1、新人教版八年级上学期全等三角形证明题 一解答题（共 10 小题） 1 （2013泉州）如图，已知 AD 是 ABC 的中线，分别过点 B、C 作 BEAD 于点 E，CFAD 交 AD 的 延长线于点 F，求证：BE=CF 2 （2013河南）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90， B=E=30 （1）操作发现 如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： 线段 DE 与 AC 的位置关系是 _ ； 设BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是 _ （2）猜想论证 当D
2、EC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试分 别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想 （3）拓展探究 已知ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点，BD=CD=4 ，DEAB 交 BC 于点 E（如图 4） 若在射线 BA 上 存在点 F，使 SDCF=SBDE，请直接写出相应的 BF 的长 3 （2013大庆）如图，把一个直角三角形 ACB（ACB=90）绕着顶点 B 顺时针旋转 60，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的位置F， G 分别是 BD，BE 上的点，BF
3、=BG ，延长 CF 与 DG 交于点 H （1）求证：CF=DG； （2）求出FHG 的度数 4 （2012阜新） （1）如图，在 ABC 和 ADE 中，AB=AC，AD=AE ，BAC=DAE=90 当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； 将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（0 90 ） ，如图 2，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和 位置关系？请说明理由 （2）当ABC 和ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD、CE 在（1）中的位置关系仍 然成立？不必说明理由 甲：AB：AC=AD：AE=
4、1，BAC=DAE 90； 乙：AB：AC=AD：AE 1，BAC=DAE=90； 丙：AB：AC=AD：AE 1，BAC=DAE 90 5 （2009仙桃）如图所示，在 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DEBC，如图，然后将 ADE 绕 A 点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将 BD、CE 分别延长至 M、N ，使 DM= BD，EN= CE，得到图，请解答下列问题： （1）若 AB=AC，请探究下列数量关系： 在图中，BD 与 CE 的数量关系是 _ ； 在图中，猜想 AM 与 AN 的数量关系、MAN 与BAC 的数量关系，并证明你的猜想； （2）若 AB=kAC（k1）
5、 ，按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM 与 AN 的数量关系、MAN 与BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明 6 （2008台州） CD 经过 BCA 顶点 C 的一条直线，CA=CB E ，F 分别是直线 CD 上两点，且 BEC=CFA= （1）若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： 如图 1，若BCA=90 ，=90， 则 BE _ CF；EF _ |BEAF|（填“”， “”或“ =”） ； 如图 2，若 0BCA180，请添加一个关于 与BCA 关系的条件 _ ，使中的两 个结论仍然成立，并证明两个结论成立 （2）如图 3
6、，若直线 CD 经过BCA 的外部，= BCA，请提出 EF，BE ，AF 三条线段数量关系的合理 猜想（不要求证明） 7 （2007绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图 1，己知四边形 ABCD 中，AC 平 分DAB，DAB=60，B 与D 互补，求证：AB+AD= AC小敏反复探索，不得其解她想，若将 四边形 ABCD 特殊化，看如何解决该问题 （1）特殊情况入手添加条件：“B= D”，如图 2，可证 AB+AD= AC；（请你完成此证明） （2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图 3，过 C 点分别作 AB、AD 的垂 线，垂足分别为 E、F （
7、请你补全证明） 8 （2007常德）如图，已知 AB=AC， （1）若 CE=BD，求证：GE=GD； （2）若 CE=mBD（m 为正数） ，试猜想 GE 与 GD 有何关系 （只写结论，不证明） 9 （2006泰安） （1）已知：如图 ，在AOB 和COD 中，OA=OB，OC=OD ，AOB=COD=60 ，求 证：AC=BD； APB=60 度； （2）如图，在AOB 和COD 中，若 OA=OB，OC=OD ， AOB=COD=，则 AC 与 BD 间的等量 关系式为 _ ；APB 的大小为 _ ； （3）如图，在AOB 和COD 中，若 OA=kOB，OC=kOD（k1） ，AOB
8、= COD=，则 AC 与 BD 间的等量关系式为 _ ；APB 的大小为 10 （2005南宁） （A 类）如图，DE AB、DF AC垂足分别为 E、F请你从下面三个条件中，再选出 两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况） AB=AC；BD=CD； BE=CF 已知：DEAB、DF AC，垂足分别为 E、F，AB=AC，BD=CD 求证：BE=CF 已知：DEAB、DF AC，垂足分别为 E、F，AB=AC，BE=CF 求证：BD=CD 已知：DEAB、DF AC，垂足分别为 E、F，BD=CD，BE=CF 求证：AB=AC （B 类）如图，EGAF，请你从下
9、面三个条件中，再选两个作为已知条 件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况） AB=AC；DE=DF； BE=CF 已知：EGAF，AB=AC，DE=DF 求证：BE=CF 新人教版八年级上学期全等三角形证明题 参考答案与试题解析 一解答题（共 10 小题） 1 （2013泉州）如图，已知 AD 是 ABC 的中线，分别过点 B、C 作 BEAD 于点 E，CFAD 交 AD 的 延长线于点 F，求证：BE=CF 考点： 全等三角形的判定与性质1125860 专题： 证明题 分析： 根据中线的定义可得 BD=CD，然后利用“ 角角边”证明 BDE 和CDF 全等，根据全等三角形对
10、应 边相等即可得证 解答： 证明：AD 是ABC 的中线， BD=CD， BEAD，CF AD， BED=CFD=90， 在BDE 和CDF 中， ， BDECDF（AAS） ， BE=CF 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌 握并灵活运用 2 （2013河南）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90， B=E=30 （1）操作发现 如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： 线段 DE 与 AC 的位置关系是 DEAC ； 设BDC 的面积为 S1，
11、AEC 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是 S 1=S2 （2）猜想论证 当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试分 别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想 （3）拓展探究 已知ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点，BD=CD=4 ，DEAB 交 BC 于点 E（如图 4） 若在射线 BA 上 存在点 F，使 SDCF=SBDE，请直接写出相应的 BF 的长 考点： 全等三角形的判定与性质1125860 专题： 几何综合题；压轴题 分析： （1）根据旋转的性质可得 AC=CD
12、，然后求出 ACD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可 得ACD=60 ，然后根据内错角相等，两直线平行解答； 根据等边三角形的性质可得 AC=AD，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求 出 AC= AB，然后求出 AC=BE，再根据等边三角形的性质求出点 C 到 AB 的距离等于点 D 到 AC 的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答； （2）根据旋转的性质可得 BC=CE，AC=CD，再求出ACN=DCM，然后利用“角角边” 证明 ACN 和DCM 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面 积相等证明； （3）过点 D 作 DF
13、1BE，求出四边形 BEDF1 是菱形，根据菱形的对边相等可得 BE=DF1，然后根 据等底等高的三角形的面积相等可知点 F1 为所求的点，过点 D 作 DF2BD，求出 F1DF2=60， 从而得到DF 1F2 是等边三角形，然后求出 DF1=DF2，再求出 CDF1=CDF2，利用“边角边”证明 CDF1 和 CDF2 全等，根据全等三角形的面积相等可得点 F2 也是所求的点，然后在等腰BDE 中求出 BE 的长，即可得解 解答： 解：（1）DEC 绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上， AC=CD， BAC=90B=9030=60， ACD 是等边三角形， ACD=60， 又CDE
14、=BAC=60， ACD=CDE， DEAC； B=30， C=90， CD=AC= AB， BD=AD=AC， 根据等边三角形的性质，ACD 的边 AC、AD 上的高相等， BDC 的面积和AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等） ， 即 S1=S2； 故答案为：DE AC；S 1=S2； （2）如图，DEC 是由ABC 绕点 C 旋转得到， BC=CE，AC=CD， ACN+BCN=90，DCM+ BCN=18090=90， ACN=DCM， 在 ACN 和DCM 中， ， ACNDCM（AAS） ， AN=DM， BDC 的面积和AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）
15、， 即 S1=S2； （3）如图，过点 D 作 DF1BE，易求四边形 BEDF1 是菱形， 所以 BE=DF1，且 BE、DF 1 上的高相等， 此时 SDCF=SBDE， 过点 D 作 DF2BD， ABC=60， F1DF2=ABC=60， DF1F2 是等边三角形， DF1=DF2， BD=CD，ABC=60，点 D 是角平分线上一点， DBC=DCB= 60=30， CDF1=18030=150， CDF2=36015060=150， CDF1=CDF2， 在 CDF1 和CDF 2 中， ， CDF1CDF2（SAS ） ， 点 F2 也是所求的点， ABC=60，点 D 是角平分
16、线上一点，DEAB， DBC=BDE=ABD= 60=30， 又 BD=4， BE= 4cos30=2 = ， BF1= ，BF 2=BF1+F1F2= + = ， 故 BF 的长为 或 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角 形的面积相等是解题的关键， （3）要注意符合条件的点 F 有两个 3 （2013大庆）如图，把一个直角三角形 ACB（ACB=90）绕着顶点 B 顺时针旋转 60，使得点 C 旋 转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E
17、 的位置F，G 分别是 BD，BE 上的点，BF=BG ，延长 CF 与 DG 交于点 H （1）求证：CF=DG； （2）求出FHG 的度数 考点： 全等三角形的判定与性质1125860 分析： （1）在CBF 和DBG 中，利用 SAS 即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等 即可证得； （2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得DHF=CBF=60，从而求解 解答： （1）证明：在CBF 和DBG 中， ， CBFDBG（SAS） ， CF=DG； （2）解：CBFDBG， BCF=BDG， 又CFB= DFH， DHF=CBF=60， FHG=180DHF=18060=12
18、0 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键 4 （2012阜新） （1）如图，在 ABC 和 ADE 中，AB=AC，AD=AE ，BAC=DAE=90 当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； 将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（0 90 ） ，如图 2，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和 位置关系？请说明理由 （2）当ABC 和ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD、CE 在（1）中的位置关系仍 然成立？不必说明理由 甲：AB：AC=AD：AE=1，BAC=DAE 90
19、； 乙：AB：AC=AD：AE 1，BAC=DAE=90； 丙：AB：AC=AD：AE 1，BAC=DAE 90 考点： 全等三角形的判定与性质1125860 专题： 几何综合题；压轴题 分析： （1）BD=CE ，BDCE根据全等三角形的判定定理 SAS 推知 ABDACE，然后由全等三 角形的对应边相等证得 BD=CE、对应角相等ABF=ECA；然后在ABD 和 CDF 中，由三角形 内角和定理可以求得CFD=90，即 BDCF； BD=CE，BDCE根据全等三角形的判定定理 SAS 推知 ABDACE，然后由全等三角形的 对应边相等证得 BD=CE、对应角相等ABF=ECA；作辅助线（延
20、长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于 H）BH 构建对顶角ABF= HCF，再根据三角形内角和定理证得 BHC=90； （2）根据结论、的证明过程知，BAC= DFC（或FHC=90 ）时，该结论成立了，所以本 条件中的BAC=DAE 90不合适 解答： 解：（1）结论：BD=CE ，BDCE ； 结论：BD=CE ，BDCE 1 分 理由如下：BAC= DAE=90 BACDAC=DAEDAC，即BAD=CAE1 分 在ABD 与 ACE 中， ABDACE（SAS） BD=CE1 分 延长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于 H 在ABF 与 HCF 中， ABF=HCF，AFB=
21、HFC CHF=BAF=90 BDCE3 分 （2）结论：乙AB：AC=AD：AE， BAC=DAE=902 分 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质SSS，SAS ，ASA，AAS ，HL 均可作为判定三角形全等的 定理 注意：在全等的判定中，没有 AAA（角角角）和 SSA（边边角） （特例：直角三角形为 HL，因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于 SSS） ，因为这两 种情况都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三 角形也全等 5 （2009仙桃）如图所示，在 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DEBC，
22、如图，然后将 ADE 绕 A 点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将 BD、CE 分别延长至 M、N ，使 DM= BD，EN= CE，得到图，请解答下列问题： （1）若 AB=AC，请探究下列数量关系： 在图中，BD 与 CE 的数量关系是 ； 在图中，猜想 AM 与 AN 的数量关系、MAN 与BAC 的数量关系，并证明你的猜想； （2）若 AB=kAC（k1） ，按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM 与 AN 的数量关系、MAN 与BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明 考点： 全等三角形的判定1125860 专题： 压轴题；探究型 分析： （1）根据题意和旋转的性质可知 AE
23、CADB，所以 BD=CE； 根据题意可知CAE=BAD，AB=AC ，AD=AE，所以得到BAD CAE，在ABM 和ACN 中，DM= BD，EN= CE，可证ABMACN，所以 AM=AN，即MAN=BAC （2）直接类比（1）中结果可知 AM=kAN， MAN=BAC 解答： 解：（1）BD=CE ； AM=AN，MAN= BAC， DAE=BAC， CAE=BAD， 在BAD 和 CAE 中 CAEBAD（SAS ） ， ACE=ABD， DM= BD，EN= CE， BM=CN， 在ABM 和ACN 中， ABMACN（SAS） ， AM=AN， BAM=CAN，即MAN=BAC；
24、 （2）AM=kAN， MAN=BAC 点评： 本题考查三角形全等的判定方法和性质判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA 、AAS、HL判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形， 然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件本题还要会根据所求的结 论运用类比的方法求得同类题目 6 （2008台州） CD 经过 BCA 顶点 C 的一条直线，CA=CB E ，F 分别是直线 CD 上两点，且 BEC=CFA= （1）若直线 CD 经过BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： 如图 1，若BCA=90 ，=90， 则 BE
25、 = CF；EF = |BE AF|（填“”， “”或“=”） ； 如图 2，若 0BCA180，请添加一个关于 与BCA 关系的条件 +BCA=180 ，使中 的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立 （2）如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，= BCA，请提出 EF，BE ，AF 三条线段数量关系的合理 猜想（不要求证明） 考点： 直角三角形全等的判定；三角形内角和定理1125860 专题： 几何综合题；压轴题 分析： 由题意推出CBE=ACF ，再由 AAS 定理证 BCECAF，继而得答案 解答： 解：（1）BCA=90， =90， BCE+CBE=90，BCE+ACF=90，
26、CBE=ACF， CA=CB，BEC= CFA； BCECAF， BE=CF；EF=|BE AF| 所填的条件是：+BCA=180 证明：在BCE 中，CBE+BCE=180BEC=180 BCA=180， CBE+BCE=BCA 又ACF+BCE=BCA ， CBE=ACF， 又 BC=CA，BEC= CFA， BCECAF（AAS ） BE=CF，CE=AF ， 又 EF=CFCE， EF=|BEAF| （2）EF=BE+AF 点评： 本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识注意对三角形全等，相似的综合应 用 7 （2007绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图
27、1，己知四边形 ABCD 中，AC 平 分DAB，DAB=60，B 与D 互补，求证：AB+AD= AC小敏反复探索，不得其解她想，若将 四边形 ABCD 特殊化，看如何解决该问题 （1）特殊情况入手添加条件：“B= D”，如图 2，可证 AB+AD= AC；（请你完成此证明） （2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图 3，过 C 点分别作 AB、AD 的垂 线，垂足分别为 E、F （请你补全证明） 考点： 直角三角形全等的判定1125860 专题： 证明题；压轴题；开放型 分析： （1）如果：“B= D”，根据 B 与D 互补，那么B=D=90 ，又因为DAC= BA
28、C=30，因此 我们可在直角三角形 ADC 和 ABC 中得出 AD=AB= AC，那么 AD+AB= AC （2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形 CFD 和 BCD 全等即可得到（1）的条 件根据 AAS 可证两三角形全等，DF=BE然后按照（1）的解法进行计算即可 解答： 证明：（1）B 与D 互补，B=D ， B=D=90， CAD=CAB= DAB=30， 在 ADC 中， cos30= ， 在ABC 中，cos30= ， AB= AC，AD= AB+AD= （2）由（1）知，AE+AF= AC， AC 为角平分线， CFCD，CEAB， CE=CF 而ABC 与D
29、互补， ABC 与CBE 也互补， D=CBE 在 RtCDF 与 RtCBE 中， RtCDFRtCBE DF=BE AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF= AC 点评： 本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也 是解决本题的关键 8 （2007常德）如图，已知 AB=AC， （1）若 CE=BD，求证：GE=GD； （2）若 CE=mBD（m 为正数） ，试猜想 GE 与 GD 有何关系 （只写结论，不证明） 考点： 全等三角形的判定与性质1125860 专题： 证明题；压轴题；探究型 分析： （1）要证 GE=GD
30、，需证GDFGEC，由已知条件可根据 AAS 判定 （2）若 CE=mBD（m 为正数） ，那么 GE=mGD 解答： 证明：（1）过 D 作 DFCE，交 BC 于 F， 则E= GDF AB=AC， ACB=ABC DFCE， DFB=ACB， DFB=ACB=ABC DF=DB CE=BD， DF=CE， 在GDF 和GEC 中， ， GDFGEC（AAS） GE=GD （2）GE=mGD 点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA 、AAS、HL本题的辅助线是解决题目的关键 9 （2006泰安） （1）已知：如图 ，在AOB 和COD
31、 中，OA=OB，OC=OD ，AOB=COD=60 ，求 证：AC=BD； APB=60 度； （2）如图，在AOB 和COD 中，若 OA=OB，OC=OD ， AOB=COD=，则 AC 与 BD 间的等量 关系式为 AC=BD ； APB 的大小为 ； （3）如图，在AOB 和COD 中，若 OA=kOB，OC=kOD（k1） ，AOB= COD=，则 AC 与 BD 间的等量关系式为 AC=kBD ； APB 的大小为 180 考点： 全等三角形的判定；三角形内角和定理1125860 专题： 探究型 分析： （1）分析结论 AC=BD 可知，需要证明AOC BOD，围绕这个目标找全等
32、的条件； （2）与图比较，图形条件发生了变化，仍然可以证明AOCBOD，方法类似； （3）转化为证明AOC BOD 解答： 解：（1）AOB= COD=60， AOB+BOC=COD+BOC 即：AOC=BOD 又 OA=OB，OC=OD ， AOCBOD AC=BD 由得：OAC=OBD， AEO=PEB，APB=180 （BEP+ OBD） ，AOB=180（OAC+ AEO） ， APB=AOB=60 （2）AC=BD， （3）AC=kBD，180 点评： 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先 根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据
33、三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再 去证什么条件 10 （2005南宁） （A 类）如图，DE AB、DF AC垂足分别为 E、F请你从下面三个条件中，再选出 两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况） AB=AC；BD=CD； BE=CF 已知：DEAB、DF AC，垂足分别为 E、F，AB=AC，BD=CD 求证：BE=CF 已知：DEAB、DF AC，垂足分别为 E、F，AB=AC，BE=CF 求证：BD=CD 已知：DEAB、DF AC，垂足分别为 E、F，BD=CD，BE=CF 求证：AB=AC （B 类）如图，EGAF，请你从下面三个条件中，再选两个
34、作为已知条件，另一个为结论，推出一个正 确的命题（只需写出一种情况） AB=AC；DE=DF； BE=CF 已知：EGAF，AB=AC，DE=DF 求证：BE=CF 友情提醒：若两题都做的同学，请你确认以哪类题记分，你的选择是 A 类类题 考点： 全等三角形的判定与性质1125860 专题： 证明题；开放型 分析： 本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，对应三角形全等条件求解；再根据全等三角形的性质 得出结论 解答： 解：（A 类） 已知：，AB=AC，BD=CD 求证：BE=CF 证明：AB=AC ， B=C DEAB，DFAC， BED=CFD=90 在BDE 和CDF 中 BDECDF BE=CF 已知：，AB=AC，DE=DF， 求证：BE=CF 证明：EG AF， GED=F， BGE=BCA AB=AC， B=BCA， B=BGE， BE=EG 在DEG 和 DFC 中 DEGDFC， EG=CF， BE=CF 点评： 这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种同时还考查了全等三角形的 性质
