1、第七章 习题解答1设（X，d）为一度量空间，令 问的闭包是否等于？ 解 不一定。例如离散空间（X，d）。=，而=X。 因此当X多于两点时，的闭包不等于。2. 设 是区间上无限次可微函数的全体，定义 证明按成度量空间。证明 （1）若=0，则=0，即f=g（2） =d（f，g）+d（g，h）因此按成度量空间。3 设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集包含B，而且。证明 令是开集：设，则存在，使。设则易验证，这就证明了是 开集 显然。若则对每一个n，有使，因此。因B是闭集，必有，所以。4. 设d（x，y）为空间X上的距离，证明是X上的距离。证明 （1）若则，必有x=y （2）因而在上是单增函数，
2、于是=。5. 证明点列按习题2中距离收敛与的充要条件为的各阶导数在a，b上一致收敛于f的各阶导数。证明 若按习题2中距离收敛与，即 0 因此对每个r，0 ，这样0 ，即在 a，b 上一致收敛于。 反之，若的（t）各阶导数在a，b上一致收敛于f（t），则任意，存在，使；存在，使当时，max ，取N=max ，当nN时，即0 。6. 设，证明度量空间中的集f|当tB时f（t）=0为中的闭集，而集A=f|当tB时，|f（t）|a（a0）为开集的充要条件是B为闭集。证明 记E=f|当tB时f（t）=0。设，按中度量收敛于f，即在a，b上一致收敛于f（t）。设，则，所以f E，这就证明了E为闭集 充分性
3、。当B是闭集时，设f A。因f在B上连续而B是有界闭集，必有，使。设 。我们证明必有。设，则若，必有，于是，所以，这样就证明了A是开集 必要性。设A是开集，要证明B是闭集，只要证明对任意若，必有。倘若，则定义。于是对任意，因此由于A是开集，必有，当Ca，b且时，。定义，n=1，2。则因此当时，。但是，此与的必要条件：对 任意，有矛盾 因此必有。7. 设E及F是度量空间中的两个集，如果，证明必有不相交开集O及G分别包含E及F。证明 设。令 则且，事实上，若，则有，所以存在E中的点x使，F中点y使，于是，此与矛盾。8. 设 Ba，b表示a，b上实有界函数全体，对Ba，b中任意两元素f，g Ba，b
4、，规定距离为。证明Ba，b不是可分空间。证明 对任意a，b，定义则Ba，b，且若， 。 倘若Ba，b是不可分的，则有可数稠密子集，对任意a，b，必有某，即。由于a，b上的点的全体是不可数集。这样必有某，使，于是此与矛盾，因此Ba，b不是可分空间。9. 设X是可分距离空间，为X的一个开覆盖，即是一族开集，使得对每个，有中的开集O，使得，证明必可从中选出可数个集组成X的一个开覆盖。证明 若，必有，使，因是开集，必有某自然数n，使。设是X的可数稠密子集，于是在中必有某，且。事实上，若，则所以。这样我们就证明了对任意，存在k，n使且存在 任取覆盖的O，记为是X的可数覆盖。10. X为距离空间，A为X中
5、子集，令证明是X上连续函数。证明 若对任意，存在，使。取。则当时，因此。由于x与对称性，还可得。于是。这就证明了是X上连续函数。11. 设 X为距离空间，是X中不相交的闭集，证明存在开集使得。证明 若，则由于，为闭集，必有，使，令，类似，其中，显然是开集，且。 倘若，则必有，使。设。不妨设，则因此，此与矛盾。这就证明 了。12 . 设 X，Y，Z为三个度量空间，f是X到Y中的连续映射，g是Y到Z中的连续映射，证明复合映射是X到Z中的连续映射。证明 设 G是Z中开集，因g是Y到Z中的连续映射，所以是Y中开集。又f是X到Y中的连续映射，故是X中 的开集。这样是X中 的开集，这就证明了g。f是X到Z
6、的连续映射。13. X是度量空间，证明f是连续映射的充要条件是对每个实数c，集合和集合都是闭集。证明 设 f是X上连续的实函数，又对每一实数c，G=（c，）是开集，于是 是开集。这样= 是闭集。同理是闭集。 反之，若对每个实数c，和都是闭集，则和都是开集。设G是直线上的开集，则或，其中是G的构成区间。不妨设于是是开集。因此f是连续的实函数。14. 证明柯西点列是有界点列。证明 设 是X中的柯西点列。对10，存在N，使当n，m时，令则对任意有。因此 是有界点列。15. 证明第一节中空间S，B（A），以及离散的度量空间都是完备的度量空间。证明 （1）S是完备的度量空间设 是S中的柯西点列，对每一个
7、固定的i，由于，因此对任意存在，当时，对此，存在n，m时，因此，从而。这样对固定的i，是柯西点列。设。令，故有，且对任意给定，存在，使。存在使时，。于是当时， +所以按S的距离收敛于x（2）B（A）是完备的度量空间设是B（A）中的柯西点列，任意，存在N，使当n，m时。这样对任意，。因此对固定的t， 是柯西点列。设，由于n，m时，令，得，这样，于是故x （A），且nN时，。这就证明了按B（A）中距离收敛于x。（3）离散的度量空间（X，d）是完备的度量空间设是X中柯西点列，则对0,存在N，当n，m是。特别对一切nN, ,于是nN是。因此，即（X，d）是完备的度量空间。 16. 证明 与C（0，1的
8、一个子空间等距同构。 证明 若 ，定义， 若，则因此T到到（0，1的子空间的一个同构映射，即到（0，1的一个子空间等距同构。17. 设F是n维欧几里得空间的有界闭集，A是F到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何，有。 证明映射A在F中存在唯一的不动点。证明 定义F上的函数f（x）=d（Ax，x）。由于因此f是F上的连续映射，因F是有界闭集，必有，使。我们先证明，若，则。记，则，于是此与是f的最小值矛盾。故即=若是A的另一个不动点，则，矛盾。18. 设X为完备度量空间，A是X到X中的映射，记 若，则映射A有唯一不动点。证明 因，则必有N，使。这样对任意x, X,若x,则 这样由压缩映射原理有不
9、动点，即=。由于=A=A, A也是的不动点。的不动点是唯一的，因此= A，即是A的不动点。 若x是A的任意一个不动点，即A x= x。于是x=x= A x= x。这样x也是的不动点，由于的不动点是唯一的，因此= x。即A的不动点也是唯一的。19. 设A为从完备度量空间X到X中映射，若在开球内适合 又A在闭球上连续，并且证明：A在中有不动点。证明 设=，。则 任给0，存在N，使，这样若且，有 因此是柯西列。设，因 因此。这样。因为A在上连续。，即是A在中的不动点。A的不动点不一定是唯一的。例如X是离散的度量空间。A是X中的恒等映射。在开球内只有一点，自然满足条件。而，也满足。但X中每一点皆为A的
10、不动点。20. 设 为一组实数，适合条件，其中当j=k时为1 ，否则为0。证明：代数方程组 对任意一组固定的，必有唯一的解，。 证明 记定义到内的映射T：TX= -AX+X+b。设X 则 由于1,于是T有唯一不动点，即，因此有唯一解。21. 设表示上右连续的有界变差函数全体，其线性运算为通常函数空间中的运算。在中定义范数=,证明是Banach空间。证明 显然是线性空间。下证是赋范线性空间。1 若，显然0。若=0，则=0，即=0，且=0。由=0可知在上为常值函数，于是2 若， 3 若，其中的理由如下：对任意分划 因此再证是完备的。设为中柯西列，对任意，存在，当时，。于是，。而对任意，从而这就证明
11、了是上一致收敛的函数列。设一致收敛于。由于是上右连续的函数，于是对任意，因为在上一致收敛于。因此即亦在上右连续。对任意，存在，当时，= 对上的任一分划，有令， （*） 因此，从而由（*）式及分点的任意性知，从而 即按中范数收敛于。这样我们就证明了是完备的赋范线性空间，即空间。22设是一列空间， 是一列元素，其中，并且这种元素列的全体记成，类似通常数列的加法和数乘，在X中引入线性运算。若令 证明：当时，X是空间。证明 X显然是线性空间。 先证X是赋范线性空间。1 若显然。若，则即对任意，。于是，从而。2 若， 3 若，则再证X是完备的。设是X中柯西列，其中 对任意存在，使当时，即于是对每一个固定
12、的是中的柯西列。设令，由于，因此对任意，令得 再令得 因此从而，且由知按X的范数收敛于。由以上证明可知X是空间。证毕。23设X是赋范线性空间，X*X为两个X的笛卡儿乘积空间，对每个定义 则X*X成为赋范线性空间。证明X*X到X的映射是连续映射。 证明 设则 于是所以，这就证明了是连续映射。24 设是实（复）数域，为赋范线性空间，对每个，定义证明：为到中的连续映射。证明 设同第23题一样可证 由于收敛，必有，使则因此映射是连续的。25. 为一切收敛数列所成的空间，其中的线性运算与通常序列空间相同。在中令证明：是可分的空间。证明 由第七章4例1知是空间。由定义易知是中的线性子空间，且范数定义是一致的。因此要证是空间，由4定理1，只要证是中的闭子空间即可。设 对于任意存在使时，有。特别地即由于因此存在对任意于是于是是柯西列，即下面证明是可分的。 设 则且是可数的。若对任意设对于任给的存在使当时，必有。取有理数使取有理数使 令则且 故是的可数稠密子集。这就证明了是可分的空间。证毕。
