1、习 题 三（A）三、解答题 1. 设口袋中有3个球，它们上面依次标有数字1，1，2，现从口袋中无放回地连续摸出两个球，以X，Y分别表示第一次与第二次摸出的球上标有的数字，求(X，Y)的分布律 解：(X，Y)取到的所有可能值为(1，1)，(1，2)，(2，1)由乘法公式： PX=1，Y=1=PX=1PY=1|X=1=2/31/2=/3， PX=1，Y=2= PX=1PY=2|X=1=2/31/2=1/3， PX=2，Y=1= PX=2PY=1|X=2=1/32/2=1/3. (X，Y)的分布律用表格表示如下： YX1211/31/321/30 2设盒中装有8支圆珠笔芯，其中3支是蓝的，3支是绿的
2、，2支是红的，现从中随机抽取2支，以X，Y分别表示抽取的蓝色与红色笔芯数，试求： (1) X和Y的联合分布律； (2) PX，Y A，其中A = (x，y)| x + y 1解：X，Y所有可能取到的值是0， 1， 2(1) PX=i， Y=j=PX=iPY=j|X=i=， i， j=0，1，2， i+j2或者用表格表示如下： YX01203/286/281/2819/286/28023/2800(2)P(X，Y)A=PX+Y1=PX=0， Y=0+PX=1，Y=0+PX=0，Y=1=3/28+9/28+6/28=9/14. 3设事件满足记X，Y分别为一次试验中A，B发生的次数，即，求：二维随机
3、变量(X，Y)的分布律 解：因为P(A)=1/4，由P(B|A)=得P(AB)=1/8， 由P(A|B)=得P(B)=1/4. (X，Y)取到的所有可能数对为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)，则 PX=0，Y=0=1-P(A)-P(B)+P(AB)=5/8, PX=0，Y=1=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8, PX=1，Y=0=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8, PX=1，Y=1=P(AB)=1/8. 4设二维随机变量(X，Y)的概率密度为试求： (1) 常数A (2) PX = Y (3) PX Y (4) (X，Y)的分布函数 解：(1)由归一性知：1=
4、-+-+fx,ydxdy=0101Axydxdy=A4， 故A=4 (2) PX=Y=0, (3) PXY=01x14xydydx=12. (4)F(x，y)= -x-yf(u,v)dudv=0,x0或y0 40x0yuvdudv,0x1,0y140y01uvdudv,x1,0y11,x1,y1即F(x，y)=0，x0或y0x2y2,0x1,0y1y2,x1,0y11,x1,y1 5设二维随机变量的联合概率密度为求PX + Y 1 解：PX+Y1= 6将一枚硬币掷3次，以X表示前2次中出现正面的次数，以Y表示3次中出现正面的次数，求X，Y的联合分布律及(X，Y)的边缘分布律 解：X的所有可能取
5、值为0，1，2，Y的所有可能取值为0，1，2，3. PX=0，Y=0=0.53=0.125; PX=0，Y=1=0.53=0.125 PX=1，Y=1=， PX=1，Y=2= PX=2，Y=2=0.53=0.125， PX=2，Y=3=0.53=0.125X，Y 的分布律及边缘分布律可用表格表示如下： YX0123Pi.00.1250.125000.25100.250.2500.52000.1250.1250.25P.j0.1250.3750.3750.1251 解法2： 7设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求边缘概率密度fX(x)，fY(y) 解： 8设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求
6、： (1) 确定常数c (2) 边缘概率密度fX(x)，fY(y) 解： (1)所以 c=21/4 (2) 9设平面区域D由曲线及直线y = 0，x = 1，x = e2围成，二维随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，求边缘概率密度fX(x)，fY(y) 解： (X，Y)在区域D上服从均匀分布，故f(x，y)的概率密度为 10设二维随机变量(X，Y)的概率密度为试求条件概率密度f(y | x) 解： 当00时，所以， 12已知随机变量的概率密度为在给定Y = y条件下，随机变量X的条件概率密度为求概率PX 0.5 解：由得 13设二维随机变量(X，Y)的分布律为 YX-10100.050.
7、150.210.070.110.2220.040.070.09试分别求和的分布律 解：Z=max(X，Y)，W=min(X，Y)的所有可能取值如下表pi0.050.150.20.070.110.220.040.070.09(X，Y)(0，-1)(0，0)(0，1)(1，-1)(1，0)(1，1)(2，-1)(2，0)(2，1)max(X，Y)001111222Min(X，Y)-100-101-101Z=max(X，Y)，W=min(X，Y)的分布律为Z012Pk0.20.60.2 W -101Pj 0.160.530.31 14设X和Y是相互独立的随机变量，且，如果定义随机变量Z如下：求Z的分
8、布律 解： 由独立性得X，Y的联合概率密度为则PZ=1=PXY=PZ=0=1-PZ=1=0.5故Z的分布律为Z01Pk0.50.5 15设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求边缘概率密度fX(x)，fY(y)；并问X与Y是否独立？解：同理，显然，所以X与Y不相互独立 16设随机变量X和Y相互独立，试在以下情况下求的概率密度， (1) ； (2) 解：(1) 利用卷积公式：求fZ(z)= (2) 利用卷积公式： 17设，且X与Y独立，求 解：由定理3.1（P75）知，X+YN(1，2)，故 18设随机变量(X，Y)的概率密度为 (1) 问X和Y是否相互独立？ (2) 求的概率密度 解：(1) (
9、x0)同理， y0显然，所以X与Y不相互独立 (2).利用公式被积函数所以 19. 设某系统L由两个相互独立的系统L1，L2联合而成，各连接方式如图所示已知L1，L2的使用寿命X与Y分别服从参数为a，b 的指数分布，求以下各系统L使用寿命Z的分布函数及概率密度L2L1L2L1解：并联时，系统L的使用寿命Z=maxX，Y因XExp(a)，YExp(b)，故， ， 串联时，系统L的使用寿命Z=minX，Y（B） 1设二维随机变量(X，Y)的分布律为 YX0100.4a1b0.1已知随机事件X = 0与X + Y = 1相互独立，求a，b的值 解：PX=0=a+0.4，PX+Y=1=PX=1，Y=0
10、+PX=0，Y=1=a+b.PX=0，X+Y=1=PX=0，Y=1=a由于X=0与X+Y=1相互独立，所以PX=0， X+Y=1=PX=0 PX+Y=1即 a=(a+0.4)(a+b) (1)再由归一性知： 0.4+a+b+0.1=1 (2)解(1)，(2)得 a=0.4， b=0.1 2设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 (1) 求PX 2Y (2) 求Z = X + Y的概率密度fZ(z) 解: (1) (2) 利用公式计算 3设随机变量X的概率密度为令，为二维随机变量(X，Y)的分布函数，求 (1) Y的概率密度； (2) 解：(1) FY(y)=PYy=PX2y当y0时，fY(y)=
11、0当y0时，从而，(2) F(-1/2，4)=PX-1/2，Y4= PX-1/2，X24=P-2X-1/2= 4设(X，Y)为二维离散型随机变量，和的边缘分布律分别如下：X-101pi1/41/21/4Y01pi1/21/2如果，试求 (1) (X，Y)的分布律； (2) 问X与Y是否独立解：PXY0=1-PXY=0=0即 PX=-1，Y=1+PX=1，Y=1=0由概率的非负性知，PX=-1，Y=1=0，PX=1，Y=1=0由边缘分布律的定义，PX=-1= PX=-1，Y=0+ PX=-1，Y=1=1/4得PX=-1，Y=0=1/4再由PX=1= PX=1，Y=0+ PX=1，Y=1=1/4得
12、PX=1，Y=0=1/4再由PY=1=PX=-1，Y=1+ PX=0，Y=1+ PX =1，Y=1= PX=0，Y=1知PX=0，Y=1=1/2最后由归一性得：PX=0，Y=0=0(X，Y)的分布律用表格表示如下： YX01PX=i-11/401/4001/21/211/401/4PY=j1/21/21(2) 显然，X和Y不相互独立，因为PX=-1，Y=0 PX=-1PY=0 5设随机变量X与Y相互独立，且，求Z = X + Y的概率密度（计算结果用标准正态分布分布函数表示）解：X与Y相互独立，利用卷积公式计算 6设二维随机变量(X，Y)在矩形上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率
13、密度 解：(X，Y)(G)设F(x)和f(s)分别表示S=XY的分布函数和密度函数F(s)=PXYss0时，FS (s)=0s0时，,所以，于是，S=Y概率密度为 7设随机变量X与Y相互独立，其中X的分布律为X12pi0.30.7而Y的概率密度为f(y)，求随机变量的概率密度 解：由全概率公式：FU(u)=PUu=X+Yu=PX=1PX+Yu|X=1+ PX=2PX+Yu|X=2= PX=1P1+Yu+ PX=2P2+Yu=0.3FY(u-1)+0.7FY(u-2)所以，fU(u) =0.3fY(u-1)+0.7fY(u-2) 8设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求：(1) (X，Y)的边缘
14、概率密度fX(x)，fY(y)； (2) 的概率密度；解：(1) (2) 如图所示，当z0时，FZ(z)=0; 当z2时，FZ(z)=1 当0z2时:综上所述，所以Z的概率密度为： 9设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，在X = x（0 x 1 解：(1) (2) (3) 10. 设随机变量X与Y相互独立，X的分布律为，（i = 1，0，1），Y的概率密度为，记，求： (1) 求 (2) 求Z的概率密度 解：(1) PZ1/2|X=0=PX+Y1/2|X=0=PY1/2=1/2 (2) 由全概率公式：FZ(z)=PZz=PX+Yz=PX=1PX+Yz|X=1+PX=0PX+Yz|X=0=PX=-1PX+Yz|X=-1= PX=1P1+Yz+PX=0PYz=PX=-1P-1+Yz=1/3FY(z-1)+ FY(z)+ FY(z+1)从而，fZ(z) =1/3fY(z-1)+ fY(z)+ fY(z+1)= 11设X与Y的联合概率密度为试求的概率密度解：如图，当z0时，FZ(z)=0; 当z1时，FZ(z)=1 当0z1时:综上得：12Z的概率密度为 12设X与Y独立同分布，且都服从标准正态分布N(0，1)，试求的分布解：当z0时，FZ(z)=0;当z0时，所以，Z的概率密度为
