1、龙文学校朝阳分校 课外辅导资料旋转证明一 利用旋转添加辅助线A B A DB A CB A EB A FB A 例1. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的动点，且始终.过点A做APEF.（1）求证：EF=DE+BF.(2)求证：AP=AD. （3）若EFC周长为，求正方形的面积.变式1：如图，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，已知AB=a，MCN的周长为2a，ADMBCN求证：MAN=45ABCED 1.如图，直角梯形ABCD中，ADBC,ABBC,AD=2,BC=3,将腰CD以D为中心逆时针旋转90到ED，连结AE、CE,则ADE的面积是 。A B A C
2、D E F 2.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的动点，且始终满足AF平分，探究：BF、DE与AE的关系.5.如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF=45，则有结论EF=BE+FD成立。（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF是BAD的一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，延长BC到点E，延长CD到点F，使得EAF仍然是BAD的一半，则结论EF=BE+FD是否仍然成立
3、？若成立，请证明；若不成立。请写出它们之间的数量关系，并证明。例2.在等边ABC中，O为ABC内一点，连接AO、BO、CO且AO=2,BO=1,CO=,求AOB，BOC的度数分别是多少？A BA CA DA 2.如图，点D为等边ABC外一点，,AD=4,CD=3，求BD的长。3.在等边ABC中，O为ABC内一点，连接AO、BO、CO，有AOB，BOC=.问：AO、BO、CO三条线条能否构成一个三角形若能，求出这个三角形的三个内角分别是多少度？若不能，请说明理由。25（09朝阳一模）. （本小题8分） 图 图（1） 已知：如图，RtABC中，ACB=90，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且DC
4、E=45. 求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且DCE=30，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BDAE的值25（09西城一模）已知：，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当APB=45时，求AB及PD的长；（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应APB的大小.二 旋转型相似例1.图1是边长分别为a和b（ab）的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C
5、与C重合）的图形（1）操作：固定ABC，将CDE绕点C按顺时针方向旋转30，连结AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论（2）操作：若将图1中的CDE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连结AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论（3）根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段AD的长度最大？是多少？当为多少度时，线段AD的长度最小？是多少？（不要求证明） 图1 图2 图3例2. 如图为等边ABC和菱形BDEF,DBF=60（1）观察图形,猜想AF与CD之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不必证明.（2）将菱形
6、BDEF绕点B按顺时针方向旋转,使菱形BDEF的一边落在等边ABC内部,在图中画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,请问:(1)中的结论是否依然成立?若成立请证明;若不成立,请说明理由;（3）在上述旋转过程中,AF与CD之间所夹的锐角度数是否发生变化?若不变,请你求出它的度数,并说明理由;若改变,请说明它的度数是如何变化的.A C B A C B D F E 练习1点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作和，连接AF，CE取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN， MN（1）若和是等腰直角三角形，且(如图1)，则 是 三角形（2）在和中，若BA=BE,BC=BF,且，（如图2），则
7、是 三角形，且 .（3）若将（2）中的绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.3.填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，ABAC，ECED，BACCED，直线AE、BD交于点F。(1)如图，若BAC60，则AFB_；如图，若BAC90，则AFB_；(2)如图，若BAC，则AFB_(用含的式子表示)；(3)将图中的ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图或图。在图中，AFB与的数量关系是_；在图中，AFB与的数量关系是_。请你任选其中一个结论证明。4、我们给出如下定义：若
8、一个四边形中存在一组对边的平方和等于另外一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形。（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：（2）如图，在梯形ABCD中，ADBC，ACBD，垂足为O。求证：AD2+BC2=AB2+DC2。即四边形ABCD是等平方和四边形。（3）如果将图中的AOD绕点O按逆时针方向旋转a度（0a90）后得到图，那么四边形ABCD能否成为等平方和四边形？若能，请证明；若不能，请说明理由。三正方形中的旋转例1.如图1已知ABC中，ABBC1，ABC90，把一块含30角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边
9、为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。(1)在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。证明DMDN；在这一旋转过程中，直角三角板DEF与ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DMDN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DMDN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。练习：1.已知AOB=900，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个三
10、角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=OC当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明2.（08平谷一模25）在图中，把一副直角三角板ABC和EFG（其短直角边长均为4）叠放在一起（如图），且使三角板EFG 的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合现将三角板EFG绕点O顺时针旋转（旋转角满足条件：），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重
11、叠部分（如图）（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）联结HK，在上述旋转过程中，设BH=x，GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；图图（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使GKH的面积恰好等于ABC面积的？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由3.（08延庆一模23）（1）已知：有两块完全相同的含45角的三角板，如图101，将RtDEF的直角的=顶点D放在RtABC斜边AB的中点处，这时两块三角板重叠部分DBC的面积是ABC的面积的 ；（2）如图102，点D不动，将RtDEF绕着顶点D
12、旋转（090），这时两块三角板重叠部分为任意四边形DNCM，这时四边形DNCM的面积是ABC的面积的 ；（3）若RtDEF的顶点D在AB上移动（不与点A、B重合），且两条直角边与RtABC的两条直角边相交，是否存在一点，使得两块三角板重叠部分的面积是RtABC的面积的，如果存在，请在图103中画出此时的图形，并说明点D在AB上的位置。如果不存在，说明理由。图103图102图1014.（08东城一模25）已知ABC中，AB=AC=3,BAC=900,点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处.（1）如图1，若BD=CD, 将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点
13、E、点F,求出重叠部分AEDF的面积（直接写出结果）； （2）如图2，若BD=CD, 将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F,设AE，两块三角板重叠部分的面积为，求出的函数关系式,并写出自变量的取值范围； （3）若,将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E，设CF=，两块三角板重叠部分的面积为，求出的函数关系，并写出自变量的取值范围 24（09延庆一模）.如图241，正方形ABCD和正方形QMNP， M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E（1）猜想：ME 与MF的数量关系（2）如图242
14、，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且M =B，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明（3）如图243，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由（4）如图244，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且M =B ，AB:BC = m，其它条件不变，求出ME：MF的值。（直接写出答案）四.倍长中线解决四边形旋转例1.（08北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值DABEFCPG图1DCGPABEF图2小聪同学的思路是：延长交于
15、点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）解：（1）线段与的位置关系是 ； 练习1.如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CGBC），取线段AE的中点M。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明
16、。说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。 DM的延长线交CE于点N，且ADNE； 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45（如图2），其他条件不变；在的条件下且CF2AD。FMECGADB图3附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。ABCDFGEM图1图2BACEDFGM2如图24-1，已知点D在AC上，和都是等腰直角三角形，点M为EC的中点.（1）求证：为等腰直角三角形.（2）将绕点A逆时针旋转，如图24-2，（1）中的“为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由.（3）将绕点A逆时针旋转，如图24-3，（1）中的“为等腰直角三角形”成立吗？（不用说明理由）. （4） 我们是否可以猜想，将绕点A任意旋转一定的角度，如图24-4，（1）中的“为等腰直角三角形”均成立？（不用说明理由）.第 9 页 共 9 页
