f（ x）=|ax+1|（aR），不等式 f（x）3 的解集为x|2x1 （1 ）求 a 的值； （2 ）若 恒成立，求 k 的取值范围 |f(x)
8、2f( x2)| k 4 / 17 答案解析部分 一、解答题 1.【答案】（1）a=1 时，时，由 f（x） = 62x,x 22,1x24+2x,x 1 当 x2 时，由 f（x）0 得：6-2x0 ，解得：x3； 当-1xx 时，f （x ）0 ； 当 x-1 时，由 f（x ）0 得：4+2x0，解得 x-2 所以 f（ x）0 的解集为x|-2x3 （2 ）若 f（x） 1，即 恒成立5|x+a|x2| 1 也就是 xR， 恒成立|x+a|+|x2| 4 |x+a|+|x2| |a+2| 当 x=2 时取等，所以 xR， 等价于 |x+a|+|x2| 4 |a+2| 4 解得：a2 或
9、 a-6 所以 a 的取值范围(- ，-6 2，+） 【解析】【分析】（1）由绝对值不等式的解法易得；（2 ）由绝对值几何意义转化易得. 2.【答案】（1）解：当 a=2 时，f（x）4|x4| 可化为|x2|+|x4|4， 当 x2 时，得2x+64，解得 x1； 当 2x4 时，得 24，无解； 当 x4 时，得 2x64，解得 x5； 故不等式的解集为x|x5 或 x1 （2 ）解：设 h（x ）=f（2x+a） 2f（x），则 h（x）= 由 |h（x）|2 得 ， 又已知关于 x 的不等式 |f（2x+a）2f（x）|2 的解集x|1x2， 所以 ， 故 a=3 5 / 17 【解析
10、】【分析】（1）当 a=2 时，f（x）4|x4| 可化为|x 2|+|x4|4，直接求出不等式|x2|+|x 4|4 的 解集即可（2）设 h（x ）=f（2x+a） 2f（x），则 h（x）= 由|h（x）|2 解得 2a,x 04x2a,0xa2a,x a ，它与 1x2 等价，然后求出 a 的值 a12 x a+12 3.【答案】解：（）f（x）=|x+1|x 2|= ，f （x）1， 3，x 2 当 1x2 时， 2x11，解得 1x2； 当 x2 时，31 恒成立，故 x2； 综上，不等式 f（x）1 的解集为 x|x1 （）原式等价于存在 xR 使得 f（x）x 2+xm 成立，
11、 即 mf（x）x 2+xmax ， 设 g（x）=f （x）x 2+x 由（1）知，g（x）= ， x2+x3，x 1x2+3x1， 112， 1 x 12x，x12， 1 x 12x，xx x (0,1)|ax1|0 |ax1|1 f(x)1 ( 12,+) （2 ）解： x (0,1) f(x)=x+1|ax1|x|ax1|0,b0 |a+b| =a+b f(x) a+b+c 以 .a+b+c=4 2.由 1 知 ，由柯西不等式得a+b+c=4 ,即( 14a2+19b2+c2)(4+9+1) (a22+b33+c1)2=(a+b+c)2=16 .d 当且仅当 ,即 时，等号成立所以 的
12、最小 14a2+19b2+c2 87 12a2=13b3=c1 a=87,b=187,c=27 14a2+19b2+c2 值为 87. 【分析】当 的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如 的函数的x f(x)=|x+a| +|x+b| 最小值，以及解析式形如 的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函f(x)=|x+a| -|x+b| 数的图象求最值利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标 12.【 答案】（1）解： a0，b0，且 + = ， = + 2 ，ab2， 当且仅当 a=b= 时取等号 a3+b32 2 =4 ，当且仅当 a=b= 时取等号，
13、 a3+b3 的最小值为 4 （2 ）解：2a+3b2 =2 ，当且仅当 2a=3b 时，取等号 11 / 17 而由（1）可知，2 2 =4 6 ， 故不存在 a，b，使得 2a+3b=6 成立 【解析】【分析】（1）由条件利用基本不等式求得 ab2，再利用基本不等式求得 a3+b3 的最小值（2 ） 根据 ab4 及基本不等式求的 2a+3b8 ，从而可得不存在 a，b，使得 2a+3b=6 13.【 答案】（1）解：因为 f（x ）=lnx+ax 2+（2a+1）x， 求导 f（x）= +2ax+（2a+1）= = ，（x0）， 1x 2ax2+(2a+1)x+1x (2ax+1)(x+
14、1)x 当 a=0 时，f （x ）= +1 0 恒成立，此时 y=f（x）在（ 0，+）上单调递增； 1x 当 a0 ，由于 x0，所以（ 2ax+1）（x+1）0 恒成立，此时 y=f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a0 时，令 f（x）=0，解得：x= 12a 因为当 x（0， ）时，f（ x）0、当 x（ ，+ ）时，f（x）0， 12a 12a 所以 y=f（x）在（0， ）上单调递增、在（ ，+）上单调递减 12a 12a 综上可知：当 a0 时 f（x）在（ 0，+）上单调递增， 当 a0 时，f（x）在（0 ， ）上单调递增、在（ ，+）上单调递减； 12a 12a （2
15、）证明：由（1）可知：当 a0 时 f（x）在（0， ）上单调递增、在（ ，+）上单调递减， 12a 12a 所以当 x= 时函数 y=f（x）取最大值 f（x ） max=f（ ）=1 ln2 +ln（ ） 12a 12a 14a 1a 从而要证 f（x） 2，即证 f（ ） 2， 34a 12a 34a 即证1ln2 +ln（ ） 2，即证 （ ）+ln （ ） 1+ln2 14a 1a 34a 12 1a 1a 令 t= ，则 t0，问题转化为证明： t+lnt1+ln2（*） 1a 12 令 g（t）= t+lnt，则 g（t）= + ， 12 12 1t 令 g（t）=0 可知 t=
16、2，则当 0t2 时 g（t）0，当 t2 时 g（t）0， 所以 y=g（t ）在（0，2）上单调递增、在（2，+ ）上单调递减， 即 g（t）g（2）= 2+ln2=1+ln2，即（*）式成立， 12 所以当 a0 时， f（x） 2 成立 34a 【解析】【分析】（1.）题干求导可知 f（x）= （x0），分 a=0、a0、a 0 三种情况讨 (2ax+1)(x+1)x 论 f（x）与 0 的大小关系可得结论； 12 / 17 （2.）通过（1）可知 f（x） max=f（ ）= 1ln2 +ln（ ），进而转化可知问题转化为证明：当 t0 时 12a 14a 1a t+lnt1+ln2
17、进而令 g（t）= t+lnt，利用导数求出 y=g（t）的最大值即可 12 12 14.【 答案】解：（）因为函数 f（x）=x1 alnx，x 0， 所以 f（x）=1 = ，且 f（1）=0 ax xax 所以当 a0 时 f（x ）0 恒成立，此时 y=f（x ）在（0，+）上单调递增，所以在（0,1）上 f(x)a2+b2 则 ，a2b2+2ab+1a2+2ab+b2 则 ，(ab+1)2(a+b)2 即 ，|a+b|ab+1| 证毕 【解析】【分析】（1）分当 x 时，当 x 时，当 x 时三种情况，分别求解不等式，综 合可得答案；（2）当 a，b M 时，（a 21）（b 21）
18、0，即 a2b2+1a 2+b2 ， 配方后，可证得结论 19.【 答案】（1）解：当 a=2 时，f（x）=|2x 2|+2， f（x）6，|2x 2|+26， |2x2|4，|x1|2， 2x12， 解得1x3， 不等式 f（x） 6 的解集为x|1x3 （2 ）解：g（ x）=|2x1| ， f（x）+g（x）=|2x 1|+|2xa|+a3， 2|x |+2|x |+a3， 12 a2 |x |+|x | ， 12 a2 3a2 当 a3 时，成立， 16 / 17 当 a3 时， |a1| 0， 12 3a2 （ a1） 2（3 a） 2 ， 解得 2a3， a 的取值范围是 2，+
19、） 【解析】【分析】（1）当 a=2 时，由已知得|2x2|+26，由此能求出不等式 f（x）6 的解集 （2 ）由 f（x） +g（x）=|2x 1|+|2xa|+a3，得|x |+|x | ，由此能求出 a 的取值范围 本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不 等式性质的合理运用 20.【 答案】（1）解：当 a=3 时，f （x ）3 即|x 3|+|x2|3，即 ，或 ， 或 解可得 x1，解可得 x，解可得 x4 把、的解集取并集可得不等式的解集为 x|x1 或 x4 （2 ）解：原命题即 f（x）|x 4|在1，2 上恒成立，等价于
20、|x+a|+2 x4x 在1，2上恒成立， 等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2 xa2x 在1 ，2上恒成立 故当 1x2 时，2 x 的最大值为2 1=3，2 x 的最小值为 0， 故 a 的取值范围为3 ，0 【解析】【分析】（1）不等式等价于 ，或 ，或 x 23x+2x 3 2x33x+x2 3 ，求出每个不等式组的解集， x 3x3+x2 3 再取并集即得所求（2）原命题等价于 2xa2x 在1 ，2上恒成立，由此求得求 a 的取值范围 21.【 答案】（1）解：由|ax+1|3 得4ax2 不等式 f（x） 3 的解集为x|2x1 当 a0 时，不合题意； 17 / 17 当 a0 时， ， 4a x 2a a=2； （2 ）解：记 ，h(x)=f(x)2f( x2) h（x）= 1,x 14x3,1x 121,x 1 2 |h（x ）|1 恒成立，|f(x)2f( x2)| k k1 【解析】【分析】（1）先解不等式 |ax+1|3，再根据不等式 f（x）3 的解集为x| 2x1，分类讨论，即 可得到结论（2）记 ，从而 h（x）= ，求得|h（x）|1，即可h(x)=f(x)2f( x2) 1,x 14x3,1x 1 21,x 12 求得 k 的取值范围
