1、 1 用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例 1正数数列 na 的前 n 项的和 nS ，满足 12 nn aS ，试求： （ 1）数列 na 的通项公式； （ 2）设11 nnn aab，数列 nb 的前 n 项的和为 nB ，求证： 21nB解：（ 1）由已知得 2)1(4 nn aS ， 2n 时， 211 )1(4 nn aS ，作差得：12 12 224 nnnnn aaaaa ，所以 0)2)( 11 nnnn aaaa ，又因为 na 为正数数列，所以21 nn aa ，即 na 是公差为 2 的等差数列，由 12 11 aS ，
2、得 11a ，所以 12 nan （ 2） )12 112 1(21)12)(12( 11 1 nnnnaab nnn，所以 21)12(2 121)12 112 15131311(21 nnnB n 真题演练 1： (06全国 1卷理科 22 题 )设数列 na 的前 n 项的和 , 14 1 223 3 3nnnSa ， 1,2,3,n （）求首项 1a 与通项 na ；（）设 2nn nT S， 1,2,3,n ，证明：132n ii T . 解 : ( )由 Sn=43an 13 2n+1+23, n=1,2,3， , 得 a1=S1= 43a1 13 4+23 所以 a1=2新疆源头
3、学子小屋特级教师王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆再由有 Sn 1=43an 1 13 2n+23, n=2,3， 4, 将和相减得 : an=Sn Sn 1= 43(an an 1) 13 (2n+1 2n),n=2,3, 整理得 : an+2n=4(an 1+2n 1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为 a1+2=4,公比为 4的等比数列 ,即 : an+2n=4 4n 1= 4n, n=1,2,3, , 因而 an=4n 2n, n=1,2,3,
4、, ( )将 an=4n 2n代入得 Sn= 43 (4n 2n) 13 2n+1 + 23 = 13 (2n+1 1)(2n+1 2) = 23 (2n+1 1)(2n 1) Tn= 2nSn = 322n(2n+1 1)(2n 1) = 32 (12n 1 12n+1 1) 所以 , 1nii T= 321(ni12i 1 12i+1 1) = 32 (121 1 1121n ) 1） 化简得： 112 2( 1)nnnaa 2)1(2)1( 11 nnnn aa , 32)1(232)1( 11 nnnn aa 故数列 32)1( nna是以 321a为首项 , 公比为 2 的等比数列
5、. 故 1)2)(31(32)1( nnna 22 2 ( 1) 3 nnna 数列 na 的通项公式为： 22 2 ( 1) 3 nnna . 观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩， 使之能够求和。而左边=2 3 2451 1 1 3 1 1 12 2 1 2 1 2 ( 1 )mmma a a ，如果我们把上式中的分母中的 1 去掉，就可利用等比数列的前 n项公式求和，由于 -1与 1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：3232 212112 112 1 ， 4343 212112 112 1 ，因此，可将 12保留，再将后面的项两两组
6、合后放缩，即可求和。这里需要对m 进行分类讨论，（ 1）当 m 为偶数 )4( m 时， maaa11154 )11()11(11654 mm aaaaa )2 12121(2321243 m)2 11(4123214 m8321 87 （ 2）当 m 是奇数 )4( m 时， 1m 为偶数， 8711111111 165454 mmm aaaaaaaa 所以对任意整数 4m ，有maaa11154 87 。 本题的关键是并项后进行适当的放缩。 6 3.（ 07 武汉市模拟）定义数列如下： Nnaaaa nnn ,1,2 211 求证：（ 1）对于 Nn 恒有 nn aa 1 成立； （ 2）
7、当 Nnn 且2 ，有 11211 aaaaa nnn 成立； （ 3） 11112 11 2 0 0 6212 0 0 6 aaa 分析：（ 1）用数学归纳法易证。 （ 2）由 121 nnn aaa 得： )1(11 nnn aaa )1(1 11 nnn aaa )1(1 112 aaa 以上各式两边分别相乘得： )1(1 11211 aaaaaa nnn ，又 21a 11211 aaaaa nnn （ 3）要证不等式 11112 11 2 0 0 6212 0 0 6 aaa ， 可先设法求和：2 0 0 621111 aaa ，再进行适当的放缩。 )1(11 nnn aaannn
8、aaa111111 111111 nnn aaa200621111 aaa )1111()1111()1111(2 0 0 72 0 0 63221 aaaaaa 1111 20071 aa 200621 11 aaa 1又 2 0 0 62 0 0 612 0 0 621 2 aaaa 2 0 0 62 0 0 621 2 1111 aaa 原不等式得证。 本题的关键是根据题设条件裂项求和。 用放缩法处理 数列和不等问题（学生版） 一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 7 例 1正数数列 na 的前 n 项的和 nS ，满足 12 nn aS ，试求： （ 1）数列 na 的通项公
9、式； （ 2）设11 nnn aab，数列 nb 的前 n 项的和为 nB ，求证： 21nB真题演练 1： (06全国 1卷理科 22 题 )设数列 na 的前 n 项的和 , 14 1 223 3 3nnnSa ， 1,2,3,n （）求首项 1a 与通项 na ；（）设 2nn nT S， 1,2,3,n ，证明：132n ii T . 二先放缩再求和 1放缩后成等比数列，再求和 8 例 2 等比数列 na 中 ，1 12a，前 n项的和为 nS ，且 7 9 8,S S S 成等差数列 设nnn aab 1 2 ，数列 nb 前 n 项的和为 nT ，证明： 13nT 真题演练 2：
10、(06福建卷理科 22 题 )已知数列 na 满足 *111, 2 1( ).nna a a n N （ I）求数列 na 的通项公式； （ II）若数列 nb 滿足 12 111 *4 4 4 ( 1 ) ( )nnbbbb na n N ， 证明：数列 nb 是等差数列； （ ）证明： *122 3 11 . . ( )2 3 2nnaaann nNa a a . 2放缩后为“差比”数列，再求和 9 例 3已知数列 na 满足： 11a ， )3,2,1()21(1 nana nnn求证：11 2 13 nnn naa3放缩后成等差数列，再求和 例 4已知各项均为正数的数列 na 的前 n
11、 项和为 nS ,且 2 2n n na a S . (1) 求证： 2214nnn aaS ； (2) 求证： 112 122nSSS S S 练习： 10 1.（ 08 南京一模 22 题）设函数 213() 44f x x bx ，已知不论 ,为何实数，恒有 (cos ) 0f 且(2 sin ) 0f .对于正数列 na ，其前 n项和 ()nnS f a ， *()nN . ( ) 求实数 b 的值； （ II） 求数列 na 的通项公式； （ ） 若 1 ,1n nc n Na ，且数列 nc 的前 n项和为 nT ，试比较 nT 和 16 的大小并证明之 . 2.（ 04 全国） 已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足： nnn aS )1(2 ， 1n （ 1）写出数列 na 的前三项 1a ， 2a ， 3a ；（ 2）求数列 na 的通项公式； （ 3）证明：对任意的整数 4m ，有87111 54 maaa 3.（ 07 武汉市模拟）定义数列如下： Nnaaaa nnn ,1,2 211 求证：（ 1）对于 Nn 恒有 nn aa 1 成立； （ 2）当 Nnn 且2 ，有 11211 aaaaa nnn 成立； （ 3） 11112 11 2 0 0 6212 0 0 6 aaa
