1、全等三角形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质， 会利用角的平分线的性质进行证明.【知识网络】【要点梳理】【全等三角形单元复习，知识要点】一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一
2、组对应边相等要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路要点三、角平分线的性质1.角的平分线的性质定理 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可
3、以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2 证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4 辅助线的添加:(1)作公共边可构
4、造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、巧引辅助线构造全等
5、三角形(1)倍长中线法1、已知，如图，ABC中，D是BC中点，DEDF,试判断BECF与EF的大小关系，并证明你的结论.【思路点拨】因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DGDF,证明EDGEDF，FDCGDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了BEG中，利用两边之和大于第三边可证.【答案与解析】BECFEF；证明：延长FD到G，使DGDF,连接BG、EGD是BC中点BDCD又DEDF在EDG和EDF中EDGEDF（SAS）EGEF在FDC与GDB中FDCGDB(SAS)CFBGBGBEEGBECFEF【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）
6、.举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是ABC与ADC的中线，且ACBABC求证：CD2CE【答案】证明： 延长CE至F使EFCE，连接BF EC为中线， AEBE在AEC与BEF中， AECBEF（SAS） ACBF，AFBE（全等三角形对应边、角相等）又 ACBABC，DBCACBA，FBCABCA ACAB，DBCFBC ABBF又 BC为ADC的中线， ABBD即BFBD在FCB与DCB中， FCBDCB（SAS） CFCD即CD2CE(2)作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知：如图所示，在ABC中，C2B，12求证：ABACCD【答案与解析】证明：在AB上
7、截取AEAC在AED与ACD中， AEDACD（SAS） EDCD AEDC(全等三角形对应边、角相等)又 C2B AED2B由图可知：AEDBEDB， 2BBEDB BEDB BEED即BECD ABAEBEACCD(等量代换)【总结升华】本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现ABAC故用截长补短法在AB上截取AEAC这样AB就变成了AEBE，而AEAC只需证BECD即可从而把ABACCD转化为证两线段相等的问题举一反三：【变式】如图，AD是的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HDBD.(1)求证：B与AHD互补；(2)若B2DGA180，请探究线段AG与线段AH、HD之间满
8、足的等量关系，并加以证明.【答案】证明：（1）在AB上取一点M, 使得AMAH, 连接DM. CADBAD, ADAD, AHDAMD. HDMD, AHDAMD. HDDB, DB MD. DMBB. AMDDMB 180, AHDB180. 即 B与AHD互补. （2）由（1）AHDAMD, HDMD, AHDB180. B2DGA 180, AHD2DGA. AMD2DGM. AMDDGMGDM. 2DGMDGMGDM. DGMGDM. MDMG. HD MG. AG AMMG, AG AHHD. （3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形3、如图所示，已知ABC中ABAC，AD是BA
9、C的平分线，M是AD上任意一点，求证：MBMCABAC【思路点拨】因为ABAC，所以可在AB上截取线段AEAC，这时BEABAC，如果连接EM，在BME中，显然有MBMEBE这表明只要证明MEMC，则结论成立【答案与解析】证明：因为ABAC，则在AB上截取AEAC，连接ME在MBE中，MBMEBE（三角形两边之差小于第三边）在AMC和AME中， AMCAME（SAS） MCME（全等三角形的对应边相等）又 BEABAE， BEABAC， MBMCABAC【总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.举一反三：【变式】如图，AD是ABC的角平分线，ABAC,求证：ABACBDDC【答案】
10、证明：在AB上截取AEAC,连结DEAD是ABC的角平分线，BADCAD在AED与ACD中AEDADC（SAS）DEDC在BED中，BEBDDC即ABAEBDDCABACBDDC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段4、如图所示，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且DAEFAE求证：AFADCF【思路点拨】四边形ABCD为正方形，则D90而DAEFAE说明AE为FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分线性质可知MEDEAEAERtAME与RtADE全等有ADAM而题中要证AFADCF根据图知
11、AFAMMF故只需证MFFC即可从而把证AFADCF转化为证两条线段相等的问题【答案与解析】证明： 作MEAF于M，连接EF 四边形ABCD为正方形， CDEMA90又 DAEFAE， AE为FAD的平分线， MEDE在RtAME与RtADE中， RtAMERtADE(HL) ADAM(全等三角形对应边相等)又 E为CD中点， DEEC MEEC在RtEMF与RtECF中， RtEMFRtECF(HL) MFFC(全等三角形对应边相等)由图可知：AFAMMF， AFADFC(等量代换)【总结升华】与角平分线有关的辅助线： 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作
12、垂线段. 5、如图所示，在ABC中，AC=BC，ACB=90，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E， ，求证：BD是ABC的平分线【答案与解析】证明：延长AE和BC，交于点F，ACBC，BEAE，ADE=BDC（对顶角相等），EAD+ADE=CBD+BDC即EAD=CBD在RtACF和RtBCD中所以RtACFRtBCD（ASA）则AF=BD（全等三角形对应边相等）AE=BD，AE=AF，即AE=EF在RtBEA和RtBEF中，则RtBEARtBEF（SAS）所以ABE=FBE（全等三角形对应角相等），即BD是ABC的平分线【总结升华】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅
13、助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型二、全等三角形动态型问题【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，巩固练习5】6、在ABC中，ACB90，ACBC，直线经过顶点C，过A，B两点分别作的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.（1）如图1当直线不与底边AB相交时，求证：EFAEBF.（2）将直线绕点C顺时针旋转，使与底边AB相交于点D，请你探究直线在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，ADBD；ADBD；ADBD.【答案与解析】证明：（1）AE，BF，AECCFB90，1290ACB90，239013。在ACE和CBF中，ACECBF（AA
14、S）AECF，CEBFEFCECF，EFAEBF。（2）EFAEBF，理由如下：AE，BF，AECCFB90，1290ACB90，2390，13。在ACE和CBF中ACECBF（AAS）AECF，CEBFEFCFCE，EFAEBF。EFAEBFEFBFAE证明同.【总结升华】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1) 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2) 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3) 几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其
15、结论有时变化，有时不发生变化.举一反三：【变式】已知：在ABC中，BAC90，ABAC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，求证：CFBD （2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由.【答案】证明：（1）正方形ADEF ADAF，DAF90 DAFDACBACDAC，即BADCAF 在ABD和ACF中， ABDACF（SAS） BDCF （2）当点D运动到线段BC的延长线上时，仍有BDCF 此时DAFDACBACDAC，即BADCAF 在ABD和ACF中， ABDACF（SAS） BDCF
