1、2012年四川省成都市大弯中学自主招生考试数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1下列计算正确的是（）A2a2a3=2a6B（3a2）3=9a6Ca6a2=a3D（a2）3=a62设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为反比例函数（k1）图象上的三点，且x10x2x3，比较y1、y2、y3的大小（）Ay1y2y3By1y2y3Cy1y3y2Dy1y2y33如果不等式的解集x1，那么m的值是（）A3B1C1D34抛物线y=（1+x）（3x）A有最大值3B有最小值3C有最大值4D有最小值45如图，A，B，C，D是直线L上顺次四点，M，N分别是AB，CD的中点，且M
2、N=6cm，BC=1cm，则AD的长等于（）A10cmB11cmC12cmD13cm6已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（2，0）、（x1，0），且1x12，与y轴的正半轴的有交点，下列结论：b0；b24ac=0；c0；ab0其中正确结论的序号是（）ABCD7已知三角形ABC其内切圆O与边AB交于D，若ADBD=5，则ACBC=（）A10B5C5或5D58如图（单位：m），直角梯形ABCD以2m/s的速度沿直线l向正方形CEFG方向移动，直到AB与FE重合，直角梯形ABCD与正方形CEFG重叠部分的面积S关于移动时间t的函数图象可能是（）ABCD9已知mn0且1m1n0n+m+
3、1，那么n，m，的大小关系是（）ABCD10相邻两边不等的长方形ABCD，中心为O在点A，B，C，D，O五个点构成的三角形中，任取两个三角形，面积相等的概率为（）ABCD二、填空题（前4小题每小题4分，第15小题6分共22分）11函数中x的范围为_12设a，b，c满足b2+c2=2a2+16a+14及bc=a24a5，则a的取值范围为_13若规定：m表示大于m的最小整数，例如：3=4，2.4=2；m表示不大于m的最大整数，例如：5=5，3.6=4，则使等式2xx=4成立的整数x=_14如图，ABC的外接圆的圆心坐标为_15用你发现的规律解答下列问题（1）计算=_（2）探究=_（用含有n的式子表
4、示）（3）的值为，n=_（4）求=_（用含有n的式子表示）三解答题（第16题每小题8分，第17题、第18题8分，19题为10分，第20题14分）16（1）计算：（2）解分式方程：17如图，在ABC中，A=90，AB=4，AC=3，点M是AB上的动点（不与A，B重合），过点M作MNBC交AC于点N以MN为直径作O，并在O内作内接矩形AMPN，令AM=x（1）用含x的代数式表示MNP的面积S；（2）当x为何值时，O与直线BC相切？18关于x的方程有两个实数根（包括两个相等实数根）（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由（3
5、）若y=k（3+k）（x1+x2），k为自变量，用k表示y并求y的最大值19青白江为了在樱花节期间做好气候工作服务，某天，据某气象中心观察和预测：发生于青白江正北方的M地的一片雷雨云一直向正南方向移动，其移动速度V（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，O）作横轴的垂线L，梯形OABC在直线L左侧部分的面积即为t（h）内雷雨云所经过的路程S（km）（1）当t=4时，求S的值；（2）将S随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若青白江距M地650km，试判断这场雷雨云是否会影响到青白江城，如果会，在雷雨云发生后多长时间它将影响到青白江？如果不会，请说明理由20已知
6、抛物线y=3ax2+2bx+c，（）若a=b=1，c=1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；（）若a=b=1，且当1x1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；（）若此抛物线过点A（0，3），B（1，0），C（3，0），在此抛物线上有一点P，使它到AC的距离为，求P点坐标；（）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y10；x2=1时，对应的y20，试判断当0x1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由2012年四川省成都市大弯中学自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1下列计算正确的是（）A2a2a3=2a6B
7、（3a2）3=9a6Ca6a2=a3D（a2）3=a6考点：负整数指数幂；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法。分析：根据幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法、负整数指数幂的知识点进行判断解答：解：A、错误，应等于2a5；B、错误，应等于27a6；C、错误，应等于a4；D、正确故选D点评：本题考查的知识点比较多，特别注意负整数指数幂的运算2设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为反比例函数（k1）图象上的三点，且x10x2x3，比较y1、y2、y3的大小（）Ay1y2y3By1y2y3Cy1y3y2Dy1y2y3考点：反比例函数图象上点的坐标特征。专题：计算题。分
8、析：先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据A、B、C三点横坐标的特点判断出三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答解答：解：反比例函数中，k1，则k210，此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，x10x2x3，y10，y20、y30，x2x3，y2y3，y2y3y1故选C点评：本题比较简单，考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性3（2004黄石）如果不等式的解集x1，那么m的值是（）A3B1C1D3考点：解一元一次不等式组。分析：先根据不等式组的解集确定出2m+1=1，或m+2=1，求出符合
9、条件的m值即可解答：解：不等式 组x2m+1，xm+2的解集x1，2m+1=1，或m+2=1当2m+1=1时，m=1，此时m+2=1，则不等式组的解集为x1，不满足要求；当m+2=1时，m=3，此时2m+1=5，则不等式组的解集为x1，满足要求；故满足条件的m=3故选D点评：本题主要考查了不等式组的解集的确定方法：两大取大，两小取小，大小、小大两边取4抛物线y=（1+x）（3x）A有最大值3B有最小值3C有最大值4D有最小值4考点：二次函数的最值。专题：计算题。分析：将抛物线解析式转化为一般式，再配方，求出函数的最值解答：解：y=（1+x）（3x）=x2+2x+3=（x22x）+3=（x22x
10、+11）+3=（x22x+1）+4=（x1）2+4，抛物线有最大值4故选C点评：本题考查了二次函数的最值，根据二次项系数判断出函数有最大值还是最小值，再利用配方法是解答此类问题的基本思路5如图，A，B，C，D是直线L上顺次四点，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=6cm，BC=1cm，则AD的长等于（）A10cmB11cmC12cmD13cm考点：比较线段的长短。专题：计算题。分析：由已知条件知MB+CN=MNBC，MB+CN=（AB+CD），故AD=AB+BC+CD可求解答：解：MN=6cmMB+CN=61=5cm，AB+CD=10cmAD=11cm故选B点评：本题的关键是根据图形分清线段
11、的关系利用已知条件求出AD的长6已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（2，0）、（x1，0），且1x12，与y轴的正半轴的有交点，下列结论：b0；b24ac=0；c0；ab0其中正确结论的序号是（）ABCD考点：二次函数图象与系数的关系。分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答：解：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（2，0）、（x1，0），且1x12，与y轴的正半轴的有交点，该二次函数图象的开口向下，且对称轴x=0，a0，0，a、b同号，即b0；故本选项正
12、确；二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点（2，0）、（x1，0），且1x12，=b24ac0；故本选项错误；二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的正半轴的有交点，c0；故本选项错误；二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（2，0）、（x1，0），且1x12，1x120，即10；又由知，a0，b0，ab，即，ab0；故本选项正确；综上所述，正确的说法是；故选D点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的熟练运用7已知三角形ABC其内切圆O与边AB交于D，若ADBD=5，则ACBC=（）A10B5C5或5D5考点：三角
13、形的内切圆与内心。分析：先根据切线长定理，得出AD=AE，CE=CF，BF=BD，然后得出ACBC=ADBD，即可求出答案解答：解：三角形ABC其内切圆O与边AB交于D，AD=AE，CE=CF，BF=BD，ACBC=AEBF=ADBD=5故选D点评：此题考查了三角形的内切圆与内心，用到的知识点是切线长定理，关键是根据AD=AE，CE=CF，BF=BD得出ACBC=ADBD8（2006滨州）如图（单位：m），直角梯形ABCD以2m/s的速度沿直线l向正方形CEFG方向移动，直到AB与FE重合，直角梯形ABCD与正方形CEFG重叠部分的面积S关于移动时间t的函数图象可能是（）ABCD考点：动点问题
14、的函数图象。分析：要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论解答：解：根据几何图形可知直角梯形的面积为75，当直角梯形ABCD以2m/s的速度沿直线l向正方形CEFG方向移动，直到AB与FE重合，直角梯形ABCD与正方形CEFG重叠部分的面积S关于移动时间t的变化规律是逐渐增大，直至75平方米，然后逐渐减小到0，2段都是平滑曲线并且在直角梯形ABCD与正方形CEFG重叠时，重叠部分的面积是t的二次函数，因而是抛物线故选C点评：主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用9已知mn0且1m1n0n+m+1，那么n，m，的大小关系是（
15、）ABCD考点：实数大小比较。分析：根据条件设出符合条件的具体数值，根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值大的反而小即可解答解答：解：mn0，m，n异号，由1m1n0n+m+1，可知m0，0n1，|m|n|假设符合条件的m=4，n=0.2则=5，n+=0.2=则40.25故mn+n故选D点评：此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题的关键根据已知条件分析出n，m的符号，绝对值的大小，再设出符合条件的数值比较大小，以简化计算10相邻两边不等的长方形ABCD，中心为O在点A，B，C，D，O五个点构成的三角形中，任取两个三角形，面积相等的概率为（）ABCD考点：列表法与树状图法；正方
16、形的性质。分析：首先根据题意可求得相邻两边不等的长方形ABCD中共有8个三角形，且SAOB=SAOD=SCOD=SBOC，SABC=SBCD=SACD=SBAD，又由任取两个三角形，共有87=56种等可能的结果，面积相等的有24种情况，利用概率公式即可求得答案解答：解：如图：共有8个三角形，则任取两个三角形，共有87=56种等可能的结果；四边形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，AC=BD，OA=OB=OC=OD，SAOB=SAOD=SCOD=SBOC，SABC=SBCD=SACD=SBAD，任取两个三角形，面积相等的有：38=24（种），任取两个三角形，面积相等的概率为：=故选A点评：此
17、题考查了矩形的性质与乘法公式求概率的知识此题难度适中，解题的关键是掌握乘法公式的应用二、填空题（前4小题每小题4分，第15小题6分共22分）11函数中x的范围为x0 且x3考点：函数自变量的取值范围。专题：探究型。分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解解答：解：根据题意得：，解得：x0且x3故答案是：x0且x3点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数12设a，b，c满足b2+c2=2a2+16a+14及bc=a24a5，则a的取值范围为a1考点：完全平方公式；非负数的性质：偶次方。专题：常规题型。分析：等式两边都减
18、去2bc，整理后根据平方数非负数列出不等式求解即可解答：解：b2+c2=2a2+16a+14，bc=a24a5，b22bc+c2=2a2+16a+142（a24a5），即（bc）2=24a+24，（bc）20，24a+240，a1故答案为：a1点评：本题考查了完全平方公式，平方数非负数的性质，根据完全平方公式配方是解题的关键13若规定：m表示大于m的最小整数，例如：3=4，2.4=2；m表示不大于m的最大整数，例如：5=5，3.6=4，则使等式2xx=4成立的整数x=2考点：规律型：数字的变化类。分析：根据题意m表示大于m的最小整数，即2m=2（x+1）；m表示不大于m的最大整数，即m=（x1
19、）解答：解：根据题意，得使等式2xx=4成立的整数x应满足：2（x+1）x=4，x=2故答案为2点评：解决此题的关键是理解题意，这里注意x是整数14如图，ABC的外接圆的圆心坐标为（6，2）考点：三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质。分析：本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标解答：解：设圆心坐标为（x，y）；依题意得，A（4，6），B（2，4），C（2，0）则有=，即（4x）2+（6y）2=（2x）2+（4y）2=（2x）2+y2，化简后得x=6，y=2，因此圆心坐标为（6，2）点评：本题考查了三角形外接圆的性质和
20、两点之间的距离公式解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质15用你发现的规律解答下列问题（1）计算=（2）探究=（用含有n的式子表示）（3）的值为，n=17（4）求=（用含有n的式子表示）考点：分式的混合运算。专题：规律型。分析：根据所给的等式可得=，据此可求出（1）、（2）的值；（3）依据=（）先展开，再合并，可化简3式，求出的结果等于，进而可求n；（4）依据=（）先展开4式，再加减，最后通分相加即可解答：解：（1）原式=1+=1=；（2）原式=1+=1=；（3）原式=（1+）=（1）=，根据题意可得：=，解得n=17；（4）原式=（1+）=（1+）（+）=（1
21、+）=故答案为：；17；点评：此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式再约分同时注意最后结果应为最简分式其中找出规律=是解本题的关键三解答题（第16题每小题8分，第17题、第18题8分，19题为10分，第20题14分）16（1）计算：（2）解分式方程：考点：换元法解分式方程；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。分析：（1）利用二次根式的性质进行化简，以及负指数幂的性质和绝对值得性质进行运算即可；（2）利用换元法设，则原方程变形为y22y8=0，求出y的值
22、，进而得出x的值即可解答：解：（1）原式=，=，=1；（2）设，则原方程变形为y22y8=0，解这个方程得，y1=4，y2=2当y=4时，解得；当y=2时，解得经检验，都是原方程的根点评：此题主要考查了换元法解分式方程以及负指数、绝对值的化简、二次根式的化简等知识，根据已知熟练利用换元法求出是解题关键17如图，在ABC中，A=90，AB=4，AC=3，点M是AB上的动点（不与A，B重合），过点M作MNBC交AC于点N以MN为直径作O，并在O内作内接矩形AMPN，令AM=x（1）用含x的代数式表示MNP的面积S；（2）当x为何值时，O与直线BC相切？考点：相似三角形的判定与性质；三角形；勾股定理
23、；切线的性质。专题：综合题。分析：（1）由AMNABC得出AN，又SAMN=SMNP，求得AMN的面积即可（2）设直线BC与O相切于点D，连接AO，OD，并过点M作MQBC于Q，由（1）中AMNABC得，则求得MN、OD，再证BMQBCA，得，代入求得x的值解答：解：（1）MNBC，AMN=B，ANM=CAMNABC，即AN=xS=SMNP=SAMN=xx=x2（0x4）（2）如图，设直线BC与O相切于点D，连接AO，ODAO=OD=MN在RtABC中，BC=5由（1）知AMNABC，即MN=OD=过点M作MQBC于Q，则MQ=OD=在RtBMQ与RtBAC中，B是公共角，BMQBCA，即=解
24、得BM=xAB=BM+AM=x+x=4解得x=，即当x=时，O与BC相切点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及切线的性质，综合性较强，难度较大18关于x的方程有两个实数根（包括两个相等实数根）（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由（3）若y=k（3+k）（x1+x2），k为自变量，用k表示y并求y的最大值考点：根的判别式；根与系数的关系；二次函数的最值。分析：（1）根据有两个实数根得到其根的判别式大于等于零，同时还应注意二次项系数；（2）假设存在，利用两实数根的倒数和为0求得k值即可；（3）利用求二次函数最值的方法
25、即可求得y的最大值；解答：解：（1）由题意可知，k0且=（k+1）24k0k且k0（2）不存在设方程的两根是x1，x2x1x2=0，+=0x1+x2=0.，k+1=0k=1满足条件的实数k不存在（3）y=（k+1）（k+3）=k24k3=（k+2）2+1，对称轴为k=2，k且k0k=时有最大值y=（+2）2+1=点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式及二次函数的最值的知识，知识点较多，难度适中19青白江为了在樱花节期间做好气候工作服务，某天，据某气象中心观察和预测：发生于青白江正北方的M地的一片雷雨云一直向正南方向移动，其移动速度V（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，
26、过线段OC上一点T（t，O）作横轴的垂线L，梯形OABC在直线L左侧部分的面积即为t（h）内雷雨云所经过的路程S（km）（1）当t=4时，求S的值；（2）将S随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若青白江距M地650km，试判断这场雷雨云是否会影响到青白江城，如果会，在雷雨云发生后多长时间它将影响到青白江？如果不会，请说明理由考点：二次函数的应用。专题：行程问题；图表型。分析：（1）设直线l交v与t的函数图象于D点由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12）进而得出即可；（2）分类讨论：当0t10时；当10t20时；当20t35时；
27、（3）根据t的值对应求S，然后根据青白江距M地650km分别解答解答：解：设直线l交v与t的函数图象于D点，（1）由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），OT=4，TD=12，S=412=24（km）；（2）当0t10时，此时OT=t，TD=3t（如图1），S=t3t=t2，当10t20时，此时OT=t，AD=ET=t10，TD=30（如图2），S=SAOE+S矩形ADTE=1030+30（t10）=30t150，当20t35时，B，C的坐标分别为（20，30），（35，0），直线BC的解析式为v=2t+70，D点坐标为（t，2t
28、+70），TC=35t，TD=2t+70（如图3），S=S梯形OABCSDCT=（10+35）30（35t）（2t+70）=（35t）2+675；（3）S1=t10）最大值为150650，S2=30t150=650，t=20不可能，当t=35时，S=（3535）2+675=675（km），而450650675，所以青白江城会受到影响，且影响时间t应在20h至35h之间，由（35t）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）所以在雷雨云发生后30h它将侵袭到青白江城点评：本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的运用，比较复杂，解答此题的关键是根据图形反映的数据进行分段计算，
29、难度适中20已知抛物线y=3ax2+2bx+c，（）若a=b=1，c=1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；（）若a=b=1，且当1x1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；（）若此抛物线过点A（0，3），B（1，0），C（3，0），在此抛物线上有一点P，使它到AC的距离为，求P点坐标；（）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y10；x2=1时，对应的y20，试判断当0x1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由考点：二次函数综合题。分析：（）把a，b，c的值代入可得抛物线的解析式，求出两根即可；（）把a，b代入解析式可得=412c0，等于0时可直接求得
30、c的值；求出y的相应的值后可得c的取值范围；（）把点A（0，3），B（1，0），C（3，0）的坐标分别代入已知抛物线y=3ax2+2bx+c，求出a，b，c的值，进而得到抛物线的解析式，设与BC：y=x+3平行的直线l为y=x+b，可求得l到BC距离为的直线为y=x+21或者为y=x15，进而求出点P的坐标； （）抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴公共点的个数就是一元二次方程3ax2+2bx+c=0的实数根的个数，因此，本题的解答就是研究在不同的条件下一元二次方程3ax2+2bx+c=0根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论解答：解：（）当a=b=1，c=1时，抛物线为y=3x2+
31、2x1，方程3x2+2x1=0的两个根为x1=1，x2=，该抛物线与x轴公共点的坐标是（1，0）和（，0）；（）当a=b=1时，抛物线为y=3x2+2x+c，且与x轴有公共点对于方程3x2+2x+c=0，判别式=412c0，有c，当c=时，由方程3x2+2x+=0，解得此时抛物线为y=3x2+2x+=0与x轴只有一个公共点（，0），当c时，x1=1时，y1=32+c=1+c，x2=1时，y2=3+2+c=5+c由已知1x1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有，即解得5c1综上，c=或5c1 （）把点A（0，3），B（1，0），C（3，0）的坐标分别代入已知抛物线y=3ax
32、2+2bx+c得：，解得：，二次函数的解析式为y=x24x+3，设与BC：y=x+3平行的直线l为y=x+b，可求得l到BC距离为的直线为y=x+21或者为y=x15，所以可求得点P坐标为：（3，24）及（6，15）；（）对于二次函数y=3ax2+2bx+c，由已知x1=0时，y1=c0；x2=1时，y2=3a+2b+c0，又a+b+c=0，3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b于是2a+b0而b=ac，2aac0，即ac0ac0 关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式=4b212ac=4（a+c）212ac=4（ac）2+ac0，抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方又该抛物线的对称轴，由a+b+c=0，c0，2a+b0，得2aba，又由已知x1=0时，y10；x2=1时，y20，观察图象，可知在0x1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点点评：本题考查了二次函数与x轴的交点的纵坐标为0；抛物线与x轴交点的个数就是一元二次方程根的个数的问题，以及二次函数图象与一次函数函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征来解决问题
