1、 泰兴市第一高级中学 2014年秋学期 阶段练习六 高 三 数 学（理） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在 答题卡相应位置上 1.设全集 UR ，集合 | 3 , | 1 6A x x B x x ，则集合 ()UC A B 2.若等差数列 na 的前 5 项和 5 25S ， 且 2 3a ，则 7a 3.函数 2 23mmyx (常数 Zm )是偶函数，且在 (0, ) 上是减函数，则 m 4.已知 2sin( 45 ) 10 ，且 0 90 ，则 cos2 的值为 5.已知向量 a ， b 满足 2 2, 4ab ，
2、3 8,16ab ，则向量 a ， b 的夹角的大小为 6.设 ,lm是两条不同的直线， 是一个平面，有下列四个命题： 若 ,lm，则 lm ；若 , /l l m ，则 m ； 若 / ,lm ，则 /lm； 若 / , /lm，则 /lm 其中，所有正确的命题是 （填序号） 7.设 1m ，已知在约束条件1yxy mxxy下，目标函数 22z x y的最大值为 32 ，则实数 m的值为 . 8.若椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 的左、右 焦点 分别为 1F 、 2F ，线段 12FF 被抛物线 2 2y bx的焦点分成 53： 两段，则此 椭圆的 离心率为 9.已知函数 ( )
3、s in 2 c o s 2f x x m x的图象关于直线 8x 对称 ，则 ()fx的单调递增区间为 _. 10.已知等比数列 na 的首项 211 a，其前四项恰是方程 0)2)(2( 22 nxxmxx的四个根，则 nm . 11.设 O 是 ABC 的三边中垂线的交点， ,abc分别为角 ,ABC 对应的边，已知2220b b c ，则 BCAO 的范围是 _. 12.已知圆 C： 4)2( 22 yx ，点 P 在直线 l： 2xy 上，若圆 C 上存在两点 A、 B 使得 PBPA 3 ，则点 P 的横坐标的取值范围是 13.已知 21,xx 为 正实数 ，若 )( xf 满足1
4、4 14)( xxxf，且 1)()( 21 xfxf ，则 )( 21 xxf 的最小值等于 . 14.设函数 3f x f x ，且当 1,3x 时， lnf x x .若在区间 1,9 内存在 3 个不同的实数 1 2 3, , ,x x x 使得 1 2 31 2 3f x f x f x tx x x ，则实数 t 的取值范围为 _ 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90 分请 在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 2sin sin sinB A C （ ） 求 2ac
5、b 的值； （ ）若 2b ，且 32BABC，求 BC BA 的值 16. 如图，在三棱柱 111 CBAABC 中，侧面 11ABBA 和侧面 11ACCA 均为正方形，90BAC ， 的中点为 BCD . (1)求证： 11 / ADCBA 平面 ; (2)求证： CBAC 11 . 17. 某旅游景点预计 2015 年 1 月份起 前 x 个月的旅游人数的和 p(x) (单位：万人 )与 x 的关系近似满足 1( ) ( 1 ) ( 3 9 2 ) , ( , 1 2 )2p x x x x x N x 已知第 x 月的人均消费额q(x)(单位：元 )与 x 的近似关系是 q(x)=
6、35 2 , ( , 1 6)16, ( , 7 12)x x N xx N xx (1)写出 2015 年第 x 月的旅游人数 f(x)(单位：万人 )与 x 的函数关系式； (2)试问 2015 年哪个月的旅游消费总额最大，最大旅游消费额为多少万元 ？ 18.在平面直角坐标系 xoy 中， 已知 椭圆 )0(1:2222 babyaxC 的 左、右 焦点 分别 为21,FF ， 焦距为 2， 一条 准线方程为 2x P 为椭圆 C 上一点，直线 1PF 交椭圆 C 于另一点 Q （ 1） 求椭圆 C 的方程； （ 2）若点 P 的坐标为 ),0( b ，求过 2, FQP 三点的圆的方程；
7、 （ 3）若 11 QFPF ，且 2,21 ，求 OQOP 的最大值 . F1 F2 . . O x y 第 18 题 19. 数列 na ， nb 满足： 12439 , ( R )nnnna ka n kb a n . (1) 当 1 1a 时，求证： na 不是等差数列； (2) 当 12k 时，试求数列 nb 是等比数列时，实数 1a 满足的条件； (3) 当 12k 时，是否存在实数 1a ，使得对任意正整数 n ，都有 1233nS成立 (其中 nS 是数列 nb 的前 n 项和 )，若存在，求出 1a 的取值范围；若不存在，试说明理由 . 20. 已知函数 |122 1( )
8、, ( ) ( )4 1 6 2 xmmxf x f xx ，其中 .mR （ ） 若 2m ，试判断函数 12( ) ( ) ( ) ( 2 , ) )f x f x f x x 的单调性，并说明理由； （ ） 设函数 12( ), 2() ( ), 2f x xgx f x x ，若对任意 大于等于 2 的实数 1x ，总存在唯一的小于 2 的实数 2x ，使得 12( ) ( )g x g x 成立，试确定实数 m 的取值范围 . 高三数学（理） 阶段测试六参考答案 1. 1,3) 2. 13 3. 1 4. 725 5. 6. 7. 32 8. 2559. 31,88k k k z 1
9、0. 215 11. 1,24 12. 2,2 13. 45 14. ln3 1( , )93e 15. 解：（ ）因为 2sin sin sinB A C ， 由正弦定理得 2b ac ，所以 2 0ac b 4 分 （ ）因为 acb 2 ， 2b ，所以 2 2b ， 2ac 所以 3cos 2BA BC ca B ， 由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B ，所以 225ac 8 分 所以 2 2 2 2 22 2 c o s 8B C B A a c B C B A a c a c B 即 22BC BA 14 分 16. 证明： 连结 1AC 交 1AC 于点 O
10、，则 O 为 1AC 中点 . Q O 为 BC 中点， 1/OD AB Q 1OD C AD 平 面 ， 11A B C AD 平 面 11/A B ADC平 面 6 分 Q AB AC ， 11/AB AB ， 11/AC AC 1 1 1 1AB AC Q 1 1 1AB AA ， 1 1 1 1AC A A A， 1 1 1 1 1,A C A A A A C C 平 面， 1 1 1 1A B AA C C 平 面 Q 1 1 1AC AA C C 平 面 1 1 1AB AC . Q 四边形 11AACC 为正方形， 11AC AC ， Q 1 1 1 1AC A B A， 1 1
11、 1 1 1,A C A B A B C 平 面， 1 1AC A B C 平 面 Q 1 1 1B C A B C 平 面 11AC BC 14 分 17.解： (1)当 x=1 时， f（ 1） =p（ 1） =37， 当 2 x 12，且 x N*时， f（ x） =P（ x） -P（ x-1） = -3x2+40x 5 分 验证 x=1 符合 f（ x） =-3x2+40x（ x N*，且 1 x 12） 6 分 (2)第 x 月旅游消费总额为 g（ x） = 22( 35 2 ) ( , ( , 1 6)163 40 )3 40( , ( ,) 7 12)x x x N xx N x
12、xxxx =32 , ( , 1 6 ), ( , 76 1 8 5 1 4 0 04 8 6 4 0 12)x x xx x N xx N x ， 9 分 当 1 x 6，且 x N*时， g（ x） =18x2-370x+1400，令 g（ x） =0， 解得 x=5， x=140（舍去） 当 1 x 5 时， g（ x） 0，当 5 x 6 时， g（ x） 0， 当 x=5 时， g（ x） max=g（ 5） =3125（万元） 12 分 当 7 x 12，且 x N*时， g（ x） =-48x+640 是减函数， 当 x=7 时， g（ x） max=g（ 7） =304（万元）
13、 .13 分 综上， 2015 年第 5 月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为 3125 万元 14 分 18. 解：（ 1） 解：由题意得2c 2，a2c 2，解得 c 1， a2 2， 所以 b2 a2 c2 1 所以椭圆的方程为 x22 y2 1 4 分 （ 2）因为 P(0， 1)， F1( 1， 0)，所以 PF1的方程为 x y 1 0 由x y 1 0，x22 y2 1， 解得 x 0，y 1， 或 x 43，y 13，所以点 Q 的坐标为 ( 43， 13) 6 分 解法一：因为 kPF1 kPF2 1，所以 PQF2为直角三角形 因为 QF2的中点为 ( 16， 16
14、)， QF2 5 23 ， 所以圆的方程为 (x 16)2 (y 16)2 2518 8 分 解法二：设过 P， Q， F2三点的圆为 x2 y2 Dx Ey F 0， 则1 E F 0，1 D F 0，179 43D13E F 0，解得D 13，E 13，F 43所以 圆的方程为 x2 y2 13x 13y 43 0 8 分 （ 3）设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 F1P (x1 1， y1)， QF1 ( 1 x2， y2) 因为 F1P QF1 ，所以 x1 1 ( 1 x2)，y1 y2，即 x1 1 x2，y1 y2，所以( 1 x2)22 2y22 1，x222
15、y22 1，解得 x2 1 32 10 分 OP OQ x1x2 y1y2 x2( 1 x2) y22 2 x22 (1 )x2 2 (1 32 )2 (1 )1 32 7458( 1 ) 14 分 因为 12， 2，所以 1 2 1 2，当且仅当 1 ，即 1 时，取等号 所以 OP OQ 12，即 OP OQ 最大值为 12 16 分 19. 解： (1)证： 1 1a ， 2 1ak， 23 2a k k ， 2 分 又 222 1 ( 2 2 ) 1k k k k k ，而 2 10kk 无实数解， 4 分 则 2 1 32a a a，从而 na 不是等差数列 . 5 分 (2)当 1
16、2k 时， 121 1 129,nna a n b a , 因为 2 4 111 3 9 2( 1 )n n nb a n b 8 分 故 1121129( ) ( )nnba ，从而当 21 9a 时，数列 nb 为等比数列； 10 分 当 12k ， 21 9a 时， 0nS ，不满足题设，故 21 9a ，数列 nb 为等比数列其首项为 2119ba ，公比为 12 ，于是 2 2 113 9 2( ) 1 ( ) nnSa . 12 分 若 1233nS ，则11221 2 1 21992 1 ( ) 1 ( )nna 对任意正整数 n 恒成立， 14 分 而 121 ( )n 得最大
17、值为 32 ，最小值为 34 ，因此 88199a ，即 81 9a 时，成立 .16 分 20.解：（ ） ()fx为减函数。理由如下： 因为 212 222 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( )4 1 6 2 4 1 6 2xxxxf x f x f x xx ， 由于 222 2 2 28 ( 4 ) 1 1 8 ( 4 ) 1( ) 4 ( ) l n 4 ( ) l n 2( 4 1 6 ) 2 2 ( 4 1 6 ) 2xxfx xx ，且 2x ， 所以 ( ) 0fx ，从而函数 ()fx为减函数 .5 分 （ ） 若 10, 2mx时， 11 1 1 21(
18、) ( ) 04 1 6mxg x f x x ； 2 2x 时 22 2 2 1( ) ( ) ( ) 02 xmg x f x 。所以 12( ) ( )g x g x 不成立 .7 分 若 0, 2mx时， 21 22( 4 )( ) ( ) 0( 2 8 )mxg x f x x ，所以 ()gx在 2, ) 单调递减 . 从而 11( ) (0, (2)g x f ，即1( ) (0, 16mgx . 9 分 (a)若 2, 2mx时，2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2xm m x m xg x f x . 所以 ()gx在 ( ,2) 上单调递增，从
19、而 22( ) (0, (2)g x f ，即 22 1( ) (0 , ( ) )2 mgx . 要使 12( ) ( )g x g x 成立，只需 21()16 2 mm ，即 21( ) 016 2 mm 成立即可 . 由于函数 21( ) ( )16 2 mmhm 在 2, ) 上单调递增，且 (4) 0h ，所以 24m.11 分 (b)若 0 2, 2mx 时， 21( ) , ,1 2( ) ( ) ( )12 ( ) , 2.2mxxmxmxmg x f xmx 所以 ()gx在 ( , m 上单调递增，在 ,2)m 上单调递减 . 从而 22( ) (0, ( )g x f m ，即 2( ) (0,1gx . 13 分 要使 12( ) ( )g x g x 成立，只需21,161()16 2mmm 成立，即 21()16 2 mm 成立即可 . 由 02m，得 21 1 1, ( )16 8 2 4mm . 故当 02m时， 21()16 2 mm 恒成立 . 综上所述， (0,4)m . 16 分
