1、10常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题,情境新颖别致,有广度,创新度和深度,是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理,找到数列的通项公式,为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。类型一:(可以求和)累加法例1、在数列中,已知=1,当时,有,求数列的通项公式。解析: 上述个等式相加可得: 评注:一般情况下,累加法里只有n-1个等式相加。【类型一专项练习题】1、已知,(),求。 2、已知数列,=2,=+3+2,求。 3、已知数列满足,求数列的通项公式。4、已知中,求。 5、已知,求数列通项公式. 6、 已知数列满足求通项公式?7、若数列的递推
2、公式为,则求这个数列的通项公式 8、 已知数列满足,求数列的通项公式。9、已知数列满足,求。 10、数列中,(是常数,),且成公比不为的等比数列(I)求的值; (II)求的通项公式 11、设平面内有n条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点若用表示这条直线交点的个数,则;当时,(用表示)答案:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.(1)2 (2) 11.(1)5 (2) 类型二: (可以求积)累积法例1、在数列中,已知有,()求数列的通项公式。解析:又也满足上式; 评注:一般情况下,累积法里的第一步都是一样的。【类型二专项练习题】1、 已知,(),求。
3、 2、已知数列满足,求。 3、已知中,且,求数列的通项公式. 4、已知, ,求。 5、已知,求数列通项公式. 6、已知数列满足,求通项公式? 7、已知数列满足,求数列的通项公式。8、已知数列an,满足a1=1, (n2),则an的通项 9、设an是首项为1的正项数列, 且(n + 1)a- na+an+1an = 0 (n = 1, 2, 3, ),求它的通项公式. 10、数列的前n项和为,且,求数列的通项公式. 答案:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 类型三:待定常数法可将其转化为,其中,则数列为公比等于A的等比数列,然后求即可。例1 在数列中, ,当时,有,求数
4、列的通项公式。解析:设,则,于是是以为首项,以3为公比的等比数列。【类型三专项练习题】1、 在数列中, ,求数列的通项公式。 2、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式3、已知数列a中,a=1,a= a+ 1求通项a 4、在数列(不是常数数列)中,且,求数列的通项公式. 5、在数列an中,求. 6、已知数列满足求数列的通项公式. 7、设二次方程x-x+1=0(nN)有两根和,且满足6-2+6=3(1)试用表示a; (2)求证:数列是等比数列;(3)当时,求数列的通项公式 8、在数列中,为其前项和,若,并且,试判断是不是等比数列? 答案:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.(1) (3)
5、 8.是类型四: 可将其转化为-(*)的形式,列出方程组,解出还原到(*)式,则数列是以为首项, 为公比的等比数列,然后再结合其它方法,就可以求出。例1 在数列中, ,且求数列的通项公式。解析:令得方程组 解得则数列是以为首项,以2为公比的等比数列 评注:在中,若A+B+C=0,则一定可以构造为等比数列。例2 已知、,求解析:令,整理得 ;两边同除以得,令,令,得 ,故是以为首项,为公比的等比数列。 ,即,得【类型四专项练习题】1、已知数列中,,,求。2、 已知 a1=1,a2=,=-,求数列的通项公式.3、已知数列中,是其前项和,并且,设数列,求证:数列是等比数列;设数列,求证:数列是等差数
6、列;求数列的通项公式及前项和。4、数列:, ,求数列的通项公式。答案:1. 2. 3.(3) 4. 类型五: (且)一般需一次或多次待定系数法,构造新的等差数列或等比数列。例1 设在数列中, ,求数列的通项公式。解析:设 展开后比较得这时是以3为首项,以为公比的等比数列即,例2 在数列中, ,求数列的通项公式。解析:,两边同除以得是以=1为首项,2为公差的等差数列。 即例3 在数列中, ,求数列的通项公式。解析:在中,先取掉,得令,得,即;然后再加上得 ; 两边同除以,得是以为首项,1为公差的等差数列。, 评注:若中含有常数,则先待定常数。然后加上n的其它式子,再构造或待定。例4 已知数列满足
7、,求数列的通项公式。解析:在中取掉待定令,则, ;再加上得,整理得:,令,则令 ;即;数列是以为首项,为公比的等比数列。,即;整理得类型5专项练习题:1、设数列的前n项和,求数列的通项公式。 2、已知数列中,点在直线上,其中(1) 令求证:数列是等比数列;(2) 求数列的通项 ; 3、已知,求。 4、设数列:,求.5、已知数列满足,求通项6、在数列中,求通项公式。7、已知数列中,,,求。8、已知数列a,a=1, nN,a= 2a3 n ,求通项公式a 9、已知数列满足,求数列的通项公式。10、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式 11、已知数列满足,求. 12、 已知数列满足,求数列的通
8、项公式。13、已知数列满足,求数列的通项公式。14、 已知,求。 15、 已知中,求. 16、已知数列中,是其前项和,并且,设数列,求证:数列是等比数列;设数列,求证:数列是等差数列;求数列的通项公式及前项和。答案:1. 2.(2) 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.(3) 类型六:()倒数法例1 已知,求。解析:两边取倒数得:,设则;令;展开后得,; 是以为首项,为公比的等比数列。;即,得;评注:去倒数后,一般需构造新的等差(比)数列。【类型六专项练习题】:1、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式。2、已知数列满足时,求通项
9、公式。3、已知数列an满足:,求数列an的通项公式。4、设数列满足求5、已知数列满足a1=1,求6、在数列中,求数列的通项公式. 7、若数列a中,a=1,a= nN,求通项a 答案:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 类型七: 例1 已知数列前n项和.求与的关系; (2)求通项公式.解析:时,得;时,;得。(2)在上式中两边同乘以得;是以为首项,2为公差的等差数列;得。【类型七专项练习题】:1、数列an的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn.求数列an的通项an。2、已知在正整数数列中,前项和满足,求数列的通项公式. 3、已知数列an的前n项和为Sn = 3n 2, 求数列an的通项公式. 4、设正整数an的前n项和Sn =,求数列an的通项公式. 5、如果数列an的前n项的和Sn =, 那么这个数列的通项公式?6、已知无穷数列的前项和为,并且,求的通项公式? 答案:1. 2. 3. 4. 5. an = 23 6. 递推数列的通项公式的求法,虽无固定模式,但也有规律可循;主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法,或是转化为等差或等比数列的方法解决;再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决,同学们应归纳、总结它们的规律,通过练习,巩固掌握它。