1、帕斯卡与前 n 个自然数的平方和 十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.191662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求 出前 n 个自然数的平方和。这个方法是这样的： 利用和的立方公式，我们有 （n1） 3n 33n 23n1， 移项可得 （n1） 3 n 33n 23n1， 此式对于任何自然数 n 都成立。 依次把 n1,2，3，n1，n 代入上式可得 23 1 331 2311， 33 2 332 2321， 43 3 333 2331， n3（n1） 33（n1） 23（n1）1， （n1） 3 n 33n 23n1， 把这 n 个等式的左边与右边对应相加，
2、则 n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n1） 3 1；而 n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前 n 个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前 n 个自然数的和，第三列是 n 个 1。因而 我们得到 （n1） 3 13S n n，2)1( 现在这里 Sn1 22 2n 2。 对这个结果进行恒等变形可得 n33n 23n3S n n，)( 2n36n 26n6S n3n 23n2n 移项、合并同类项可得 6Sn2n 33n 2nn（n1） （2n1） ， S n n（n1） （2n1） ，6 即 122 23 2n 2 n（n1）
3、 （2n1） 。6 这个方法把所要计算的前 n 个自然数的平方和与已知的前 n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个 方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。 前 n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法 袁志红 关于前 n 个连续自然数的平方和： 的证明方)12(613212nn 法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的 方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好. 我们先来计算： =11+22+33，即 1 个 1 与 2 个 2 与 3 个 3 的和。为此我们把这些数排列2231 成下面等边三角形的形状的数表： 1
4、 2 2 3 3 3 把这个等边三角形数表顺时针旋转 120 度得到数表： 3 3 2 3 2 1 再把数表顺时针旋转 120 度得到数表： 3 2 3 1 2 3 观察、三个数表对应位置的数字，看看它们之间有什么规律？ 不难发现： 最顶层的三个数字是：1、3、3； 第二行左侧三个数字是：2、3、2； 第二行右侧三个数字是：2、2、3； 第三行最左侧三个数字是：3、3、1； 第三行中间三个数字是：3、2、2； 第三行最右侧三个数字是：3、1、3. 通过简单地计算发现，上面每一组数字之和都是 7. 每个数表都是 6 个位置，所以三个数表数字之和：共 6 个 7，而这三个数表的数字都是一 样的（因
5、为都是旋转得到的，只是改变了位置关系，数字不变） ，所以每个数表数字之和 为：673. 而数表中数字的个数可以这样计算：第一行排 1 个数，第二行排 2 个数；第三行排 3 个 数，所以共排了：1+2+3=6 个数字。 所以 =（1+2 3）3（3+1）6；)321()3(21 同理 也可以采用上面的方法推导出来：2n 1 2 2 3 3 3 n n n nn n n n n n 顺时针旋转 120 度，得到： n n n-1 n n-1 n-2 n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3 4 3 2 1 把数表再顺时针旋转 120 度，得到： n n-1 n n-2 n-1 n n-3 n-2 n-1 n 1 2 3 n-1 n 三个数表对应位置数字之和都是：1+n+n=2n+1,每个数表共排数字： 1+2+3+4+n=n(n+1)2,所以三个数表数字之和：（2n+1）n(n+1)2,所以每个数表 数字之和： .)12(6n 即 .)12(6321n 请大家用相同的方法证明： 12+23+34+n(n+1)= .)2(3
