初一数学绝对值典型例题精讲.doc

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1、初一数学精讲 绝对值 第三讲 绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分,它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石,希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质绝对值 简单的绝对值方程 化简绝对值式,分类讨论(零点分段法) 绝对值几何意义的使用绝对值的定义及性质绝对值的定义:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值,记作|a|。绝对值的性质:(1) 绝对值的非负性,可以用下式表示:|a|0,这是绝对值非常重要的性质; a (a0)(2) |a|= 0 (a=0) (代数意义) -a (a0) (3) 若|a|=a,则a0;若|a|=-a,

2、则a0;(4) 任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即|a|a,且|a|-a;(5) 若|a|=|b|,则a=b或a=-b;(几何意义)(6) |ab|=|a|b|;|=(b0);(7) |a|=|a|=a;(8) |a+b|a|+|b| |a-b|a|-|b| |a|+|b|a+b| |a|+|b|a-b|例1(1) 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个?(2) 若ab|ab|,则下列结论正确的是( )A.a0,b0 B.a0,b0 C.a0,b0 D.ab0(3) 下列各组判断中,正确的是( )A若|a|=b,则一定有a=b B.若|a|b|,则一定有abC.

3、若|a|b,则一定有|a|b| D.若|a|=b,则一定有a=(-b) (4) 设a,b是有理数,则|a+b|+9有最小值还是最大值?其值是多少?分析:(1) 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有3,4,有4个(2) 答案C不完善,选择D.在此注意复习巩固知识点3。(3) 选择D。(4) 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|0,则|a+b|9,有最小值9巩固 绝对值小于3.1的整数有哪些?它们的和为多少?:绝对值小于3.1的整数有0,1,2,3,和为0。巩固 有理数a与b满足|a|b|,则下面哪个答案正确( ) A.ab B.a=b C.ab D.无法确定分析:选择D。巩固

4、若|x-3|=3-x,则x的取值范围是_分析:若|x-3|=3-x,则x-30,即x3。对知识点3的复习巩固巩固 若ab,且|a|b|,则下面判断正确的是( ) A.a0 B.a0 C.b0 D.b0分析:选择C巩固 设a,b是有理数,则-8-|a-b|是有最大值还是最小值?其值是多少?分析:|a-b|0,-8-|a-b|-8,所以有最大值-8例2(1)(竞赛题)若3|x-2|+|y+3|=0,则的值是多少?(2)若|x+3|+(y-1)=0,求的值分析:(1)|x-2|=0,|y+3|=0,x=2,y=-3,= (2)由|x+3|+(y-1)=0,可得x=-3,y=1。=-1 n为偶数时,原

5、式=1;n为奇数时,原式=-1小知识点汇总:(本源 |a|0 b0) 若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0; 若|x-a|+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0; 若|x-a|+|x-b|=0,则x-a=0且x-b=0; 当然各项前面存在正系数时仍然成立,非负项增加到多项时,每一项均为0,两个非负数互为相反数时,两者均为0简单的绝对值方程【例3】(1) 已知x是有理数,且|x|=|-4|,那么x=(2) 已知x是有理数,且-|x|=-|2|,那么x=(3) 已知x是有理数,且-|-x|=-|2|,那么x=(4) 如果x,y表示有理数,且x,y满足条件|x|=5,|y|=2

6、,|x-y|=y-x,那么x+y的值是多少?分析: (1)4,-4 (2)2,-2, (3)2,-2 (4)x=5,y=2,且|x-y|=y-x,x-y0; 当x=5,y=2时不满足题意;当x=5,y=-2时不满足题意; 当x=-5,y=2时满足题意;x+y=-3;当x=-5,y=-2时满足题意,x+y=-7。【巩固】巩固|x|=4,|y|=6,求代数式|x+y|的值分析:因为|x|=4,所以x=4,因为|y|=6,所以y=6 当x=4,y=6时,|x+y|=|10|=10; 当x=4,y=-6时,|x+y|=|-2|=2; 当x=-4,y=6时,|x+y|=|2|=2; 当x=-4,y=-6

7、时,|x+y|=|10|=10【例4】解方程:(1) (2)|4x+8|=12 (3)|3x+2|=-1 (4)已知|x-1|=2,|y|=3,且x与y互为相反数,求的值分析:(1)原方程可变形为:|x+5|=,所以有x+5=,进而可得:x=-,-; (2)4x+8=12,x=1,x=-5 (3)此方程无解 (4)|x-1|=2,x-1=2,x=3,x=-1,|y|=3,y=3,且x与y互为相反数,所以x=3,y=-3,【例5】 若已知a与b互为相反数,且|a-b|=4,求的值分析:a与b互为相反数,那么a+b=0。 = 当a-b=4时,且a+b=0,那么a=2,b=-2,-ab=4; 当a-

8、b=-4时,且a+b=0,那么a=-2,b=2,-ab=4; 综上可得=4化简绝对式【例6】(1) 已知a=-,b=-,求的值(2) 若|a|=b,求|a+b|的值(3) 化简:|a-b|分析:(1)原式= (2)|a|=b,我们可以知道b0,当a0时,a=-b,|a+b|=0;当a0时,a=b,|a+b|=2b (3)分类讨论。 当a-b0时,即ab,|a-b|=a-b; 当a-b=0时,即a=b,|a-b|=0; 当a-b0时,即ab,|a-b|=b-a。【巩固】 化简:(1)|3.14-| (2)|8-x|(x8) 分析:(1)3.14,3.14-0,|3.14-|=-3.14 (2)x

9、8,8-x0,|8-x|=x-8。【例7】有理数a,b,c在数轴上对应点如图所示,化简|b+a|+|a+c|+|c-b|CB0A分析:|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-(a+c)-(c-b)=2b-2c【巩固】已知a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|a0cb分析:|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a【巩固】数a,b在数轴上对应的点如图所示,是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|a0b分析:|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|=-(a+b)+(b-a)+b-(-2a)=b【例

10、8】(1)若a-b且,化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| (2)若-2a0,化简|a+2|+|a-2| (3)已知x00,|y|z|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值分析:(1)若a-b且,a0,b0,a+b0 |a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a (2)因为-2a0,所以a+20,a-20,|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4 (3)由x00可得:y0|z|x|,可得:yxz;原式=x+z-y-z-x+y=0【巩固】如果0m10并且mx10,化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10| 分析:|x-m|+|x-10|+|x

11、-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x【例9】(1)已知x-3,化简|3+|2-|1+x| (2)若a0,试化简分析:(1)当x-3时,|3+|2-|1+x|=|3+|2+1+x|=|3+|3+x|=|3-3-x|=|-x|=-x (2)=-【例10】若abc0,则的所有可能值 分析:从整体考虑: (1)a,b,c全正,则=3; (2)a,b,c两正一负,则=1; (3)a,b,c一正两负,则=-1; (4)a,b,c全负,则=-3【巩固】有理数a,b,c,d,满足,求的值分析:有知abcd0,所以a,b,c,d里含有1个负数或3个负数:(1) 若含有1个负数,则=2;(2)

12、若含有3个负数,则=-2【例11】化简|x+5|+|2x-3| 分析:先找零点。x+5=0,x=-5;2x-3=0,x=,零点可以将数轴分成几段。 当x,x+50,2x-30,|x+5|+|2x-3|=3x+2; 当-5x,x+50,2x-30,|x+5|+|2x-3|=8-x; 当x-5,x+50,2x-3,|x+5|+|2x-3|=-3x-2【巩固】化简:|2x-1|分析:先找零点。2x-1=0,x=,依次零点可以将数轴分成几段(1) x,2x-1,2x-10,|2x-1|=2x-1。也可将(2)与(1)合并写出结果【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值 分析:先找零点,m=0,m-

13、1=0,m-2=0,解得m=0,1,2 依这三个零点将数轴分为四段:m0,0m1,1m2,m2。 当m0时,原式=m(m-1)-(m-2)=-3m+3 当0m1时,原式=m-(m-1)-(m-2)=-m+3 当1m2时,原式=m+(m-1)-(m-2)=m+1 当m2时,原式m+(m-1)+(m-2)=3m-3绝对值几何意义的应用|a|的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离|a-b|的几何意义:在数轴上,表示数a,b对应数轴上两点间的距离【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值分析:由上题可知,本题中的式子值应为x所对应的点分别到3,5,2,-

14、1,-7所对应的点距离和。通过数轴可以看到,当x=2时,五段距离的和有最小值16。这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解: 【小学奥数相关题目】如图,在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼,现在设立一个邮筒,为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短,邮局应立于何处?ABCDE分析:我们来分析以下A、E两个点,不论这个邮筒放在AE之间的哪一点,A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短,再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的,等于BD。最后,只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了。

15、那么当然也就是把邮筒放在C点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”题后小结论: 求|x-a|+|x-a|+|x-a|的最小值: 当n为奇数时,把a、a、a从小到大排列,x等于最中间的数值时,该式子的值最小。 当n为偶数时,把a、a、a从小到大排列,x取最中间两个数值之间的数(包括最中间的数)时,该式子的值最小。【巩固】探究|a|与|a-b|的几何意义 分析:|a|即为表示a的点A与原点之间的距离,也即为线段AO的长度。 关于|a-b|,我们可以引入具体数值加以分析: 当a=3,b=2时,|a-b|=1; 当a=3,b=-2时,|a-b|=5; 当a=3,b=0时,|a-b|=3; 当a=-3

16、,b=-2时,|a-b|=1; 从上述四种情况分别在数轴上标注出来,我们不能难发现:|a-b|对应的是点A与点B之间的距离,即线段AB的长度。【巩固】设a、a、a、a、a为五个有理数,满足a a a a a,求|x- a|+|x- a|+|x- a|+|x- a|+|x- a|的最小值分析:当x= a时有最小值,a+ a- a- a【例14】设abcbc,那么a+b-c=分析:根据题意可得:a=1,b=-2,c=-3,那么a+b-c=0或2【例2】 已知(a+b)+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0,那么ab=分析:因为(a+b)+|b+5|=b+5,我们可以知道b+50,所以原式可以

17、表示为:(a+b)+b+5=b+5,(a+b)=0,a=-b,又因为|2a-b-1|=0,进而2a-b-1=0,进而2a-b-1=0,3a=1,a=,b=-,ab=-【例3】 对于|m-1|,下列结论正确的是( )A.|m-1|m| B.|m-1|m| C. |m-1|m|-1 D. |m-1|m|-1 分析:我们可以分类讨论,但那样对于做选择题都过于麻烦了。我们可以用特殊值法代入检验,对于绝对值的题目我们一般需要带入正数、负数、0,3种数帮助找到准确答案。易得答案为C。 【例4】 设a,b,c为实数,且|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0,化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-

18、c|分析:|a|+a=0,|a|=-a,a0;|ab|=ab,ab0;|c|-c=0,|c|=c,c0。所以可以得到a0,b0,c0;|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+(a+b)-(c-b)-(a-c)=b【例5】 化简:|x-1|-2|+|x+1| 分析:先找零点。x-1=0,x=1,|x-1|-2=0,|x-1|=2,x-1=2或x-1=-2,可得x=3或者x=-1;x+1=0,x=-1;综上所得零点有1.,-1,3,依次零点可以将数轴分成几段。(1) x3,x-10,|x-1|-20,x+10, |x-1|-2|+|x+1|=2x-2;(2) 1x3,x-10,|x-1|

19、-20,|x-1|-2|+|x+1|=4;(3) -1x1,x-10,|x-1|-20,x+10,|x-1|-2|+|x+1|=2x+2;(4) x-1,x-10,|x-1|-20,x+10, |x-1|-2|+|x+1|=-2x-2【例6】 已知有理数a,b,c满足,求的值 分析:对于任意的整数a,有,若,则a,b,c中必是两正一负,则abc0,则x+y的值为多少? (2)解方程:|4x-5|=8分析:(1)x=2,y=3, 当x=2,y=3时,不满足x-y0; x=2,y=-3时,满足x-y0,那么x+y=-1; x=-2,y=3时,不满足x-y0; x=-2,y=-3时,满足x-y0,那

20、么x+y=-5。 综上可得x+y的值为-1,-5(2)4x-5=8,x=,x=-3、(1)有理数a,b,c在数轴上对应点如图所示,化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|ac0b (2)若ab,求|b-a+1|-|a-b-5|的值 (3)若a0,化简|a-|-a|分析:(1)a-b0,b-c0,a+b0 |a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|=-(a-b)+(a+b)+(b-c)+c=3b (2)|b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4 (3)|a-|-a|=|a+a|=|2a|=-2a4、已知a是非零有理数,求的值分析:若a0,那么=1+1+1=3; 若a0,那

21、么=-1+1-1=-15、化简|x-1|-|x-3|分析:先找零点。x-1=0,,x=1;x-3=0,x=3,依照零点可以将数轴分成几段。(1) x3,x-10,x-30,|x-1|-|x-3|=x-1-(x-3)=2;(2) 1x3,x-10,x-30 ,|x-1|-|x-3|=x-1+(x-3)=2x-4;(3) x1,x-10,x-30,|x-1|-|x-3|=-(x-1)+(x-3)=-26、设abc,求当x取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值分析:|x-a|+|x-b|+|x-c|实际表示x到a,b,c三点距离和,画图可知当x=b时,原式有最小值c-a第 10 页 共 10 页

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