1、数形结合思想 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把 代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题，几何问题相互转化，使抽 象思维与形象思维有机结合。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件与结论之 间的内在联系，既分析其代数意义又提示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合， 寻求解题思路，使问题得到解决。运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何 意义及常见曲线的代数特征。 一、选择题 1设 的图象经过点 ，则 的图象过点（ ）()yfx(1,2)1(2)yfx A. B. C. D.2,8,)4,8 解：已知得 ，ff 令 ，得 ，
2、故选答案 B.x 2已知函数 的图象如右，则（ ）32()fabxcd A. B. C. D.,0b(0,1)(,2)(2,)b 解：根据图象可知 （ ）f0a 展开得 32()fxx 与 比较系数知 ，选答案 A.abcd3b 3方程 的实根个数是（ ）1sin()4 A.2 B.3 C.4 D.以上均不对 解：分别作出 si()yx 与直线 的图象如下1:4l 只须考虑 时交点个数，得答案 B.,x 4设 P 是圆 上的任意一点，欲使不等式 恒成立，则(,)y22()1y0xyc 的取值范围是（ ）c A. B. C. D.1,)(21,)(,21 解：由线性规划知识知 表示点 P 在直线
3、 的上方0xyc :lxyc 圆在 上方，即圆心 到 的距离大于（或等于）1l(,)l ， （舍去）或 ，得答案 D.|12c 2 21 5已知 （其中 ）且 、 是方程 的两根（()(fxaxbab()0fx ） ，则实数 的大小关系是（ ）, O 1 2 x y 454l y1 -1 O 4 x A. B. C. D.abababab 解：易知 是 的两根,()(0gxx ，作 的图象如下()2f ,fg 得答案 A. 6平面上整点（横、纵坐标都是整数的点）到直线 的最小值是（ ）543yx A. B. C. D.34170851203 解：直线方程化为 ，设整点坐标为 ，则距离xy(,)
4、mn2|()|4mnmnd 5(3)0515或 或 或 ，此时in| | 2, ，此时整点为 ，选答案 B.min84d() 二、填空题 7已知实数 满足 ，则 的最大值是_.,xy2(3)y1yx 解： 可看作点 P 与点 M 连线的斜率，1(,)(,0) 且 P 在圆 上23xy 如图，易知当直线与圆处于圆中切线 MA 位置时， 斜率最大，最大值为 .tan63 8.如果不等式 的解集为 A,且 A ,那么实数 的取值范围是_.24(1)xx(02)a 解：根据不等式解集的几何意义， 作出函数 与 的图象如图：yya 易知必须满足 ，即lak 的取值范围为 .2,) 9关于 的方程 （ ）
5、的解的个数是_.xxa01且 解：方程化为 ，分别作出 与 的图象21()axya2(1)x 若 ，如图（1） ；若 ，如图（2）易知答案为 2 个.0 a b ()ygxf y 3 A M O 1 3 x y O 2 4 x lxy21()a y 1 O 1 x 21()yaxxO 1 x y1 图（1） 图（2） 10点 F 是椭圆 的左焦点，点 P 在椭圆内，点 M 在椭圆上且使 216xy(2,3) 最小，则点 M 坐标为_.|PM| 解：如图，易知离心率 ，2e 为点 M 到左准线距离，则d|F1d 2|F |P|P|K “ ”成立时，M 是 PK 与椭圆的交点， 得答案 M .(3
6、,) 11当 时， 恒成立，则 的取值范围是_.4,0x2413axx a 解：作出 （ ）与 的图象，21y0 2yx 易知 表示以 为圆心，2 为半径的上半圆， 为直线，如图，(,)a 依题意 在 下方，故有：12 圆心到直线 的距离430xyd |()|5 得 或 （舍去）a 3 的取值范围是 .(,5 12把一个长、宽、高分别为 25cm、20cm、5cm 的长方体木盒从一个正方形窗口穿过， 那么正方形窗口的边长至少为_cm. 解：木盒最小周长的侧面为长 20cm，宽 5cm 的长方形，如图 得 2205xy 1, 正方形窗口的最小边长为 （cm）.5210 三、解答题 13解关于 的
7、方程 .xlg()l(3)lg(1)xa K P M F x y d y x 20 x y x y x y x y 5 解：原方程化为 1()3axx 化为 2(4)0 此时 28a ，得0a 时，有两根 21,28x 分别作出直线 与y 抛物线 （ ）的图象如下()3x 易得答案如下： 当 时，原方程无解；1,42,)a 当 时，原方程有唯一解 ；2x 当 时，原方程有两个解 21,48a 当 时，方程有一解 .13a 2x 14已知函数 ，2()1fx()g （1）若方程 有两个不相等的实根，求实数 的取值范围；a （2）若 的解集为 ，求实数 的值.fb 1,b 解：（1） 即为()(f
8、xag2()xa 分别作出 （ ）21)y1,0y 与 的图象如下2 当半圆 过点 时， ，即(,0 当半圆 与直线 相切时， ，1y2|2a （舍去）或a 由图形可看出 与 有两个交点，即原方程有两个不等实根时，12 (2,1a （2） ，即为()fxgbxb 作出 与 的图象，由不等式解集为 ，(x1,2 知直线 过点2y13(,)2 31b 为所求.52 42a1a3 y O 1 3 x y 2 -2 O x y 12 -1 x 15设关于 的方程 在 内有相异解 ，xsin3cos0xa(,), （1）求 的取值范围； （2）求 的值.atn 解：（1）原方程化为 ，si() 用五点法
9、作出 在 上的图象如下12n3yx(0,) 当直线 与 有两个交点时，2a 必有 （2）如图知 63 .tan()ta 16设 ， ， ，|2Ax |23,ByxA且 2|,CzxA且 若 ，求实数 的取值范围.CBa 解： 在 上是增函数3y, ，即1 |1ya 作出 的图象，该函数定义域右端点 有三种不同的位置情况如下：2zxx 当 时， 即2a 024z 2|4Cz 要使 ，必须且只需 ，得 ，这与 矛盾CB3a 1a 0a 当 时， 即 ， |0 要使 ，由图可知，必须且只需 ，解得24 2 当 时， 即 ，2a20za |Cza 要使 ，必须且只需 ，解得CB3 3 当 时， ，此时 ，则 成立ABB 632 -2 a O x 4 y a2 -2 O a x 4 y a2 4 y a2 -2 O 2 a x -1 0 4 2a+3 综上所述， 的取值范围是 .a1(,2),3 17.已知 （ ） ，cosin,cosinbbc0,abkZ 求证： 22a 证明：在平面直角坐标系中，点 与点 是直线(cs,i)A(cos,in)B 与单位圆 的两个交点，如图:laxbyc21xy 从而： 2 2|(os)inAB 又单位圆的圆心到直线 的距离l|dab 由平面几何知识知 221|(|)OAB 即 22cos()14cdab . 2ab y A O x B D
