1、1 再创造：让知识建构生动且深刻 “用数对确定位置”教学的新探索 浙江省海盐县教育研训中心 顾志能 数学教学方法的核心是学生的“再创造” ，即让学生通过自己的实践和思考，去创造、 获取数学知识，而不是教师将知识生吞活剥地灌输给学生。 题记 题记中的这段话，是荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔“再创造”教育理论 的主要观点。这个理论，一直让我很痴迷。从题记中可见，所谓学生的“再创 造” ，就是在教师引导下，学生运用已有的知识、经验和智慧，通过自身的实践、 探索和思考，去亲身经历知识的发生和发展过程，自己“创造出”数学的结论 （法则、定律等） 。可以想象，经历这样的“再创造” ，学生的学习过程一定是 生
2、动的真实的情境、丰富的活动；学生对知识的建构一定是深刻的自 己发现、自己形成；学生的能力提升一定是多方面的无论是探究能力、思 维能力还是创新能力。而这些，不都是我们数学教育（教学）所渴求的目标吗？ 可见，以“再创造”理论为指导开展教学设计与课堂实践，必是一件极有意义 的事情。 “用数对确定位置”一课就在这样的理念召唤下，走入了我的研究视线。 “用数对确定位置”这节课，多年下来，已形成一个基本的教学套路 从教室座位图入手（与教材情境同） ，描述某个学生的位置；学生发现描述方法 的差异，感受到需要对列和行的认定统一规则；教师将座位图抽象成点子图， 将各点横纵连线，抽象成格子图；在格子图中继续描述位
3、置，引导学生用简洁 的方法表示，得出“数对” ；各类练习，联系生活。应该说，这样的教法比较顺 畅，学生能在认知冲突中逐步体会到数学规定（规则）的重要性，并基于此， 理解列、行的含义，掌握用有序数对表示位置的具体方法。 然而，顺畅的教学过程往往潜藏着问题，显见的一点就是整个学习过程中 教师的主导性过强，教学的推进很多都是教师的意愿而非学生的需求。如座位 图为何要变成点子图，又为何要变成格子图；为何要在格子图中再描述位置； 等等。而正因为此，对学生学习而言，他们思考的机会减少了，探究的空间压 2 缩了，讨论交流的频次降低了，学习活动“是一个生动活泼的、主动的和富有 个性的过程”就较难体现了。 其次
4、，因为情境用了座位图（它相当于一个直角坐标系的原型） ，因此，知 识的发生（为什么要有列与行两个信息） 、知识的发展（为什么要建立直角坐标 系，如何建立） ，这些蕴含着丰富的思维价值，能揭示知识的来龙去脉及形成过 程的重要环节，却由此而不能展现或是遭淡化处理，这影响了学生对知识的深 度建构。 如何突破？对照着“再创造”理论，我思考着： 若能创设更有意义的问题情境，给学生更多的实践和思考空间，学生的学 习活动不就会生动了吗？ 若能让学生的思考和探究更好地围绕知识形成的线索而展开，学生对知识 的理解不就会深刻了吗？ 既生动，又深刻，课堂将是对我美好设想的最好检验！ 【课堂实录】 一、走进情境，激发
5、兴趣 师（课件呈现，如图 1）：这是一堵白色的墙壁，墙壁上爬来了一只蜘蛛。 （蜘蛛爬到右下角）蜘蛛现在的位置，我们可以怎么表示呢？ 生：在墙壁的右下角。 师：现在的位置呢？（蜘蛛爬到墙壁底边的正中间） 生：墙壁底边的中间。 师：现在的位置呢？（蜘蛛爬到底边离左边较近处） （这时学生有不同的描述位置的说法） 师：看来这时我们讲不清蜘蛛具体的位置。如果我 们把底边量一下（呈现图 2） ，现在你能说清它的位置吗？ 生：在 1 厘米处。 师：那我们不妨用数 1 来表示（板书“1” ） 。现在 呢？（蜘蛛的位置分别换到 5、3、2.5、2，学生口答，教师依次板书） 图 1 图 2 3 师：看来，蜘蛛只要
6、在这条线段上移动，我们都能用一个数来表示它的位 置。 二、深入探究，自主建构 1.设置疑问，使学生初步感知。 （教师说要“来点好玩的” ，邀请一位学生走上讲台做个小游戏，要求他面 向全班而坐，只能听师生交流而不能看屏幕演示。然后 课件演示到如图 3，请全班学生说蜘蛛的位置） 生 1：2 的上面。 生 2：2 的正上方。 生 3：2 的正上方，离 2 不是很远。 师：行，看来大家都认为蜘蛛现在的位置在“2 的正上方” 。 （教师板书， 然后请参与游戏的学生转过头来走到屏幕处，点出蜘蛛的位置） （学生上来连点了几处位置都在 2 的上方，但下面学生都说“不准” ， 学生委屈地说：“这样我点不出来的。
7、 ”） 师：这位同学点不出这个蜘蛛的位置，问题是出在他那里还是出在你们那 里呢？（下面的学生一致认为是自己提供的信息不够全面，有点模糊，教师在 “2 的正上方”下面板书“模糊”两字） 师：那么，现在蜘蛛的位置，准确清楚的信息，该是怎样的呢？请同学们 研究一下。 （学生有练习纸，纸上印好了带底边刻度的“墙壁” ， 蜘蛛的位置是用一个小点表示的。学生或讨论，或动手用 尺量，很快达成一致，反馈得出“2 的正上方 1 厘米处” 。 教师利用课件演示尺的摆法量法，如图 4，再请参与游戏 的学生点出位置，学生一点就准） 师：看来，要讲清蜘蛛现在的位置，需增加一个表示高度的条件“1 厘米 处” 。这样的信息
8、就“清楚”了。 （教师在“2 的正上方 1 厘米”下面板书“清 楚”两字） 师：用这样的方法，如果蜘蛛爬到这里，你会怎么说它的位置呢？（5 的 上方 2 厘米处，课件支撑） 图 4 图 3 4 师：如果蜘蛛爬到了 1 的上方 3 厘米处，谁能上来点出它的位置吗？（一 学生上来上下、左右比划着点出了蜘蛛的位置，课件支撑） 2.变化形式，引学生主动“创造” 。 师：现在又来了一只蓝蜘蛛和一只黄蜘蛛，它们可要挑战一下大家的思维 了我们也要爬到这堵墙上，位置也都是在“几的上方几厘米处” 。不过，现 在墙壁上没有尺了，你能在这堵墙上做些什么准备工作，我们一爬过去，你就 能快速地说出我们的位置呢？ （布置
9、学生自主探究，教师巡视理解学生探究情况，然后组织展示反馈） 生 1：我在墙壁的最左边也画了一条线段，标上数字表示高度，这样只要 竖着看、横着看，就能很容易看出蜘蛛的位置了。 （如图 5） 生 2：我把这条线段上的每个点都往右边画条横线。 （如图 6） 师：你为什么这么画呢？ 生 2：这些线都表示高度，这样横过去看起来更容易。 生 3：我既画了横的线，我还画了竖的线，这样看起来就更方便了。 （如图 7） （教师引导学生分析三幅图的联系和区别，感受第三幅图的“好处” 。然后， 在这幅图上，让蓝蜘蛛和黄蜘蛛模拟爬动，学生快速地说出位置） 3.提升要求，让学生深入抽象。 师：现在的方法能够清楚地表示出
10、蜘蛛的位置了，不过，问题又来了 蜘蛛在一条线段上爬时，我们只要用一个数就能表示出它的位置，非常简洁， 现在蜘蛛的位置却都要用一句话来表示。看着现在这幅图，红蜘蛛在“2 的上 方 1 厘米处” ，如果我们也想用一种简洁的方法来表示（板书“简洁”两字） ， 你有什么好主意吗？ （组织学生自主探究，教师巡视，指名部分学生将个性化的方法写在黑板 图 5 图 6 图 7 5 上，如图 8，然后反馈，请学生逐一介绍想法） （注：图 8 是笔者根据录像中学生的写法记录下来的） 生 1：横 2 表示横的第二格对上去，高 1 表示高度 1 格。 师：只用了四个字，比原来简洁了。 生 2：我两个箭头分别表示 2
11、对过去和 1 对过去的交叉点上。 （很多学生都 认为很简洁） 生 3：我把 1 写的小一点，说明它和 2 的意思是不一样的，它是表示高度 的。 （生 4、生 5 与生 3 想法雷同，很多学生也都是类似的写法，因此都认为 这样的写法很简洁） 师：同学们创造的方法都很简洁，而且很有意思。方法虽然各不相同，但 是也有相同之处都用到了 2 和 1 两个数，而且两个数表示的意义不一样。 如果你是数学家，规定大家都用你的方法，也许这个方法就在全世界传播了。 而今天全世界通用的方法，实际上和你们想得差不多 （在学生愤悱之际，教师板书“标准”的记法，并课件演示“列”与“行” 的规定，引导学生理解即代表在第二列
12、上，即代表在第行上，列与行的 交点就是蜘蛛的位置。 ） 师：像这样，用表示列与行的两个数组成的一对数，我们就把它叫做数对。 （告知读法，学生试读。以另两只蜘蛛的位置引导学生自己用数对表示， 校对写法，巩固读法） 4.介绍历史，带学生体验文化。 教师课件介绍笛卡尔看见蜘蛛爬动而发明坐标系及数对的传说，告知学生 “今天你们重走了数学家的发明之路” ，让学生感知自己所经历的不平凡的“再 创造”过程。 三、练习巩固，深刻体验 1.联系生活，基础练习。 图 8 6 （1）教室座位。利用教室中学生的座位，引导学生想自己的位置，用数对 表示；想同桌位置的数对，相互检查。在解决问题的过程中，巩固对数对的掌 握
13、。 （2）五子棋。如图 9，如果接下去黑棋下，下在哪里？ 吃一颗白棋，吃哪一颗？白棋接着下，又下哪里？ 在游戏活动中，引导学生感受用数对表示的简洁性， 体会到数对在生活中的应用（如棋谱） 。 （3）其它例子。 （略） 2.联系数学，提升思维。 笛卡尔发明的数对在数学中究竟有什么用？ 课件逐步呈现图 10，引导学生发现两条线之所以不一样，与它们线上点的 数对特征紧密相关。因此，笛卡尔发明数对后，人们就可以用数来分析几何图 形了，从此打通了数与形之间的关系，这才是这个知识本质的价值所在。 【特别致谢】感谢潘小明老师在本课上所作过的研究（详见小学教学 2015 年第七八合期） ，使我从中受到启发；感谢浙派名师班学员听我试教后所 提出的宝贵建议，使我的设想能付诸现实。 图 9 图 10
