1、 平行四边形一、 基础知识平行四边形 平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形定义有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一组邻边相等的平行四边形是菱形。有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。两腰相等的梯形是等腰梯形。性质1、对边平行且相等。2、对角相等，邻角互补。3、对角线互相平分1、四个角都是直角。2、对角线相等。1、四条边都相等。2、两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征。1、两腰相等两底平行2、同一底上的两角相等3、两条对角线相等判定1、定义：2、判定定理：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（2
2、）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。1、定义：2、判定定理：（1）对角线相等的平行四边形是矩形。（2）有三个角是直角的四边形是矩形。1、定义：2、判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的四边形是菱形。1、先证明是矩形再证明一组邻边相等。2、先证明是菱形再证一个角是直角。1、定义：先判断是梯形在证明两腰相等。2、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。3、对角线相等的梯形是等腰梯形。对称性轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形二、1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角
3、形的第三边，且等于第三遍的一半。（图1）CABDEF 2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。三、例题例1、如图1，平行四边形ABCD中，AEBD，CFBD，垂足分别为E、F. 求证：BAE =DCF.OABCDEF（图2）例2、如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BEAC于E，CFBD于F.求证：BE = CF. ABCD图3EF例3、已知：如图3，在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE = 2EA，CF = 2FD. 求证：BEC =CFB. ADBCEF(图6)MN例4、如图6，E、F分别是 ABCD
4、的AD、BC边上的点，且AE = CF.（1）求证：ABECDF；（2）若 M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论. 图7ABCDEFO 例5、如图7 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.，求证：四边形AFCE是菱形.图8BCDAEF例6、如图8，四边形ABCD是平行四边形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.（1）如果 ，则DECBFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论.例7、如图9，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动
5、点（点E不与B、C两点重合），EFBD交AC于点F，EGAC交BD于点C.（1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB；ABCD图9EGOF（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，ADBC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明. 备用图（1）备用图（2）图13例8、有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理的解释. 四、练习 一、选择题 1.下列命题正确的是（ ）(A)、一组对边相等
6、，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 (B)、对角线相等的四边形一定是矩形(C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 (D)、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2. 已知平行四边形ABCD的周长32, 5AB=3BC,则AC的取值范围为( )A. 6AC10； B. 6AC16； C. 10AC16； D. 4AC163.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）44延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BEBD，连结DE交BC于F，若DAB120,CFE135，AB1，则AC 的长为（ ）（A）1（B）1.2（C）（D）
7、1.55若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE1cm，则BD的长是（ ）（A）1cm（B）2cm（C）3cm（D）4cm6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线()（A）互相垂直（B）相等 （C）互相平分（D）互相垂直且相等7. 如图，等腰ABC中，D是BC边上的一点，DEAC，DFAB，AB=5那么四边形AFDE的周长是（ ）（A）5 （B）10 （C）15 （D）20 (第7题） （第8题） （第9题） （第10题）8.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ） （A）3c
8、m （B）4cm （C）5cm （D）6cm9. 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AC将梯形分成两个三角形，其中ACD是周长为18 cm的等边三角形，则该梯形的中位线的长是( ) (A)9 cm (B)12cm (c)cm (D)18 cm10.如图，在周长为20cm的ABCD中，ABAD，AC、BD相交于点O，OEBD交AD于E，则ABE的周长为（） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cmABCDEF图 2RPDCBAEF第12题图11. 如图2，四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF若CD6，则AF等于 （）
9、（A）（B）（C）（D） 12.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是 （ )A、线段EF的长逐渐增大 B、线段EF的长逐渐减小 C、线段EF的长不变 D、线段EF的长与点P13. 在梯形ABCD中，AD/BC，对角线ACBD，且，BD=12c m，则梯形中位线的长等于（ ）黄蓝紫橙红绿AGEDHCFB第14题A. 7.5cmB. 7cmC. 6.5cmD. 6cm14. 国家级历史文化名城金华，风光秀丽，花木葱茏某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、
10、紫6种颜色的花如果有，那么下列说法中错误的是（ ）A红花、绿花种植面积一定相等 B紫花、橙花种植面积一定相等C红花、蓝花种植面积一定相等 D蓝花、黄花种植面积一定相等2、 填空题1.如果四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四边形为形。 2.若正方形的对角线长为2cm，则正方形的面积为。3.若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm两部分，则这个矩形周长是4.已知：平行四边形ABCD的周长是30cm，对角线AC，BD相交于点O，AOB的周长比BOC的周长长5cm ，则这个平行四边形的各边长为。5. 已知：平行四边形ABCD中， AEBC交CB的延长线于点E，AFCD交CD的延长线于点F
11、，ABBCCDDA32cm，BCAB，EAF2C，则BE长为，则C.6. 在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(2，5)，B(3，1)，C(1，1)，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是 第10题图DABCPMNCFDBEAP（第9题）ABCDEFO图87.已知：如图8，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是边AB、BC上的点，若AE4cm，DF3cm，且OEOF，则EF的长为 。（1）（2）图98 如图9（1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10(2)所示的一个菱形对于图10(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的
12、度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论： 9如图，在四边形中，是对角线的中点，分别是的中点，则的度数是 10如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_11. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是 。 （12题） （13题） （14题）12、 如图所示，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分ADC交AC于E，BC于F，BDF=15，则COF=_13. 如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点E、
13、F，则图中阴影部分的面积为14、如图，矩形的面积为，顺次连结各边中点得到四边形，再顺次连结四边形四边中点得到四边形，依此类推，求四边形的面积是。ADBCFE15、如图已知O是ABCD的对角线交点，AC24，BD38，AD14，那么OBC的周长等于。ABDCOABDCEABDCO16、在平行四边形ABCD中，CB+D,则A，D。17、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为cm。18、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为_cm。19、菱形ABCD中，A60o，对角线BD长为7cm，则此菱形周长cm。20、如果一个正方形的
14、对角线长为，那么它的面积。21、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,AOB60o,AB8,则矩形对角线的长。22、如图3,等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDE，BC8，AB6，AD5则CDE周长。21、正方形的对称轴有条22、如图4，BD是ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是23、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出张。3、 解答题1.如图，在四边形ABCD中，A=60,B=D=90,BC=2,CD=3,求AB的长。2.如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC,AB=CD=2,
15、BAD=120,对角线AC平分BCD，求等腰梯形ABCD的周长。ABCDEFD3.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D 处，折痕为EF（1）求证：ABEADF；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论4已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，对角线AC、BD相交于点E，ADB=60，BD=10，BEED=41，求梯形ABCD的腰长.5. 如图，菱形ABCD，E，F分别是BC，CD上的点，BEAF60，BAE18求CEF的度数。ABCDMNE(第6题)6.已知：如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角C
16、AM的平分线，CEAN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明7. 如图，四边形ABCD中，一组对边AB=DC=4，另一组对边ADBC，对角线BD与边DC互相垂直，M、N、H分别是AD、BC、BD的中点，且ABD=30求：（1）MH的长（2）MN的长。8. 如图所示，在ABC中，BAC=90,ADB,BE平分ABC,EFBC,那么AE=CF吗？证明你的结论。9. 如图，ABCD是正方形，CEBD，BEBD，BE交DC于点F，求证：（1）BEC30（2）DEDF 10.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE
17、BC，垂足为E， PFCD，垂足为F，求证：EFAP11. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E,交BC于点F。若PE=PF,且AP+AE=CP+CF（1）求证：PA=PC;（2）若AD=12,AB=15,DAB=60,求四边形ABCD的面积.10如图所示，已知在ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MNBC11已知：如图，E为ABCD中DC边的延长线上的一点，且CEDC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF求证：AB2OF12.如图，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，点A处有一动点E以1cms的速度由点A向
18、点B运动，同时点C处也有一动点F以2cms的速度由点C向点D运动，设运动的时间为x（s），四边形EBFD的面积为y（cm2），求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。21，如图16，已知四边形ABCD是平行四边形，BCD的平分线CF交边AB于F，ADC的平分线DG交边AB于G.（1）线段AF与GB相等吗？ OFDBECA图18图17图16（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得EFG为等腰直角三角形,并说明理由.22，如图17，已知ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点E.（1）试说明线段CD与FA相等的理由； （2）若使FBCF，ABCD的边长之间还需再添加一个
19、什么条件？请你补上这个条件，并说明你的理由(不要再增添辅助线).23，（08上海市）如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形ECDBAO24，已知：如图19，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DEBF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）.（1）连结_；（2）猜想：_=_；（3）证明：25，如图20，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMB
20、E，垂足为M，AM交BD于点F.(1)试说明OEOF；OC图19DABEF图21EFOCMDAB图20EMFCODBA(2)如图21，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OEOF”还成立吗?如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由.13.如图在直角梯形ABCD中, ADBC, B=90AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动,动点Q从C开始沿CB向B以3cm/s的速度运动,P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t,t分别为何值时,四边形P
21、QCD为平行四边形,等腰梯形?A B Q C D P 14APBDDQC已知：如图，在直角梯形ABCD中，B90o,ADBC，AD24cm，BC26cm，动点P从A点开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形？等腰梯形？.在ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的AEF和四边形EBCF可以拼接成平行四边形EBCP，接切线与拼图过程如图所示，依照上述方法，安要求完成下列操作设计，并画出
22、图形说明。（1）在ABC中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成矩形。（2）在ABC中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成菱形。（3）在ABC中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成正方形。（4）在ABC（ABAC）中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，画出切线与拼图示意图。15如图把一个正方形割去四分之一，将余下的部分分成3个全等的图形（图甲）；将余下的部分分成4个全等的图形（图已）仿照示例，请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分。（1）分成3个全等的图形（在图一中画出示意图）；（2）分成四个全等的图形（在图二中画出示意图）；（3）你还能利用所得的4个全等的图形拼成一个平行四边形吗？若能
23、，画出大致的示意图。16.如图是 王大爷的一块四边形菜地，在A处有一口井，王大爷要想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分.请你为王大爷设计一条引水渠的方案，画出图形,并简要写出作图的主要步骤.解:作图步骤：17. (1)如图25-1，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD.求证:EFBEFD; (2) 如图25-2在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明. (3) 如图25-3在四边形ABCD中，ABAD，B+ADC1
24、80，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. 18. 将边长OA=8，OC=10的矩形放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在轴和y轴上.在、OC边上选取适当的点、F，连接EF，将EOF沿EF折叠，使点落在边上的点处图 图 图（1）如图，当点F与点C重合时，OE的长度为 ；（2）如图，当点F与点C不重合时，过点D作DGy轴交EF于点，交于点.求证：EO=DT；（3）在（2）的条件下，设，写出与之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ；（4）如图，将矩形变为平行四边形，放在平
25、面直角坐标系中，且OC=10，OC边上的高等于8，点F与点C不重合，过点D作DGy轴交EF于点，交于点，求出这时的坐标与之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）19. (1)如图101所示，BD, CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD, AGCE,垂足分别为F，G，连结FG，延长AF, AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与ABC的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG （ABBC+AC） （直接写出结果即可）（2）如图102，若BD，CE分别是ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明（3）如图103，若BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可不需要证明。20.已知正方形ABCD和等腰Rt按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连EG 、CG. (1)探索EG、CG的数量关系，并说明理由； （2）将图1中绕B 点顺时针旋转得图2，连结DF,取DF的中点G，问（1）中的结论是否成立，并说明理由；（3）将图1中绕B点转动任意角度（旋转角在0到之间）得图3，连结DF，取DF的中点G ，问（1）中的结论是否成立，请说明理由；
