1、装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2010-2011学年第2学期 考试科目：线性代数 试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业 题号一二三四五总分得分评阅人得分一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（B）成立(A) AB = AC，A 0，则B = C(B)AB = AC，A可逆，则B = C(C)A可逆，则AB = BA(D)AB = 0，则有A = 0，或B = 02. 设A为n(n2)阶矩阵，且A2= I，其中I为单位阵（下同），则必有（C
2、）(A)A的行列式等于1(B)A的逆矩阵等于I(C)A的秩等于n(D)A的特征值均为13设向量组线性相关，则向量组中（A）(A) 必有一个向量可以表为其余向量的线性组合(B)必有两个向量可以表为其余向量的线性组合(C) 必有三个向量可以表为其余向量的线性组合(D) 每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4设n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r，则有非零解的充分必要条件是（B）(A) (B) (C) (D) 5. 设A为n阶方阵，是A的伴随矩阵。则：等于 (C)(A) (B) (C) (D) 得分二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）6. 已知行列式，则数a =3.7. 设向量组
3、, 线性相关，则数k =.8. 设, ,则与的距离为9，内积为37.9. 设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1, 2, , n，则使为正定矩阵的数t取值范围是10. 设矩阵A和B相似，其中A = ，B = 则0，.得分1.5CM三、计算题11.(满分8分) 设矩阵 ，计算.解答：= = = 计算正确2分， 2分12.（满分8分）计算行列式 D = 的值。解：将D的各列全部加到第一列，得D = (x+1+2+n) （3分）= (x+) （ 2分） = (x+)(x-1)(x-2)(x-n) （ 3分）13.(满分7分) 设 , 求 . 解：(A I)= （ 2分） , （ 4分）所以 A-1 =
4、. （ 1分）用公式法酌情给步骤分得分1.5CM四、解答题14.(满分10分) 已知方程组有无穷多解，求a以及方程组的通解。解法一：由方程组有无穷多解，得，因此其系数行列式。即或。（3分）当时，该方程组的增广矩阵于是，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系，原方程组的一个特解，故时，方程组有无穷多解，其通解为， （4分）当时增广矩阵，此时方程组无解。 （3分）解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。由于该方程组有无穷多解，得。因此，即。求通解的方法与解法一相同。15.（满分10分）求向量组， 的一个最大无关组，且将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示出来1 所以为向量
5、组的一个最大无关组. （6分） （2分） （2分） 16.(满分6分) A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|I+A|=|2I-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？说明原因。（3）求|A+3I|。解：（1）由知-1，2为的特征值。，故-2为的特征值，又的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故的特征值为-1，2，-2，-2。 （2分）（建议只求出-1，2也给2分）（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以有四个线性无关的特征向量，故可相似对角化。（2分）（3）的特征值为2，5，1，1。故=10。（2分）17.（满分10分）求一个正交变换，化二次型 为标准型。解：设： ，则： ， 1分首先求 A 的特征根和特征向量令： ，得： ， 。 2分时：= 即： ， 1分取，得基础解系 ， 。单位化：， 2分时： 即： ， 1分取： ，得基础解系 ，单位化： 2分则： 。在正交变换 下，标准型为 。 1分得分1.5CM五、证明题18.(满分6分) 设为正交矩阵，且，试证.证明：（6分）5
