1、函数单调性的判断或证明方法. （1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是取值，设 ， 且 ；作差，求 ；变形（合并同类项、通分、分解因式、 配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；定号，判断 的正 负符号，当符号不确定时，应分类讨论；下结论，根据函数单调性的定义下 结论。 例 1.判断函数 在(1，)上的单调性，并证明 解：设10. 当a0 时，f(x 1)f(x 2)f(x2)， 函数yf(x)在(1，)上单调递减 例 2.证明函数 在区间 和 上是增函数；在 上为减函数。 （增两端，减中间） 证明：设 ，则 因为 ，所以 , 所以 ， 所以 所以 设 则 ， 因为 ， 所以 ， 所
2、以 所以 同理，可得 （2）运算性质法. 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数， 增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数 （增+增= 增； 减+ 减= 减；增 -减= 增，减 -增= 减） 若 . 当函数 . 函数 二者有相 反的单调性。 运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。 （3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。 例 3.求函数 的单 调区间。 解： 在同一坐标系下作出函数的图像得 所以函数的单调增区间为 减区间为 . （4）复合函数法.（步骤：求函数的定义域；分解复合函数；判断内、外层函数 的单调性；
3、根据复合函数的单调性确定函数的单调性.若集合 是内层函数 的一个单调区间，则 便是原复合函数 的一个单调区间，如例 4； 若 不是内层函数 的一个单调区间，则需把 划分成内层函数 的若 干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数 的单调区间，如例 5.） 设 ， ， 都是单调函数，则 在 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同， 复合函数为增函数， “里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 例 4. 求函数 的单调区间 解 原函数是由外层函数 和内层函数 复合而成的； 易知 是外层函数 的单调增区
4、间； 令 ，解得 的取值范围为 ； 由于 是内层函数 的一个单调减区间，于是 便是原 函数的一个单调区间； 根据复合函数“同增异减”的复合原则知， 是原函数的单调减区间。 例 5 求函数 的单调区间 . 解 原函数是由外层函数 和内层函数 复合而成的； 易知 和 都是外层函数 的单调减区间； 令 ，解得 的取值范围为 ； 结合二次函数的图象可知 不是内层函数 的一个单调区间， 但可以把区间 划分成内层函数的两个单调子区间 和 ，其中 是 其单调减区间， 是其单调增区间； 于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知， 是原函数的单调增区间， 是原函数的单调减区间。 同理，令 ，可求得 是原函数的单
5、调增区间， 是原函数的单调减区间。 综上可知，原函数的单调增区间是 和 ，单调减区间是 和 . （5）含参数函数的单调性问题. 例.设 （先 分离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论.） 解：由题意得原函数的定义域为 ， 当 上为减函数； 当 上为增函数。 （6）抽象函数的单调性.（抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的 函数问题） 常采用定义法.要充分利用已知条件，对变量进行合理赋值，并结合函数单调性的定义 进行证明。 例 已知函数 对任意实数 ， 均有 且当 时， ，试判断 的单调性，并说明理由. 解析：设 ，且 ，则 ，故 故 在（ ， ）上为增函数 例 2. 设f(x)定义于实数集上，当 时， ，且对于任意实数x、y，有 ，求证： 在R上为增函数。 证明： 在 中取 ，得 若 ，令 ，则 ，与 矛盾 所以 ，即有 当 时， ； 当 时， 而 所以 当 时， 所以对任意 ，恒有 设 ，则 所以 所以 在R上为增函数。
