1、13.4课题学习最短路径问题张龙乡第一初级中学王玉最短路径问题 教学内容解析:本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题,最短路径问题在现实生活中经常遇到,初中阶段,主要以“两点之间,线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础,有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。本节课以数学史中的一个经典故事-“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究,让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题,再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。教学目标设置:1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题2、在谈最短路径的过程中,体会“轴对称”的桥梁作用,感悟转化的数学思想
2、。教学重点难点:重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。学生学情分析:1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强,但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱,自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识,能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识,但在数学的说理上还不规范,集合演绎推理能力有待加强。2、学生已经学习过 “两点之间,线段最短。”以及“垂线段最短”。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。教学策略分析:最短路径问题从本质上说是最值问
3、题,作为八年级学生,在此前很少涉及最值问题,解决这方面问题的数学经验尚显不足,特别是面对具有实际背景的最值问题,更会感到陌生,无从下手。解答“当点A、B在直线l的同侧时,如何在l上找到点C,使AC与BC的和最小”,需要将其转化为“直线l异侧的两点,与直线l上的点的线段的和最小”的问题,为什么需要这样转化,怎样通过轴对称实现转化,一些学生会存在理解上和操作上的困难。在证明“最短”时,需要在直线上任取一点(与所求做的点不重合),证明所连线段和大于所求作的线段和,这种思路和方法,一些学生想不到。教学时,教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点,与直线l上的点的和最小”为学生搭建桥梁,在证明最短时,教
4、师要适时点拨学生,让学生体会任意的作用。教学条件分析:在初次解决问题时,学生出现了多种方法,通过测量,发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短;进而利用几何画板通过动画演示,实验验证了结论的一般性;最后通过逻辑推理证明。教具准备:直尺、几何画板,ppt教学过程:环 节教师活动学生活动设计意图一复习引入1.【问题】:看到图片,回忆如何用学过的数学知识解释这个问题?2.这样的问题,我们称为“最短路径”问题。1、两点之间,线段最短。2、两边之和大于第三边。从学生已经学过的知识入手,为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。二探究新知1.探究一:【故事引入】:唐朝诗人李颀在古从军行中写道:“白
5、日登山望峰火,黄昏饮马傍交河”诗中就隐含着一个有趣的数学问题,古时候有位将军,每天从军营回家,都要经过一条笔直的小河。而将军的马每天要到河边喝水,那么问题来了,问题:怎样走才能使总路程最短呢?认真读题,仔细思考。将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”,把实际问题抽象线段和最小问题。从异侧问题入手,由简到难,逐步深入。二探究新知2.探究二:【变换情境】:后来将军把家搬到了河的对面,若还是要带马先到河边喝水,然后再回家,应该怎样走,才能使总路程最短呢?(1)【转化】:你能将实际问题抽象为数学问题吗?(2)【展示】:让学生猜想,并画出图形。巡视发现学生不同的作法(尽可能多),分别展示
6、各小组的作法。给予学生一定的提示。(3)【度量】:如何才能判断哪种猜想是正确的呢?(测量一下)在几何画板中分别度量出AC,BC的长度,并计算AC+BC。让学生观察数值如何变化。并反思各自的作法是否正确。【回答】:学生思考并回答,如何将实际问题转化为数学问题。已知:直线L和同侧两点A、B求作:直线L上一点C,使C满足AC+BC的值最小。【学生展示】:作法1: 作法2:作法3:【学生反思】:第1种作法是利用“垂线段最短”,得到AC最短,利用“两点之间线段最短”,得到BC最短,但不能确定AC+BC是最短的。第2种作法只能说明在河l上取一点,到A、B两地的距离相等,也就是ACBC。不能说明AC+BC最
7、短第3种作法应该是正确的。学生主动探索,充分发挥学生的主动性。展示多种方法,产生思维冲突,引发学生进一步探究的学习欲望。二探究新知3.解决问题【追问】用第3种作法的同学,你们是怎样想到作点B关于直线L的对称点的?为什么要作对称点?如果做点B关于直线L的对称点,就是把点B移到了另一侧,而且满足了BCBC。其实直线L上所有点到B和B的距离都相等。也可是根据垂直平分线的性质,L就是线段BB的垂直平分线,而垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。利用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题。借助轴对称,把折线转化为线段的长来求解。让学生进一步体会做法的正确性,提高逻辑思维能力。让学生在反思的过
8、程中,体会轴对称的作用,感悟转化思想,丰富数学活动经验。(4)【推理论证】:如何证明AC+BC最短呢?【提示】:没有比较就不会产生大小。通常我们要在直线上任另取一点C(与点C不重合),只要证明AC+BCAC+BC即可。(3)【几何画板】下面我们可以借助数学工具几何画板来进一步验证一般性。老师动手操作,验证结论的正确性。(1)学生自主证明,教师纠错。(2)师生共同分析,学生说明证明过程,教师版书。(3)共同完成证明过程。认真观察,思考,要想确认AC+BC最短,可以在直线l上任取一点C(不与点C重合)1.独立纠错2.兵教兵让学生进一步体会作法的正确性,提高逻辑思维能力。通过动画演示,从特殊到一般地
9、验证了前面的结论。三发散思维除了作点B关于直线l的对称点以外,还有没有别的作法?还可以作点A关于直线l的对称点。发散思维,培养学生一题多解的能力。四得出结论【问题】:我们是如何解决将军饮马问题的?先将实际问题转化为数学问题。然后作其中一个点关于直线l的对称点,连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置。让学生反思刚才的探究过程。培养数学思维,和及时总结所学的知识的好习惯。五范例分析1.【问题】:如图,一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客,然后将游客送往河岸BC上,再回到P处,请画出旅游船的最短路径。在具体问题中实践已有模型,固化已有模型。为进一步丰富、完善知识结构做铺
10、垫。六巩固练习1. 【题目】:如图,直线l是一条河,P、Q为河同侧的两地,欲在l上某处修建一个水泵站M,分别向P、Q两地供水,四种方案中铺设管道最短的是( )2. 【题目】:如图,在直角三角形ABC中,角A30度,角C为直角,且BC=1,MN为AC的垂直平分线,设P为直线MN上任一点,PB+PC的最小值为 3. 如图,正方形ABCD边长为8,M在BC上,BM2,N为AC上的一动点,则BN+MN的最小值为 将军饮马模型的直接应用。习题难度,由易到难,逐步深入。让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。七课堂小结1.【问题】:本节课研究问题的基本过程是什么? 当我们遇到一个实际问题,首
11、先,我们要将实际问题变成一个数学问题(群答),也就是抽象成一个数学模型,这样可以帮助我们进行实验观察,进而运用合情推理得到一个猜想,然后我们可以通过严谨的逻辑证明,验证猜想,从而得出结论,最后再将结论运用到实际问题里。2.【问题】:轴对称在所研究问题中起什么作用?利用轴对称主要是进行问题的转化,它其实是起到了一个桥梁的作用,同时也体现了我们数学学习中的转化思想。我们要先将实际问题变成一个数学问题,然后观察实验,提出猜想,之后通过证明,验证猜想,从而得出结论,最后再将结论运用到实际问题里。转化作用培养学生总结在课题学习的基本思路。目标检测设计:题目1、(课后练习)课本93页,第15题。设计意图:本题难度适中,适合作为课后练习,是学生跳一跳能摘到的果子,达到复习本节课知识方法,又为后续学习打下基础。题目2、(拓广探索)在AOB内有一点P,在射线OA上找一点M,在射线OB上找一点N,使的周长最短。设计意图:学以致用,并且有提高和挑战,作两次轴对称。在解决最短路径问题时,通常利用轴对称将同侧转化为异侧问题,化折线为直线,从而作出最短路径的选择。9