1、 2014-2015 学年度上学期八校联考测试卷 高三数学（理科） 命题人：新建二中 肖英文 上饶中学 黎金传 本试卷分第 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 .全卷满分 150 分 .考试时间 120 分钟 . 第 卷 （选择题 共 60 分） 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “ 准考证号、姓名、考试科目 ” 与考生本人准考证号、姓名是否一致 . 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 .第 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作
2、答 .若在试题卷上作答，答案无效 . 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回 . 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1. 对于集合 2 1,A x x k k N 和集合 ,B x x a b a b A ，若满足 BA ，则集合 B 中的运算“ ”可以是（ ） A加法 B 减法 C 乘法 D 除法 2. 复数 z 为纯虚数，若 iazi )2( (i 为虚数单位 )，则实数 a 的值为 （ ） A21B 2 C 2 D213. 下列关于命题的说法错误的是 （ ） A 命题“若 0232 xx ，则 1x
3、 ”的逆否命题为“若 1x ，则 0232 xx ”； B “ 2a ”是“函数 ( ) logaf x x 在区间 (0, ) 上为增函数 ” 的充分不必要条件； C 若命题 p ： , 2 1000nnN ，则 p ： , 2 1000nnN ； D 命题“ ( , 0 ), 2 3xxx ”是真命题 4. 数列 na 中，已知 1 2 1 21 , 2 , ( )n n na a a a a n N ，则 7a （ ） A 2 B 1 C 1 D 2 5 已知函数 ( ) sin(2 )6f x x ，则 要得到函数 ()fx的 的图像只需将函数 ( ) sin2g x x 的图像 （
4、） A. 向左平移 6 个单位长度 B. 向右平移 6 个单位长度 C. 向左平移 12 个单位长度 D. 向右平移 12 个单位长度 333211116. 已知不等式组 210xyxy 的解集记为 D ,则对 ( , )x y D使得 2xy 取最大值时的最优解是（ ） A. (2,1) B. (2,2) C. 3 D. 4 7. 从 0,1,3,4,5,6 六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位 奇 数，这样的三位数共有 （ ） A.24 个 B. 30 个 C.36 个 D. 48 个 8. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为 105，则输入的 ()nn N 值
5、可能为 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D.8 9 已知 1 2 sin 5 co s 1 3,则 tan （ ） A. 512 B. 125 C. 125 D. 712 10. 设 1F 、 2F 分别为双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab 的左、右焦点 .若在双曲线右支上存在点 P ，满足 2 1 2PF FF ，且 2F 到直线 1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 （ ） A.4 3 0xy B 3 5 0xy C 5 4 0xy D 3 4 0xy 11 某四面体的三视图如右图所示， 且四个顶点都在一个球面上， 则球的表面积为（ ） A 113
6、 B 5 C 7 D 133 12 已知函数31 ,0()3, 0xxfx xxx ， 则 关于 x 的 方程 2(2 ) (2 3)f x x k k 的根的个数不可能为 （ ） A 6 B 5 C 4 D 3 开始 i=1,S=1 i=i+21nn输入 n 结束 in 是 否 输出 S S S i成绩 （ 分 ）频率组距y0 . 0100 . 040x0 . 0161009080706050O第 卷 （非选择题 共 90分） 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分请把答案填在答题卡相应的位置上 ) 13. 10xa 的展开式中， 7x 的系数为 15，则 a _.(用数
7、字填写答案 ) 14 在平面直角坐标系中， ,ij分别 是与 ,xy轴正方向同向的单位向 量，平面内三点 ,ABC 满足， 2AB i j ， 3AC i m j .若 ,ABC 三点构成以 B 为直角的直角三角形，则实数 m 的值为 15. 观察下列等式 11 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 1 0 4 9 照此规律，第 n 个等式为 . 16. 在 ABC 中，设 AD 为 BC 边上的高，且 ,AD BC b c 分别表示角 ,BC所对的边长， 则 bccb的 最大值 是 _. 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分 请在答题卡指定区域内作答， 解答
8、应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17. (本小题满分 12 分 ) 已知等比数列 na 的公比 1q ，前 n 项和为 nS ， 3 7S ，且 31a ， 23a ， 43a 成等差数列，数列 nb 满足关系式 1(3 5 ) (3 2 )nnb n b n 其中 2,n n N,且 1 1b (1)求数列 na 及 nb 的通项公式； (2)设 1 2 10 , , A a a a L ， 1 2 50 , , B b b b L ， C A B U ，求集合 C 中所有元素之和 18.(本小题满分 12 分 ) 为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”
9、活动 .为了了解本次竞赛 学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本（样本容量为 n ）进行统计 .按照 50,60) ， 60,70) ， 70,80) ， 80,90) ， 90,100 的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在 50,60) ， 90,100 的数据） 5 1 2 3 4 5 6 7 8 6 7 8 9 3 4 BCDEPA（ 1）求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x 、 y 的值； （ 2）在选取的样本中，从竞赛成绩在 80 分以上（含 80 分）的学生中随机抽取 4 名学生参加“中国汉字听写大会
10、”，设随机变量 X 表示所抽取的 4 名学生中得分在 80,90)内的学生人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 19.(本小题满分 12 分 ) 如图，在四棱锥 ABCDP 中， PC 底面 ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形， ADAB ， CDAB/ ， 222 CDADAB ， 2PC ,E是 PB 的中点 . （ 1）求证：平面 EAC 平面 PBC ； （ 2）若直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 32 ，求 平面 PAC 与平面 ACE 夹角的余弦值 . 20.(本小题满分 12 分 ) 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆)0(12222 babyax的离心
11、率为32，过椭圆右焦点 F作两条互相 垂直的弦 AB 与 CD 当直线 AB 斜率为 0 时，5AB CD （ 1）求椭圆的方程； （ 2）求由 , , ,ABC D 四点构成的四边形的面积的取值范围 21.(本小题满分 12 分 ) 已知函数)ln()( 2 xxaxxf ， 0x， Ra是常数 （ 1）求 函数)(xfy的图象在点 1 , 1f处的切线 方程； （ 2）若函数 图象上的点都在第一象限，试求常数 a的取值范围； （ 3）证明： Ra，存在) , 1( e，使( ) (1)( ) 1f e ff e 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第
12、一题计分 .作答时请写清题号 . 22.(本小题满分 10 分 )如图，在 ABC 中， CD 是 ACB 的角平分线， ADC 的外接圆交 BC 于点 E ， 2AB AC （ 1）求证： 2BE AD ； （ 2）当 3AC ， 6EC 时，求 AD 的长 23. (本小题满分 10 分 ) 以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 .已知射线 : 4l 与曲线21: ( 1)xtC yt (t 为参数 )相交于 ,AB两点 . (1)写出射线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程； （ 2）求线段 AB 的中点的极坐标 . 24. (本小题满分 10 分 ) 设关于 x 的不等式 2 (
13、)x a a R 的解集为 A ,且 31,22AA . (1)对 任意的 xR ， 213x x a a 恒成立，且 aN ，求 a 的值 . （ 2）若 1ab， ,ab R ，求 13 bba 的最小值，并指出取得最小值时 a 的值 . 2014 2015 学年度上学期八校联考测试卷 参考答案及评分标准 高三数学（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分请把答案填在答题卡相应的位置上 13 12 14 1m 15 2( 1 ) ( 2 ) ( 3 2 )
14、 ( 2 1 )n n n n n 16 5 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤 17.（本小题满分 12 分） 解：（ 1）因为 3 7S ,所以 1 2 3 7a a a 因为 31a ， 23a ， 43a 成等差数列 ，所以 1 3 23 4 6a a a -得 2 2a 即 1 2aq ，又由得 115a aq 消去 1a 得 22 5 2 0qq ，解得 2q 或 12q （舍去）所以 12nna . 4 分 另由于 nb 满足关系式 1(3 5 ) (3 2 )nnb n b n 即13235nnb nb
15、n 所以由累乘法得1 32nb nb ，而 1 1b ，所以 3 2( 2)nb n n 当 1n 时也满足， 故 3 2( )nb n n N 8 分 （ 2） 等比数列 na 前 n 项和为 nS ，则 1010 12 1023,12S 9 分 等差 数列 nb 前 n 项和为 nT ，则50 5 0 (1 1 4 8 ) 37252T 10 分 因为 A 与 B 的公共元素有 1,4,16,64,128，其和为 213，所以 集合 C 中所有元素之和 为 1 0 2 3 3 7 2 5 2 1 3 4 5 3 5 . 12 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
16、答案 C D D C C A B D B A D D 18.（本小题满分 12 分） 解：（ 1）由题意可知，样本容量 8 500. 01 6 10n ， 2 0. 00 450 10y ， 0 . 1 0 0 0 . 0 0 4 0 . 0 1 0 0 . 0 1 6 0 . 0 4 0 0 . 0 3 0x . 4 分 （ 2） 由题意可知，分数在 80,90) 内的学生有 5 人，分数在 90,100 内的学生有 2 人，共 7 人 .抽取的 4 名学生中得分在 80,90) 的人数 X 的可能取值为 2， 3， 4，则 225247 1 0 2( 2 ) 3 5 7CCPX C ， 3
17、15247 2 0 4( 3 ) 3 5 7CCPX C ， 405247 51( 4 ) 3 5 7CCPX C . 所以 X 的分布列为 10 分 所以 2 4 1 202347 7 7 7EX . 12 分 19（本小题满分 12 分） 解：（ 1） PC 平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ， PCAC ， 2AB ， 1CDAD ， 2 BCAC 222 ABBCAC ， BCAC 又 CPCBC ， AC 平面 PBC ， AC 平面 EAC ， 平面 EAC 平面 PBC 5 分 （ 2）以 C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 (0 , 0 , 0 ) , (1 ,
18、 1 , 0 ) , (1 , 1 , 0 )C A B . 设 (0,0, )Pa（ 0a ），则 11( , , )2 2 2aE ， )0,1,1(CA ， ),0,0( aCP ， )2,21,21( aCE ，取 (1, 1,0)m 则 0m CP m CA ， m 为面 PAC 的法向量 设 ( , , )n x y z 为面 EAC 的法向量，则 0n CA n CE ， 即 0,0azyx yx，取 ax ， ay ， 2z ， X 2 3 4 P 27 47 17 则 ( , , 2)n a a ， 依题意，设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ，则 2s in c o s
19、 ,3P A nP A nP A n ，解得 1a ( 2a 不满足 2PC )，于是 (1, 1, 2)n 23c o s , 32mn amn mn a ， 所以平面 PAC 与平面 ACE 夹角的余弦值为 33 12 分 20（本小题满分 12 分） 解 :（ 1）由题意知，32ce a，则2 3 3,33c b c，2 4 3 32 2 533b c cAB C D a a ， 所以3c所以椭圆的方程为2 2 14x y 4 分 （ 2） 当两条弦中一条斜率为 0 时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知11 4 1 222S AB C D 四 边 形； 5 分 当两弦斜率均存在且不为 0
20、 时，设 11( , )Ax y， 22( , )Bx y， 且设直线 AB的方程为( 3)y k x， 则直线 CD的方程为1 ( 3)yxk 将直线 的方程代入椭圆方程中，并整理得2 2 2 2(1 4 ) 8 3 12 4 0k x k x k ， 所 以 2222 2241411 | | 1 1 4 1 4kkB k x x k kk 8 分 同理，222214( 1) 4( 1)4 41 kkCD kk 9 分 所以2 2 2 22 2 4 21 1 4( 1 ) 4( 1 ) 8 ( 1 )2 2 1 4 4 4 4 17k k kS AB C D k k k k 四 边 形 22
21、218 182114 9 4 9k kkkkk ， 22114 9 4 2 9 25kk 当且仅当 1k时取等号 11 分 32 , 2)25S 四 边 形综合 与 可知，32 ,225S 四 边 形1 2 分 21（本小题满分 12 分） 解： （ 1）函数的定义域为 0| xx, )11(2)(/ xaxxf af 1)1(，af 22)1(/ 函数)(xfy的图象在点)( , ( f处的切线为)1)(22()1( xaay， 即)12)(1( xa4 分 （ 2） 0a时，2)( xxf ，因为 0x，所以点) , 2在第一象限，依题意，0)ln()( 2 xaxxf 时，由对数函数性质
22、知，)1 , 0(时，)0 , (ln x，)0 , (ln xa，从而 “ 0，0)ln() 2 xxaxxf” 不成立 0a时，由0)ln() 2 xxaxxf得)ln111 2 xxxa ，设)ln11()( 2 xxxxg ，xxxxxg ln21)( 33/ x)1 , 0() , ( )(/ xg )(x 极小值 1)1()( gg，从而1)ln11(1 2 xxa， 01 a 综上所述，常数 a的取值范围 01 a 8 分 （ 3）计算知111 )1() e aaee fef设函数1)1(21 )1()()()( / e axaexe fefxfxg1 )1()2(11)1( 2
23、 e eeae aaeg，)1( )1(11)( 2 ee aeee aeaeeg当2)1( eea或2)1( 2 ea时， 222)1( )1()1()2()()1( ee eeaeeaeg0， 因为)(xgy的图象是一条连续 不断的曲线，所以存在) , 1( e，使0)( g，即) , 1( e，使1 )1()()(/ e fff ； 当22 )1(2)1( eeaee时， (1) ( ) 0g g e，而且)1g、)e之中至少一个为正，由均值不等式知，1 122)( 2 eaaxg，等号当且仅当) , 1(2 eax 时成立，所以)(xg有最小值1 )1(2)1(21 122 22 e eaeae eaam，且 01 )3)(1()1(21 )1(2)1(2 22 e eeeae eaem， 此时存在) , 1( e（2 , 1( a或) , 2( ea），使0)( g综上所述， Ra，存在) , 1( e，使1 )1()()(/ e feff 12 分 选做题 22（本小题满分 10 分） 解： （ 1）连接 DE ,因为 ACED 是圆 内接四边形，所以 ,BCABDE 又 ,CBADB E DBE CBA ,即有 ,CADEBABE 又因为 ACAB 2 ，可得 ,2DEBE 因为 CD 是 ACB 的平分线，所以 DEAD ,
