1、第二章综合素能检测本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1直线l1l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为()A5 B4 C9 D1答案D解析由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面2教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线()A平行B垂直C相交D异面答案B解析当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面
2、上时，D不对3已知m、n是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若、垂直于同一平面，则与平行B若m、n平行于同一平面，则m与n平行C若、不平行，则在内不存在与平行的直线D若m、n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案D解析A项，、可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设m、n垂直于同一平面，则必有mn，所以原命题正确，故D项正确4已知、是两个平面，直线l，l，若以l；l；中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有()A；B；C；D；答案A解析因为，所以在内找到一条直线m，
3、使m，又因为l，所以lm.又因为l，所以l，即；因为l，所以过l可作一平面n，所以ln，又因为l，所以n，又因为n，所以，即.5如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，若过C1作C1H平面ABC，垂足为H，则点H一定在()A直线AC上B直线AB上C直线BC上DABC的内部答案B解析BAC90，BAAC又BC1AC，AC平面ABC1，平面ABC平面ABC1.平面ABC平面ABC1AB，C1在面ABC上的射影在直线AB上6设直线l平面，过平面外一点A与l，都成30角的直线有()A1条B2条C3条D4条答案B解析如图，和成30角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当AB
4、CACB30且BCl时，直线AC，AB都满足条件，故选B7(2016浙江文)已知互相垂直的平面、交于直线l.若直线m、n满足m，n，则()AmlBmnCnlDmn答案C解析选项A，只有当m或m时，ml；选项B，只有当m时，mn；选项C，由于l，nl；选项D，只有当m或m时，mn，故选C8(2016南安一中高一检测)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为()A30B45C60D90答案C解析如图，连接A1C1、BC1、A1BM、N分别为棱BC和棱CC1的中点，MNBC1.又A1CAC，A1C1B为异面直线AC与MN所成的角A1
5、BC1为正三角形，A1C1B60.故选C9等腰RtABC中，ABBC1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大小为()A30B60C90D120答案C解析如图，由ABBC1，ABC90知AC.M为AC的中点，MCAM，且CMBM，AMBM，CMA为二面角CBMA的平面角AC1，MCMA，MC2MA2AC2，CMA90，故选C10点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持APBD1，则点P的轨迹为()A线段B1CBBB1的中点与CC1的中点连成的线段C线段BC1DBC的中点与B1C1的中点连成的线段答案A解析APBD1恒成立，要保证AP所在的平
6、面始终垂直于BD1.ACBD1，AB1BD1，ACAB1A，BD1面AB1C，P点在线段B1C上运动11如图，l，A，B，A、B到l的距离分别是a和b，AB与、所成的角分别是和，AB在、内的射影长分别是m和n，若ab，则()A，mnB，mnC，mnD，mn答案D解析由勾股定理得a2n2b2m2AB2.又ab，mn.由已知得sin，sin，而ab，sinsin，又，(0，)，.12如图，在三棱柱ABCABC中，点E、F、H、K分别为AC、CB、AB、BC的中点，G为ABC的重心，从K、H、G、B中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则点P为()AKBHCGDB答案C解析应用验证
7、法：选G点为P时，EFAB且EFAB，此时恰有AB和AB平行于平面PEF，故选C第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13直线l与平面所成角为30，lA，m，Am，则m与l所成角的取值范围是_.答案30，90解析直线l与平面所成的30的角为m与l所成角的最小值，当m在内适当旋转就可以得到lm，即m与l所成角的最大值为90.14如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN等于_.答案90解析因为C1B1平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，所以C1B1MN.又因为MN
8、MB1，MB1，C1B1平面C1MB1，MB1C1B1B1，所以MN平面C1MB1，所以MNC1M，所以C1MN90.15如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).答案DMPC(或BMPC)解析连接AC，则BDAC，由PA底面ABCD，可知BDPA，BD平面PAC，BDPC故当DMPC(或BMPC)时，平面MBD平面PCD16如图所示，已知矩形ABCD中，AB3，BCa，若PA平面AC，在满足条件的E点有两个时，a的取值范围是_.答案a6解析由题意知：PADE，又PEDE，
9、PAPEP，所以DE平面PAE，DEAE.易证ABEECD设BEx，则，即.x2ax90，由0，解得a6.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2016江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别为AB、BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.解析(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中， A1C1AC在ABC中， 因为D、E 分别为AB、BC 的中点， 所以DEAC, 于是DEA1C1.又DE平面A1C1F, A1C1平面A
10、1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中， A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1, 所以A1AA1C1.又A1C1A1B1, A1A平面ABB1A1, A1B1平面ABB1A1, A1AA1B1A1, 所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D又B1DA1F, A1C1平面A1C1F, A1F平面A1C1F, A1C1A1FA1, 所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE, 所以平面B1DE平面A1C1F.18(本小题满分12分)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA
11、14，点D是AB的中点.(1)求证：ACBC1；(2)求证：AC1平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值解析(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面三边长AC3，BC4，AB5，ACBC又C1CACAC平面BCC1B1.BC1平面BCC1B，ACBC1.(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形D是AB的中点，E是BC1的中点，DEAC1.DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1.(3)DEAC1，CED为AC1与B1C所成的角在CED中，EDAC1，CDAB，CECB12，cosCED.异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为
12、.19(本小题满分12分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的左视图、俯视图，在直观图中，N是BC的中点，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.(1)求出该几何体的体积；(2)求证：AN平面CME；(3)求证：平面BDE平面BCD解析(1)由题意可知，四棱锥BACDE中，平面ABC平面ACDE，ABAC，AB平面ACDE.又ACABAE2，CD4，则四棱锥BACDE的体积为VSACDEAB24.(2)连接MN，则MNCDAECD，MNAE.又MNAECD，四边形ANME为平行四边形，ANEM.AN平面CME，EM平面CME，AN
13、平面CME.(3)ACAB，N是BC的中点，ANBC又平面ABC平面BCDAN平面BCD由(2)知：ANEM，EM平面BCD又EM平面BDE，平面BDE平面BCD20(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请按字母F、G、H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系并说明你的结论；(3)证明：直线DF平面BEG.解析(1)点F、G、H的位置如图所示(2)平面BEC平面ACH.证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BCFG，BCFG，又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是四边形BCEH为平行
14、四边形，所以BECH，又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH，同理，BG平面ACH，又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.(3)连接FH交EG于点O，连接BD因为ABCDEFGH为正方体，所以DH平面EFGH，因为EG平面EFGH，所以DHEG，又EGFH，EGFHO，所以EG平面BFHD，又DF平面BFHD，所以DFEG，同理DFBG，又EGBGG，所以DF平面BEG.21(本小题满分12分)(2016浙江文)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余
15、弦值解析(1)延长AD、BE、CF相交于一点K，如图所示因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BFAC又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK.所以BF平面ACFD(2)因为BF平面ACK，所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角在RtBFD中，BF，DF，BD，得cosBDF，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.22(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB3，AD2，PA2，PD2，PAB60.(1)求证：AD平面PAB；(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值；(3
16、)求二面角PBDA的正切值解析(1)证明：在PAD中，PA2，AD2，PD2，PA2AD2PD2，ADPD在矩形ABCD中，ADABPAABA，AD平面PAB(2)BCAD，PCB是异面直线PC与AD所成的角在PAB中，由余弦定理得PB.由(1)知AD平面PAB，PB平面PAB，ADPB，BCPB，则PBC是直角三角形，故tanPCB.异面直线PC与AD所成的角的正切值为.(3)过点P作PHAB于点H，过点H作HEBD于点E，连结PE.AD平面PAB，PH平面ABCD，ADPH.又ADABA，PH平面ABCD又PH平面PHE，平面PHE平面ABCD又平面PHE平面ABCDHE，BDHE，BD平面PHE.而PE平面PHE，BDPE，故PEH是二面角PBDA的平面角由题设可得，PHPAsin60，AHPAcos601，BHABAH2，BD，HEBH.在RtPHE中，tanPEH.二面角PBDA的正切值为.
