1、函数的极限及函数的连续性一、重点难点分析： 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。 计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。 若函数在a,b上连续，则它在a,b上有最大值，最小值。 二、典型例题 例1求极限 解析： 。 。 。 。 例2已知，求m,n。解：x2+mx+2含有x+2这个因式 x=-2是方程x2+mx+2=0的根， m=3代入求得n=-1。 例3讨论的连续性。 解析：函数的定义域为(-,+)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的， 又， ， f(x)在x=1处连续
2、。 由， 从而f(x)在点x=-1处不连续。 f(x)在(-,-1),(-1,+)上连续，x=-1为函数的不连续点。 例4已知函数, (a,b为常数)。 试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。 解析： 且， ， a=1, b=0。 例5求极限 解析： 。 。 例6设，问常数k为何值时，有存在？ 解析： ，。 要使存在，只需， 2k=1，故时，存在。 例7求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？ 解析：由， ， f(x)在x=-1处极限不存在。 训练题： 1 ，则 2的值是_。 3. ，则=_。 4 ，2a+b=0，求a与b的值。 5已知，求a的值。 参考答案：1. 3
3、2. 3. 4. a=2, b=-45. a=0 在线测试窗体顶端选择题窗体底端窗体顶端2和存在是函数 存在的（）。 A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 窗体底端窗体顶端3，则下列结论中不正确的是（ ）。 A、 B、C、f(x0)=aD、f(x0)可能不为a 窗体底端窗体顶端4设，若存在，则常数b的值是（ ）。 A、0B、1C、-1D、e 窗体底端窗体顶端5对于函数，给定下列命题 其中正确的是（ ）。 A、和B、和C、都成立D、 窗体底端窗体顶端6有下面四个命题： （1）如果函数f(x)在点x0处极限存在，那么f(x)在点x0处连续； （2）如果函数
4、f(x)在点x0处左连续又有右极限，那么f(x)在点x0处连续； （3）如果函数f(x)在点x0处不连续，g(x)在点x0处连续，则f(x)g(x)在点x0处不连续； （4）函数在-1，1上存在最大值和最小值。 其中错误的命题有（ ）。 A、1个B、2个C、3个D、4个 窗体底端窗体顶端7“函数f(x)在点x0处有定义且极限存在” 是“f(x)在点x0处连续”的（ ）。 A、充分不必要条件 B必要不充分条件 C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件 窗体底端窗体顶端8已知函数则下列结论正确的是（ ）。 A、f(x)在点x=1处不连续，在点x=2处连续B、f(x)在点x=1处连续，在点x=2处不
5、连续C、f(x)在点x=1和x=2处都不连续D、f(x)在点x=1和x=2处都连续 窗体底端窗体顶端9设函数在区间0，+上连续，则实数a的值是（ ）。 A、1B、2C、3D、0 窗体底端窗体顶端10对函数，下列说法正确的是（ ）。 A、f(x)在x=1处连续，在开区间(0，1)内不连续B、f(x)在x=1处不连续，在开区间(0，1)内连续C、f(x)在x=1处及开区间(0，1)内均连续D、f(x)在x=1处及开区间(0，1)内都不连续窗体底端答案与解析 答案：2.B 3. C 4. B 5. A 6. D 7. B 8. D 9. B 10. B 解析：2.若 ，则函数 不存在。3根据函数在一
6、点处的极限、左极限和右极限的定义： ，所以A、B正确； ，需看函数 在点x=x0处是否有定义，因此选C。4.提示：若 存在，则 ， ， ，所以b=1。5.提示：容易求得 正确，也可知 ，所以 不存在，不成立。7.提示：f(x)在点x0处连续必须满足三个条件：（1）函数f(x)在点x0处有定义；（2） 存在；（3） ，即函数 在点x0处的极限值等于这一点的函数值。因此“函数f(x)在点x0处有定义且极限存在” 是“f(x)在点x0处连续”的必要不充分条件。8.提示：首先，函数 在点x=1和点x=2处有定义，而且 ， 。所以f(x)在点x=1和x=2处都连续。9.提示：因为函数 在区间0，+上连续，所以 。10.提示：函数 ，其中x1，所以f(x)在x=1处不连续；当x1时， 在开区间(0, 1)内连续。7
