1、 高二数学理科月考测试题 一、选择题 1“ 1x ”是“ 2 3 2 0xx ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2若 pq 是假命题，则（ ） A.p 是真命题， q 是假命题 B.p 、 q 均为假命题 C.p 、 q 至少有一个是假命题 D.p 、 q 至少有一个是真命题 3 1F , 2F 是距离为 6 的两定点，动点 M 满足 1MF + 2MF =6,则 M 点的轨迹是 （ ） A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 4 双曲线 22116 9xy的渐近线方程为（ ） A. xy 916 B. xy 169 C. xy 43 D
2、. xy 34 5中心在原点的双曲线，一个焦点为 (0 3)F ， ，一个焦点到最近顶点的距离 是 31 ，则双曲线的方程是（ ） A 22 12xy B 22 12yx C 22 12yx D 22 12xy 6已知正方形 ABCD 的顶点 ,AB为椭圆的焦点，顶点 ,CD在椭圆上，则此椭圆的离心率为 ( ) A 21 B 22 C 21 D 22 7椭圆 14222 ayx 与双曲线 1222 yax 有相同的焦点，则 a 的值为（ ） A 1 B 2 C 2 D 3 8与双曲线 14 22 xy 有共同的渐近线，且过点（ 2， 2）的双曲线标准方程为（ ） （ A） 1123 22 xy
3、 （ B） 1123 22 yx （ C） 182 22 xy （ D） 182 22 yx 9已知 A（ 1， 2， 6）， B（ 1， 2， 6） O 为坐标原点，则向量 ,OA OB与 的夹角是（ ） A 0 B 2 C D 32 10与向量 (1, 3,2)a 平行的一个向量的坐标是 （ ） A（ 31 ， 1， 1） B（ 1， 3， 2） C（ 21 ， 23 ， 1） D（ 2 ， 3， 2 2 ） 11 命题 0p x x R： ， 的否定是 （ ） A 0p x x R： ， B 0p x x R： ， C 0p x x R： ， D 0p x x R： ， 12 如图， 在
4、三棱锥 A BCD 中， DA ， DB ， DC 两两 垂直，且 DB DC ， E 为 BC 中点，则 AEBC 等 于( ) A 3 B 2 C 1 D 0 二、填空题 13已知点 ( 2,0), (3,0)AB ，动点 ( , )Pxy 满足 2AP BP x，则动点 P 的轨迹方程是 14已知椭圆 xykkkyx 12)0(3 222 的一个焦点与抛物线的焦点重合，则 该椭圆的离心率是 15已知方程 123 22 kykx 表示椭圆，则 k 的取值范围为 _ 16、已知椭圆 12222 byax 的左、右焦点分别为 21,FF ，点 P 为椭圆上一点，且 3021 FPF ， 601
5、2 FPF ，则椭圆的离心率 e 等于 三、解答题 17求渐近线方程为 xy 43 ，且过点 )3,32( A 的双曲线的标准方程及离心率。 18 设直线 y x b 与椭圆 2 2 12x y相交于 AB, 两个不同的点 . （ 1）求实数 b 的取值范围； （ 2）当 1b 时，求 AB 19 如图 ，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2 ， E 为棱 1CC 的中点 . （ 1）求 1AD 与 DB 所成角的大小； （ 2）求 AE 与平面 ABCD 所成角的正弦值 . A E D C B A B C A1 B1 C1 D1 D E 20已知抛物线的顶点在原点，对
6、称轴是 x 轴，抛物线上的点 M（ 3， m）到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值 21已知椭圆 )0(1:2222 babyaxC 的焦距为 62 ，椭圆 C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为 6（）求椭圆 C 的方程； （）设直线 l 2: kxy 与椭圆 C 交于 BA, 两点，点 P （ 0， 1），且 PA =PB ，求直线 l 的方程 22 如图，在四 棱锥 P ABCD 中， PD 底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， PD DC ， ,EF分别是 ,ABPB 的中点 (1)求证： EF CD ； (2)在平面 PAD 内求一点 G ，使 GF 平面 PC
7、B ，并证明你的结论； (3)求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值 A E B P C D F 答案第 1 页，总 4 页 参考答案 1 B 【解析】试题分析： 2 3 2 0 ( 1 ) ( 2 ) 0x x x x ，则 1x 且 2x ；反之， 1x 且 2x 时， 2 3 2 0xx ，故选B.考点：充要条件的判断 . 2 C 【解析】试题分 析：当 p 、 q 都是真命题 pq是真命题，其逆否命题为： pq 是假命题 p 、 q 至少有一个是假命题，可得 C 正确 . 考点： 命题真假的判断 . 3 C 【解析】解题分析：因为 1F , 2F 是距离为 6，动点 M 满足 1MF
8、 + 2MF =6,所以 M 点的轨迹是线段 12FF 。故选 C。 考点：主要考查椭圆的定义。点评：学习中应熟读定义，关注细节。 4 C 【解析】因为 双曲线 22116 9xy， a=4,b=3,c=5,则其渐近 线方程为 xy 43,选 C.5 A 【解析】试题分析：由焦点为 (0 3)F ， ，所以，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c3，焦点到最近顶点的距离是 31 ，所以，a3（ 31 ） 1，所以，22b c a2，所以，双曲线方程为： 22 12xy .本题容易错选 B，没看清楚焦点的位置，注意区分 . 考点：双曲线的标准方程及其性质 . 6 A 【解析】 试题分析：设正方形 AB
9、CD 的边长为 1，则根据题意知， 12 1, ,2cc 2 1 2,a 122a ，所以椭圆的离心率为112 2 1 .2 1 2 12 考点：本小题主要考查椭圆中基本量的运算和椭圆中离心率的求法，考查学生的运算求解能力 . 点评：求椭圆的离心率关键是求出 ca ，而不必分别求出 ,.ac 7 A 【解析】试题分析：因为椭圆 14222 ayx 与双曲线 1222 yax 有相同的焦点，所以 0a ，且椭圆的焦点应该在 x 轴上，所以24 2 , 2 , 1 .a a a a 或因为 0a ，所以 1.a 考点：本小题主要考查椭圆与双曲线的标准方程及其应用 . 点评：椭圆中 2 2 2c a
10、 b，而在双曲线中 2 2 2.c a b 8 B 【解析】试题分析：设所求的双曲线方程为 2 24y x ，因为过点（ 2,2），代入可 得 3 ，所以所求双曲线方程为 1123 22 yx .考点：本小题主要考查双曲线标准方程的求解，考查学生的运算求解能力 .点评：与双曲线 14 22 xy 有共同的渐近线的方程设为 2 24y x 是简化运算的关键 . 答案第 2 页，总 4 页 9 C 【解析】试题分析： 应用向量的夹角公式|cos ba ba = 1所以量 ,OA OB与 的夹角是 ，故选 C。考点：本题主要考查向量的数量积及向量的坐标运算 . 点评：较好地考查考生综合应用知识解题的
11、能力以及运算能力，属于基本题型 。 10 C； 【解析】 试题分析：向量的共线（平行）问题，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式即 babab /,0 也可直接运用坐标运算。经计算选 C。 11C 12D 13 2 6yx 14 32e 【解析】试题分析：抛物线的焦点为 (3,0)F ,椭圆的 方程为： 22133xyk 3 3 9 4kk ,所以离心率 33223e .考点： 1、椭圆与抛物线的焦点； 2、圆的离心率 . 15 11( 3, ) ( , 2)22 【解析】试题分析：方程 123 22 kykx 表示椭圆，需要满足 302032kkkk ，解得 k 的取值范围为11( 3, )
12、 ( , 2)22 .考点：本小题主要考查椭圆的标准方程，考查学生的推理能力 . 点评：解决本小题时，不要忘记32kk ，否则就表示圆了 . 16 31 17双曲线方程为 2219 44yx，离心率为 53 【解析】 试题分析：设所求双曲线方程为 )0(916 22 yx ， 4 分 带入 )3,32( A ， 41991612 ， 8 分 所求双曲线方程为 2219 44yx， 10 分 又 4,49 22 ba 4252 c ， 离心率 35ace . 12 分 18 解：（ 1）将 y x b 代入 2 2 12x y，消去 y ，整理得 223 4 2 2 0x b x b 因为直线
13、y x b 与椭圆 2 2 12x y相交于 AB, 两个不同的点， 所以 2 2 21 6 1 2 ( 2 2 ) 2 4 8 0b b b ， 解得 33b 所以 b 的取值范围为 ( 3, 3) 答案第 3 页，总 4 页 （ 2）设 11()Ax y， ， 22()B x y， ， 当 1b 时，方程为 23 4 0xx 解得1240, 3xx 相应地1211, 3yy 所以 221 2 1 2 4( ) ( ) 23A B x x y y 19 解： (1) 如图建立空间直角坐标系 D xyz ， 则 (00 0)D ， ， ， (2 0 0)A ， ， ， (2 2 0)B ， ，
14、 ， 1(0 0 2)D ， ， . 则 (2,2,0)DB , 1 (2,0, 2)DA 故 . 11141c o s , 22 2 2 2D B D AD B D AD B D A 所以 1AD 与 DB 所成角的大小为 60 (2) 易得 (021)E ， ， ,所以 ( 2 ,2 ,1)AE 又 1 (0,0,2)DD 是平面 ABCD 的一个法向量，且 11121c o s , 3 2 3A E D DA E D DA E D D 所以 AE 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 13 20 62的值为m 【解析】试 题分析：设抛物线方程为 )0(22 ppyx ，则焦点 F（ 0,2
15、p ），由题意可得 5)23(6222pmpm ，解之得 4 62pm 或 4 62pm， 故所求的抛物线方程为 yx 82 ， 62的值为m 21（） 139 22 yx （） 02 yx 或 02 yx 【解析】 试题分析：（）由已知 62 a ， 622 c ,解得 3a ， 6c , 所以 3222 cab ，所以椭圆 C 的方程为 139 22 yx 。 4 分 （）由,2,139 22kxyyx 得 0312)31(22 kxxk ， 直线与椭圆有两个不同的交点，所以 0)31(121 4 4 22 kk 解得 912k 。 设 A（ 1x ， 1y ）， B（ 2x ， 2y ）
16、 则221 31 12 kkxx ，221 31 3kxx ， 7 分 计算222121 31 4431 124)( kk kkxxkyy ， z y x A B C A1 B1 C1 D1 D E 答案第 4 页，总 4 页 所以， A， B 中点坐标 E（2316kk，231 2k） , 因为 PA =PB ，所以 PE AB， 1 ABPE kk , 所以 1316131 222 kkkk , 解得 1k , 经检验，符合题意，所以直线 l 的方程为 02 yx 或 02 yx 。 12 分 22 （ 1） 详见解析； （ 2） 详见解析； (3) 36 【解析】 试题分析：在空间中直线
17、、平面的平行和垂直关系的判定，求空间中的角，可以用相关定义和定理解决，如 (1)中，易证 EF AP ，AP CD ，所以， EF CD ，但有些位置关系很难转化，特别求空间中的角，很难找到直线在平面内的射影，很难作出二面角，这时空间向量便可大显身手，如果图形便于建立空间直角坐标系，则更为方便，本题就是建立空间直角坐标系，写出各点坐标（ 1）计算 0EF DC即可； (2)设 ( ,0, )Gx z ，再由 0FG CB， 0FG CP解出 ,xz，即可找出点 G ； (3)用待定系数法求出件可求出平面 DEF 的法向量，再求出平面 DEF 的法向量与向量平面 DB 的夹角的余弦，从而得到结果
18、 . 试题解析：以 ,DA DC DP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 (如图 )，设 DA a ， 则 (0,0,0)D ， ( ,0,0)Aa ，( , ,0)Baa ， (0, ,0)Ca， ( , ,0)2aEa ， ( , , )222aaaF ， (0,0, )Pa (1) 因为 ( , 0 , ) (0 , , 0 ) 022aaE F D C a ，所以 EF CD . 4 分 (2)设 ( ,0, )Gx z ，则 G 平面 PAD ， ( , , )2 2 2a a aF G x z ， ( , , ) ( , 0 , 0 ) ( ) 02 2 2
19、 2a a a aF G C B x z a a x ，所以 2ax ， ( , , ) (0 , , ) 02 2 2a a aF G C P x z a a a z ，所以 0z G 点坐标为 ( ,0,0)2a ，即 G 点为 AD 的中点 8 分 (3)设平面 DEF 的法向量为 ( , , )x y zn 由 00DFDE nn得，( , , ) ( , , ) 0222( , , ) ( , , 0 ) 02aaax y zax y z a 即( ) 0202a x y zaax y ， 取 1x ，则 2y ， 1z ，得 (1, 2,1)n 3c o s , 6| | 26B D aBD BD a nn n|， 所以， DB 与平面 DEF 所成角的正弦值的大小为 36 13 分 考点：空间向量与立体几何 .
