1、全等三角形证明条件归类 初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况
2、：一是公共边是第三个条件例1：如图，在中，AC=BD，AD=BC，求证：ADCB证明：ABD和BAC中： BD=AC BC=AD AB=BA(公共边)BACEFD第2图 （SSS）二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件例1：如图2，已知AC=DF, A=D,AE=BD, 求证：ABCDEF证明：AE=BD AE+EB=BD+EB（即AB=DE） 在ABC和DEF中AC=DF A=D AB=DEABCDEF（SAS）例2如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。CE=FB CE+EF=EF+FB（即CF=BE） AB=DC AE=DF CF=BEABECDF（SSS）A
3、F=DE三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件 例1：如图：DF=CE，AD=BC，D=C。求证：AEDBFC。证明：DF=CE，DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在AED和BFC中， AD=BC， D=C ，DE=CF AEDBFC（SAS） 第5图ABCDE四是等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）是第三个条件例1：如图5，ABC和CDE都是等边三角形，求证：ACDBCE。证明：ABC和CDE都是等边三角形AC=BC CD=CE ACB=DCE=60ACB+ACE=DCE+ACE（即BCE=ACD）在ACD和BCE中， AC=BC BCE=ACD CD=CE， ACDBCE
4、（SAS）五是添加辅助线与对应的线段相等是第三个条件例1已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求证：B=2C证明：延长AB取点E，使AEAC，连接DEAD平分BAC EADCADAEAC ADADAEDACD （SAS） ECACAB+BD AEAB+BDAEAB+BE BDBE BDEEABCE+BDE ABC2E ABC2C六是二次证全等找到对应的线段相等是第三个条件例1已知：如图，A=D=90，AE=DE求证：ABCDCB证明：A=D AE=DE AEB=DEC（对顶角）AEDACD （ASA） EC=EB EC+AE=EB+DE（即AC=DB） 在RtABC和RtDCB中 A=D=9
5、0 AC=DB BC=BC（公共边） ABCDCB (HL)七是中点等分线段对应相等是第三个条件例1，如图，DCAB，且DC=AE，E为AB的中点，求证：AEDEBC证明：DCAB CDEAEDDEDE，DCAE AEDEDCE为AB中点 AEBE BEDCDCAB DCEBECCECE EBCEDC AEDEBC八是其他情形对应角相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：一是公共角相等是第三个条件例1 如图，CABF于A，BECF于E，若AC=BE求证：AFCEFB证明：CABF BECF CAF=BEF=90 在 AFC和EFB中 CAF=BEF F= F（公共角） AC=BE AFC
6、EFB（AAS）二是对顶角相等是第三个条件例1如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，CFM=E BE=CF。求证：BEMCFM证明：CFM=E CMF=BME（对顶角） BE=CF BEMCFM（AAS）三是平行线截得的同位角或内错角相等是第三个条件BACDF21E例1. 已知：1=2，EF/AB，B=ACD CD=DE求证：EFDDAC 证明EF/AB1=EFD B=FED1=2 B=ACDEFD=2 FED=ACD在EFD和DAC中EFD=2 FED=ACD CD=DE EFDDAC四是同角（或等角）的余角（或补角）相等是第三个条件例1已知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180，求证
7、：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EFEB，连接CF CEAB CEBCEF90 EBEF，CECE CEBCEF BCFE BD180，CFECFA180 DCFA AC平分BAD DACFAC 又ACAC ADCAFC（SAS） ADAF AEAFFEADBE例2在ABC中，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.（1）ADC=ACB=BEC=90，CAD+ACD=90，BCE+CBE=90，ACD+BCE=90CAD=BCE AC=BC， ADCCEB（
8、2）略五是垂直相交的角是90是第三个条件例1：如图，DEAC于E，BFAC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M求证：MB=MD，ME=MF （1）DEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90，在RtDEC和RtBFA中，AF=CE，AB=CD，RtDECRtBFA（HL），DE=BF在RtDEM和RtBFM中DME=BMF DEC=BFA DE=BFRtCBFM（AAS） MB=MD，ME=MF （2）略 六是角平分线分得的角对应相等是第三个条件例1如图，在ABC中，AD平分BAC，1=2，求证：ABDACD证明：AD平分BAC BAD=CAD， 1=2 AD=AD BAD=C
9、AD ABDACD（ASA）AEBMCF七是相等对应角+公共角的和对应相等是第三个条件例1如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：ABFAEC； 证明：AEAB，AFAC， BAE=CAF=90BAE+BAC=CAF+BAC，即EAC=BAF在ABF和AEC中，AE=AB，EAC=BAF，AF=AC，ABFAEC（SAS），八是相等对应角+相等对应角和对应相等是第三个条件例1如图，已知1=2，3=4，求证：ABCDCB证明：1=2，3=4 1+3=2+4（即ABC=DCB）在AOB和DOC中ABC=DCB BC=BC 4=3ABCDCB九是等边三角形的三个角都等于60度
10、（等腰三角形两底角相等）是第三个条件例1：如图所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：CFDBED证明：作CGAB,交AD于H, 则ACH=45,BCH=45CAH=90-CDA, BCE=90-CDA CAH=BCE又AC=CB, ACH=B=45 ACHCBE, CH=BE又DCH=B=45 CD=DBCFDBED十是添加辅助线与对应的角相等是第三个条件十一是二次证全等找到对应的角相等是第三个条件例1AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF证明：在ABD与ACD中AB=AC BD=DC A
11、D=ADABDACD（SSS） ADB=ADC BDF=FDC在BDF与FDC中BD=DC BDF=FDC DF=DFFBDFCD十二计算角的度数找到对应的角相等是第三个条件例1如图，已知在ABC内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：延长AB至D，使BDBP，连DP在等腰BPD中，可得BDP40从而BDP40ACPADPACP（ASA） 故ADAC又QBC40QCB 故 BQQCBDBP 从而BQ+AQ=AB+BP例2 D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。求证CDEADF证明：连接D，D为等腰斜边AB的中点，故有CDAB，CDDACD平分BCA90，ECDDCA45由于DMDN，有EDN90由于 CDAB，有CDA90从而CDEFDA DEADF（ASA）十三其他情形 无论是找对应边相等还是找对应角相等，难点中的难点是找出隐含的条件，像前面的公共边相等，公共角相等，对顶角相等这些类型，我们可以把已知条件和问题结合起来，先找到需要证明全等的三角形，在找证明全等的条件。突破三角形全等证明这一难关，除了我们要加强联系，更重要的是我们在练习的时候要仔细看图，提高识别图形的能力。7
