1、1 初二数学第十一章全等三角形综合复习 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形 不一定全等。 例 1. 如图， 四点共线， ， ， ， 。求,AFEBACEBDFAEBCD 证： 。CD 思路：从结论 入手，全等条件只有ACFBDE ；由 两边同时减去 得到 ，又得到一个全等条件。还缺少ACBDEFE 一个全等条件，可以是 ，也可以是 。CD 由条件 ， 可得 ，再加上 ，B90ABF ，可以证明 ，从而得到 。A 证明 ，EF90 在 与 中RtCtBDAF (HL)tEtB ，即AFAFBE 在 与 中CDEB (SAS)AF 思考：本题的分析方法实际上
2、是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手， 看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和 “得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。 小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分 析一个题目，得出解题思路。 例 2. 如图，在 中， 是ABC 的平分线， ，垂足为 。求证：ABCEADBE 。21 2 思路：直接证明 比较困难，我们可以间接证明，即找到 ，证明21C 且 。也可以看成将 “转移”到 。2 2 那么 在哪里呢？角的对称性提示我们将 延长交 于 ，则构造了FBD，ADBCF 可以通过证明三角形
3、全等来证明2=DFB ，可以由三角形外角定理得 DFB=1+C。 证明：延长 交 于ADBF 在 与 中 (ASA 90AFB2FB 又 。1DFBC21C 思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。 例 3. 如图，在 中， ， 。 为 延长线上一点，点 在AB90AFABE 上， ，连接 和 。求证： 。BCEF,ECFEC 思路：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线 段 为边的 绕点 顺时针旋转 到 的位置，而线段 正好是AEB90CBFCF 的边，故只要证明它们全等即可。CF 证明： ， 为 延长线上一点90CFA 在 与
4、中ABEF (SAS)C 。AE 思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。 小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的 三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用 辅助线构造全等三角形。 3 例 4. 如图， / ， / ，求证： 。ABCDBACD 思路：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等 三角形的问题。 证明：连接 AC / ， /BDB ，1234 在 与 中43AC (ASA)BD 。 思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。 例 5
5、. 如图， 分别是 外角 和 的平分线，它们交于点 。求证：,APCABMCNAP 为 的平分线。BPMN 思路：要证明“ 为 的平分线” ，可以利用点 到 的距离相等来证明，BPMNP,BMN 故应过点 向 作垂线；另一方面，为了利用已知条件“ 分别是 和, ACA 的平分线 ”，也需要作出点 到两外角两边的距离。NCA 证明：过 作 于 ， 于 ， 于DPEACF 平分 ， 于 ， 于CDEPE 平分 ， 于 ， 于ABNF ， PD ，且 于 ， 于PBMDF 为 的平分线。BN 思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上 的一点向角的两边作垂线，利用
6、角平分线的性质或判定来解答问题。 4 例 6. 如图， 是 的边 上的点，且 ， ， 是DABCCDABADE 的中线。求证： 。ABD2E 思路：要证明“ ”，不妨构造出一条等于 的线段，然后证其等于 。因2ACE2AEAC 此，延长 至 ，使 。F 证明：延长 至点 ，使 ，连接FADF 在 与 中BEDA (SAS)FBED ，ADCB 又 AC ，F 在 与 中DACF (SAS) 又 2AE 。C 思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以 证明两条直线平行。 例 7. 如图，在 中， ， ， 为 上任意一点。求证：ABCA12PAD 。ABCP
7、5 原图 法一图 法二图 思路：欲证 ，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于ABCP 结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段 。而构造ABC 可以采用“截长”和“ 补短”两种方法。 证明：法一： 在 上截取 ，连接NN 在 与 中APC12 (SAS)NPC 在 中，BPBN ，即 ABACPBPC。A 法二： 延长 至 ，使 ，连接CMM 在 与 中BP12A (SAS)PBM 在 中， CPC 。A 思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是： 在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另 外的
8、较短线段，称为“截长” ；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后 证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短” 。 小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我 们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。 同步练习 一、选择题： 1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) 6 A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等 2. 根据下列条件，能画出唯一 的是( )ABC A. ， ， B. ， ，3AB4843BC0A C. ， ， D. ，60C5 906 3. 如图，已知 ，
9、 ，增加下列条件： ； ；12DEBCD ； 。其中能使 的条件有( )DEE A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 4. 如图， ， ， 交于 点，下列不正确的是( )12CD,ABE A. B. DAEBCD C. 不全等于 D. 是等腰三角形AB 5. 如图，已知 ， ， ，则 等于( )ABCDA23BD A. B. C. D. 无法确定6746 二、填空题： 6. 如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ，且ABC90ABCDAC ， ，则点 到 的距离等于_ ；:2:3CDA10cmDcm 7. 如图，已知 ， ， 是 上的两点，且 ，若ABCB,EFBEF ，
10、，则 _；10AEB30 7 8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠， 为折痕，则 的大小为,BCDCB _； 9. 如图，在等腰 中， ， ， 平分 交 于 ，RtABC90ACBDBACD 于 ，若 ，则 的周长等于_；DE10DE 10. 如图，点 在同一条直线上， / ， / ，且 ，若,DEFBABCDEFAC ， ，则 _；10B2 三、解答题： 11. 如图， 为等边三角形，点 分别在 上，且 ， 与ABC,MN,BCAMCNA 交于 点。求 的度数。BNQN 8 12. 如图， ， ， 为 上一点， ， ，交90ACBBCDAECDBF 延长线于 点。求证： 。DFE 9 同步练习的答案 一、选择题： 1. A 2. C 3. B 4. C 5. C 二、填空题： 6. 4 7. 8. 9. 10 10. 6709 三、解答题： 11. 解： 为等边三角形ABC ，6 在 与 中MNB (SAS)ACN 。60QBAQNBC 12. 证明： ，EDF90FACBE 在 与 中FACB (AAS)E 。F
