1、第 1 页 共 10 页 初 中 几 何 证 明 题 经 典 题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心， C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO 求证：CDGF 证明：过点 G 作 GHAB 于 H，连接 OE EGCO，EFAB EGO=90，EFO=90 EGO+EFO=180 E、G、O、F 四点共圆 GEO=HFG EGO=FHG=90 EGO FHG =FH GHAB，CDAB GHCD CDOG FE EO=CO CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内部的一点，PADPDA15。 求证：PBC 是正三角形 （初二） 证明：作正三角形 ADM，连接 MP
2、 MAD=60 ，PAD=15 MAP=MAD+PAD=75 BAD=90，PAD=15 BAP=BAD-PAD=90-15=75 BAP=MAP MA=BA，AP=AP MAP BAP BPA=MPA，MP=BP 同理CPD=MPD，MP=CP PAD PDA15 PA=PD，BAP=CDP=75 BA=CD BAP CDP BPA=CPD BPA=MPA，CPD=MPD MPA=MPD=75 BPC=360 -754=60 MP=BP，MP=CP BP=CP BPC 是正三角形 第 2 页 共 10 页 3、已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，
3、AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F 求证：DEN F 证明:连接 AC，取 AC 的中点 G,连接 NG、MG CN=DN，CG=DG GNAD，GN= AD21 DEN=GNM AM=BM，AG=CG GMBC，GM= BC F=GMN AD=BC GN=GM GMN=GNM DEN=F 经 典 题（二） 1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点） ，O 为外心，且 OMBC 于 M （1）求证：AH2OM； （2）若BAC60 0，求证：AHAO （初二） 证明：（1）延长 AD 交圆于 F，连接 BF，过点 O 作 OGAD 于 G OGAF AG=FG =AB AB F=
4、ACB 又 ADBC，BEAC BHD+DBH=90 ACB+DBH=90 ACB=BHD F=BHD BH=BF 又 ADBC DH=DF AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又 ADBC，OMBC，OGAD 四边形 OMDG 是矩形 OM=GD AH=2OM （2）连接 OB、OC BAC=60BOC=120 OB=OC，OMBC BOM= BOC=60OBM=301 BO=2OM 由（1）知 AH=2OMAH=BO=AO 第 3 页 共 10 页 2、设 MN 是圆 O 外一条直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的
5、两条割线交圆 O 于 B、C 及 D、E， 连接 CD 并延长交 MN 于 Q，连接 EB 并延长交 MN 于 P. 求证：APAQ 证明：作点 E 关于 AG 的对称点 F，连接 AF、CF、QF AGPQ PAG=QAG=90 又GAE=GAF PAG+GAE= QAG+GAF 即PAE=QAF E、F 、C、D 四点共圆 AEF+FCQ=180 EFAG，PQ AG EFPQ PAF=AFE AF=AE AFE=AEF AEF=PAF PAF+QAF=180 FCQ=QAF F、C、A、Q 四点共圆 AFQ= ACQ 又AEP=ACQ AFQ= AEP 3、设 MN 是圆 O 的弦，过
6、MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q 求证：APAQ （初二） 证明：作 OFCD 于 F，OGBE 于 G，连接 OP、OQ、OA、AF、AG C、D、B 、E 四点共圆 B=D， E=C ABEADC DFB2A ABGADF AGB=AFD AGE=AFC AM=AN， OAMN 又 OGBE， OAQ+OGQ=180 O、A、Q、E 四点共圆 AOQ=AGE 同理AOP= AFC AOQ=AOP 又OAQ=OAP=90，OA=OA OAQOAP AP=AQ 在AEP 和AFQ 中 AFQ= AEP AF=AE QAF= PAE AEPAFQ
7、AP=AQ 第 4 页 共 10 页 4、如图,分别以ABC 的 AB 和 AC 为一边,在ABC 的外侧作正方形 ABFG 和正方形 ACDE，点 O 是 DF 的中点，OP BC 求证：BC=2OP（初二） 证明：分别过 F、A、D 作直线 BC 的垂线，垂足分别是 L、M、N OF=OD，DN OPFL PN=PL OP 是梯形 DFLN 的中位线 DN+FL=2OP ABFG 是正方形 ABM+FBL=90 又BFL+FBL=90 ABM=BFL 又FLB=BMA=90，BF=AB BFLABM FL=BM 同理AMCCND CM=DN BM+CN=FL+DN BC=FL+DN=2OP
8、 经 典 题（三） 1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE AC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F 求证：CECF （初二） 证明：连接 BD 交 AC 于 O。过点 E 作 EGAC 于 G ABCD 是正方形 BDAC 又 EGAC BDEG 又 DEAC ODEG 是平行四边形 又COD=90 ODEG 是矩形 EG=OD= BD= AC= AE2121 EAG=30 AC=AE ACE=AEC=75 又AFD=90-15=75 CFE=AFD=75 =AEC CE=CF 第 5 页 共 10 页 2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE AC，且 CECA，直线 EC 交 D
9、A 延长线于 F 求证：AEAF （初二） 证明：连接 BD，过点 E 作 EGAC 于 G ABCD 是正方形 BDAC ，又 EGAC BDEG 又 DEAC ODEG 是平行四边形 又COD=90 ODEG 是矩形 EG = OD = BD= AC= CE2121 GCE=30 AC=EC 3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分DCE 求证：PAPF （初二） 证明：过点 F 作 FGCE 于 G，FH CD 于 H CDCG HCGF 是矩形 HCF=GCF FH=FG HCGF 是正方形 CG=GF APFP APB+FPG=90 APB+BAP
10、=90 FPG=BAP 又FGP=PBA FGPPBA FG：PB=PG：AB 4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D 求证：ABDC，BCAD （初三） 证明：过点 E 作 EKBD，分别交 AC、AF 于 M、K ，取 EF 的中点 H， 连接 OH、MH、EC EH=FH OHEF，PHO=90 又 PC OC，POC=90 P、C、H、O 四点共圆 HCO=HPO 又 EKBD，HPO=HEK HCM=HEM H、C、E、M 四点共圆 ECM=EHM 又ECM=EFA EHM= EFA HMAC EH=FH 设
11、AB=x，BP=y，CG=z z：y= （ x-y+z） ：x 化简得（x-y）y =（x-y）z x-y 0 y=z 即 BP=FG ABP PGF CAE=CEA= GCE=1521 在AFC 中 F =180-FAC-ACF =180-FAC-GCE =180-135-30=15 F=CEA AE=AF EM=KM EKBD KODAEB OB=OD 又 AO=CO 四边形 ABCD 的对角 线互相平分 ABCD 是平行四边形 AB=DC，BC=AD 第 6 页 共 10 页 Q C A B P E P B A C D E CB A D 经典题(四) 1、已知：ABC 是正三角形，P 是
12、三角形内一点，PA 3，PB 4，PC5 求APB 的度数 （初二） 解：将ABP 绕点 B 顺时针方向旋转 60得BCQ，连接 PQ 则BPQ 是正三角形 BQP=60，PQ=PB=3 在PQC 中， PQ=4，CQ=AP=3，PC=5 PQC 是直角三角形 PQC=90 BQC=BQP+PQC=60+90=150 APB=BQC=150 2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBA PDA 求证：PAB PCB （初二） 证明：过点 P 作 AD 的平行线，过点 A 作 PD 的平行线， 两平行线相交于点 E，连接 BE PEAD，AEPD ADPE 是平行四边形 PE=AD，
13、 又 ABCD 是平行四边形 AD=BC PE=BC 又 PEAD，ADBC PEBC BCPE 是平行四边形 BEP=PCB ADPE 是平行四边形 ADP= AEP 3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD （初三） 证明：在 BD 上去一点 E，使BCE=ACD = CAD=CBDCD CD BEC ADC ABE ADBC=BEAC BCE=ACD BCE+ACE=ACD+ ACE 即BCA=ECD = ,BAC=BDCBC BC BACEDC DAE ABCD=DEAC 又ADP= ABP AEP=ABP A、E、B、P 四点共圆 BEP=PAB PAB=P
14、CB +得 ABCD+ ADBC =DEAC+ BEAC =（DE+BE ）AC =BDAC 第 7 页 共 10 页 GD F E A B C P 4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且 AECF求证：DPA DPC （初二） 证明：过点 D 作 DGAE 于 G，作 DHFC 于 H，连接 DF、DE S ADE = AEDG，S FDC = FCDH 12 12 又 SADE = SFDC = SABCD 12 AEDG=FCDH 又 AE=CF DG=DH 点 D 在APC 的角平分线上 DPA DPC 经 典 题（五）
15、 1、设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点，LPA PB PC， 求证： L23 证明：（1）将BPC 绕 B 点顺时针旋转 60的BEF，连接 PE， BP=BE，PBE=60 PBE 是正三角形。 PE=PB 又 EF=PC L=PA+PB+PC=PA+PE+EF 当 PA、PE 、EF 在一条直线上的时候， L=PA+PE+EF 的值最小（如图） 在ABF 中， ABP=120 AF= 3 L=PA+PB+PC 3 （2）过点 P 作 BC 的平行线分别交 AB、AC 于 D、G 则ADG 是正三角形 ADP= AGP，AG=DG APD AGP APD ADP ADPA 又 BD
16、+PDPB CG+PGPC +得 AD+BD+CG+PD+PGPA+PB+PC AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=L AB=AC=1L2 由（1）（2）可知： L23 H G F DA CB E P 第 8 页 共 10 页 G F EB C A D P Q B C A D P 2、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PAPB PC 的最小值 解：将BCP 绕点 B 顺时针旋转 60得BEF，连接 PE， 则BPE 是正三角形 PE=PB PAPBPC=PA+PE+EF 要使 PAPBPC 最小，则 PA、PE、EF 应该在一条直线上（如图）
17、 此时 AF= PA+PE+EF 过点 F 作 FGAB 的延长线于 G 则GBF=180-ABF=180 -150=30 GF= ，BG= 12 3 AF= = =2AGF22133 PAPBPC 的最小值是 3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa ，PB2a，PC 3a，求正方形的边长 证明：将ABP 绕点 B 顺时针旋转 90得BCQ，连接 PQ 则BPQ 是等腰直角三角形， PQ= PB= 2a=2 a22 又 QC=AP=a QP 2+QC2=(2 a)2+a2=9a2=PC2 PQC 是直角三角形 BQC=135 BC 2=BQ2+CQ2-2BQCQcosBQC =PB
18、2+PA2-2PBPAcos135 =4a2+a2-22aa(- )2 解得 BC= 5 正方形的边长为 a2 第 9 页 共 10 页 G F E D A CB 4、如图，ABC 中，ABCACB 80，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DCA30， EBA20，求BED 的度数 解：在 AB 上取一点 F，使BCF=60 ，CF 交 BE 于 G，连接 EF、DG ABC=80，ABE=20，EBC=60，又BCG=60 BCG 是正三角形 BG=BC ACB=80，BCG=60FCA=20EBA= FCA 又A= A， AB=ACABEACF AE=AF AFE=AEF= （180-A
19、 ）=80 12 又ABC=80=AFEEFBCEFG=BCG=60 EFG 是等边三角形EF=EG，FEG= EGF=EFG=60 ACB=80，DCA=30 BCD=50 BDC=180-BCD-ABC=180 -50-80=50 BCD=BDCBC=BD 前已证 BG=BCBD=BG BGD=BDG= （180-ABE）=80 12 FGD=180-BGD- EGF=180 -80-60=40 又DFG=180-AFE-EFG=180-80-60 =40 FGD= DFGDF=DG 又 EF=EG，DE=DE EFD EGD BED=FED= FEG= 60=30 12 12 5、如图，
20、ABC 内接于O，且 AB 为O 的直径， ACB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作O 的切 线 PD 交 CA 的延长线于点 P，过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F，若 AC=6，BC=8 ，求线段 PD 的长。 解：ACD=BCD = AD=BDAD BD AB 为O 的直径 ADB=90 ABD 是等腰直角三角形 ACB=90，AC=6，BC=8 AB=10 AD=ABcosDAB=10 =52 又 AECD，ACD=45 ACE 是等腰直角三角形 CE=AE=ACcosCAE=6 =32 在ADE 中， DE2=AD2-AE2 DE 2= DE=3522（-4 CD=CE+DE=3 + =47 PDA= PCD，P=P PDAPCD 752CDAP PC= PD，PA= PD PC=PA+AC PD= PD+6 解得 PD=575743 第 10 页 共 10 页
