1、几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补知识关联图真题演练【练1】 （2013北京中考）在中，（），将线段绕点逆时针旋转60得到线段（1）如图1，直接写出的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，判断的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结，若，求的值 【练2】 （2012年北京中考）在中，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段（1）若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；（2）在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，
2、能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围例题精讲考点1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等） （2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等） （3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等） （4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似） 【例1】 （14年海淀期末）已知四边形和四边形都是正方形 ，且（1）如图，连接、求证：；（2）如图，如果正方形的边长为，将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得，
3、求的度数；请直接写出正方形的边长的值【题型总结】手拉手模型是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些？【例2】 （2014年西城一模） 四边形是正方形，是等腰直角三角形，连接，为的中点，连接，。（1）如图24-1，若点在边的延长线上，直接写出与的位置关系及的值；（2）将图24-1中的绕点顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；ACDGEFB图111124-1图24-2ACDGEFB【题型总结】此类型题目方法多样，你还能找到其他的解题方法吗？另外涉及到的中点辅助线你还能说出几种？【例3】 （2015
4、年海淀九上期末）如图1，在 中，以线段为边作，使得， 连接，再以为边作，使得，（1）如图2 ，当且时，用等式表示线段之间的数量关系；图1（2）将线段沿着射线的方向平移，得到线段，连接若 ，依题意补全图3， 求线段的长；请直接写出线段的长（用含的式子表示） 图2 图3 备用图【例4】 （13年房山一模） （1）如图1，和都是等边三角形，且、三点共线，联结、相交于点，求证：（2）如图2，在中，分别以、和为边在外部作等边、等边和等边，联结、和交于点，下列结论中正确的是_（只填序号即可）；（3）如图2，在（2）的条件下，求证： 图1图2【题型总结】到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为旋转与最短路程问
5、题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换 考点2： 角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等【例1】 （2012年西城期末）已知：如图，正方形的边长为a，分别平分正方形的两个外角，且满足，连结，猜想线段，和之间的等量关系并证明你的结论 【例2】 （2014年平谷一模）（1）如图1，点分别是正方形的边上的点，连接， 则之间的数量关系是：连结，交于点，且 满足，请证明这个等量关系；（2）在中， ，点分别为边上的两点如图2，当，时，应
6、满足的等量关系是_；如图3，当，时，应满足的等量关系是_【参考：】【题型总结】角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量？由角含半角产生的数量关系都是有哪些？如何描述这类题目的辅助线？考点3：对角互补模型常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法（全等型90）（全等型120） （全等型任意角） 【例1】 四边形被对角线分为等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一条对角线的长度为，求四边形的面积【例2】 已知：点是的平分线上的一动点，射线交射线于点，将射线绕点逆时针旋转交射线于点，且使（1）利用图1，求证：；（2）如图1，若点是与的交点，当时，求与的比值； 图1 图2 【题型总结】对角互补模型
7、经常在哪里题目里出现，题目中有哪些提示信息？经常和哪种图形同时出现？【例3】 (初二期末)已知：如图，在中，且为内部一点，且，（1）用含的代数式表示，得 =_；（2）求证：；（3）求的度数 【题型总结】一般涉及到线段的旋转都可以和圆联系起来，根据圆的相关性质解题是一种比较便捷的方法。 （全能突破 【练1】 （2015年昌平九上期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，连接交于,连接交于，与交点为，连接（1）如图1，求证：；（2）如图1，求证：是的平分线；（3）如图2，当，时，求的长. 【练2】 （2014西城九上期末）已知：，都是等边三角形，是与的中点，连接，.（1）如图1，当与在同一条直线上时，
8、直接写出与的数量关系和位置关系；（2）固定不动，将图1中的绕点顺时针旋转（）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由； （3）ABC固定不动，将图1中的绕点旋转（）角，作于点设 ，线段，所围成的图形面积为当，时，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围 图2备用图图1【练3】 （2014年朝阳一模24题）在中，在中，点、分别在、上，（1）图，若，则与的数量关系是_；（2）若，将绕点旋转至如图所示的位置，则与的数量关系是_；（3）若，将绕点旋转至如图所示的位置，探究线段与的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）【练4】 （2015年燕山九上期末）小
9、辉遇到这样一个问题：如图1，在中，点，在边上，若，求的长图1图2图3小辉发现，将绕点按逆时针方向旋转90，得到，连接（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证，得解，可求得 (即)的长请回答：在图中，的度数是_，的长为_参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形中，分别是边上的点，且猜想线段之间的数量关系并说明理由 【练5】 （11年石景山一模）已知：如图，正方形中，,为对角线，将绕顶点逆时 针旋转()，旋转后角的两边分别交于点、点，交,于点、点，联结、（1）在的旋转过程中，的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明
10、）；（2）探究与的面积的数量关系，写出结论并加以证明【练6】 （2015年延庆九上期末）已知：是的内接三角形，在所对弧上，任取一点，连接， （1）如图1，直接写出的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，如果，求证：； （3）如图3，如果，那么与之间的数量关系是什么？写出猜测并加以证明； （4）如果，直接写出与之间的数量关系. 图3图2图1 【练7】 （1)如图，在四边形中，分别是边上的点，且求证：;(2) 如图在四边形中，分别是边上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明 (3) 如图，在四边形中，分别是边延长线上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出
11、它们之间的数量关系，并证明【练8】 小华遇到这样一个问题，如图1, 中，30，在内部有一点，连接，求的最小值小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转60，得到，连接，则的长即为所求（1）请你写出图2中，的最小值为_；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，菱形中，60，在菱形内部有一点，请在图3中画出并指明长度等于最小值的线段
12、（保留画图痕迹，画出一条即可）；若中菱形的边长为4，请直接写出当值最小时的长图1图2图3 【练9】 （2014年西城二模）在，为锐角， 平分交于点（1）如图1，若是等腰直角三角形，直接写出线段，之间的数量关系；（2）的垂直平分线交延长线于点，交于点如图2，若，判断，之间有怎样的数量关系并加以证明；如图3，若，求的度数【练10】 (2014年1月西城八年级期末试题附加题) 已知：如图，为锐角，平分，点，点分别在射线和上，. （1）若点在线段上，线段的垂直平分线交直线于点，直线交直线于点，求证：； （2）若（1）中的点运动到线段的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想与的数量关系并证明你的结论. 备用图1 备用图2【练11】 （2014海淀一模）在中，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角为，且，连接，（1）如图，当，时，的大小为_；（2）如图2，当，时，求的大小；（3）已知的大小为（），若的大小与（）中的结果相同，请直接写出的大小图1图2小结与复习1、旋转的基本模型特征2、费马点问题3、角平分线和垂直平分线辅助线，中点辅助线4、线段旋转的特点
