1、最大公因数和最小公倍数应用的典型例题和专题练习典型例题例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可 以有几米？一共可以截成多少段？分析与解：截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。解答：（18、24、30）6（18+24+30）612段答：每段最长可以有6米，一共可以截成12段。例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？ 分析与解：要使截成的正方形面积尽可能大，也
2、就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形 边长一定是60和36的最大公因数。 解答：（36、60）12（6012）（3612）15个答：正方形的边长可以是12厘米，能截15个正方形。例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？分析与解：要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。解答：（1）最多可以做多少个花束（96、72）24（
3、2）每个花束里有几朵红玫瑰花96244朵（3）每个花束里有几朵白玫瑰花72243朵（4）每个花束里最少有几朵花4+37朵例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？分析与解：这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。解答：5、10、630答：最少过30分钟再同时发车。例5、某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完
4、成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？分析与解：安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。解答：（1）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？3、12、560（2）第一道工序应安排多少人60320人（3）第二道工序应安排多少人60125人（4）第三道工序应安排多少人60512人例6、有一批机器零件。每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一
5、盒，就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个？分析与解：每12个放一盒，就多出11个，就是说，这批零件的个数被12除少1个；每18个放一盒，就少1个，就是说，这批零件的个数被18除少1；每15个放一盒，就有7盒各多2个，多了2714个，应是少1个。也就是说，这批零件的个数被15除也少1个。解答：如果这批零件的个数增加1，恰好是12、18和15的公倍数。1、刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个12、18、151802、在300至400之间的180的倍数是多少18023603、这批零件共有多少个360-1359个例7、公路上一排电线杆，共25根。每相邻
6、两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？分析与解：不需要移动的电线杆，一定既是45的倍数又是60的倍数。要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。解答：1、从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？45、60180（米）2、公路全长多少米？45（25-1）1080（米）3、可以有几根不需要移动？1080180+17（根）例8、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？分析与解：根据“两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。”先求出4与252的乘积，再用积去除以28即可。4252
7、28=100828=36专题练习1. 有24个苹果，32个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘？2. 数学兴趣小组有24个男同学，20个女同学，现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？3. 有38支铅笔和41本练习本平均奖给若干个好少年，结果铅笔多出3支，练习本还缺1本。得奖的好少年有多少人？4. 有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。这包糖至少有多少块？5. 市场是20路和21路汽车的起点站。20路汽车每3分钟发车一次，21路汽车每5分钟发车一次。这两路汽车同时发车以后，至少再过
8、多少分钟又同时发车？6. 中心小学五年级学生，分为6人一组，8人一组或9人一组排队做早操，都刚好分完。这个年级至少有学生多少人？7. 五年级学生参加植树活动，人数在3050之间。如果分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人？8. 有一个数，用4、 5、 6去除，都能整除，这个数最小是多少？9、一些小朋友做游戏，第一次分组每组4人余下2人，第二次每组5人也余下2人，第三次分组每组6人还是余下2人。问最少多少名小朋友做游戏？10、 一间浴室长1.8米，宽1.44米。现在要给浴室地面铺满整块的正方形瓷砖，正方形瓷砖的边长最长是多少厘米？11、有一袋水
9、果糖，8块8块数多5块;6块6块数多3块；4块4块数多1块。这代水果糖最少有多少块？一个数被3除余1，被6除余4，被8除余6。这个数最小是几？12、 王老师买回一些练习本，如果平均分给5个班则多出3本，如果平均分给6个班则多出4本。已知这些练 习本在80100本之间，你知道王老师买了多少本练习本？13、 工人师傅买了一块长方体木块，体积是693立方分米，只知道它的长、宽、高分别相差2分米，你能求出 长、宽、高各是多少分米吗？例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？ 分析与解：截成的小段一定是18、24、3
10、0的最大公因数。先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。 解答：（18、24、30）6（18+24+30）612段答：每段最长可以有6米，一共可以截成12段。例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？ 分析与解：要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形 边长一定是60和36的最大公因数。 解答：（36、60）12（6012）（3612）15个答：正方形的边长可以是12厘米，能截15个正方形。例3、用96朵红玫
11、瑰花和72朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？分析与解：要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。解答：（1）最多可以做多少个花束（96、72）24（2）每个花束里有几朵红玫瑰花96244朵（3）每个花束里有几朵白玫瑰花72243朵（4）每个花束里最少有几朵花4+37朵例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三
12、路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？分析与解：这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。解答：5、10、630答：最少过30分钟再同时发车。例5、某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？分析与解：安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成
13、零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。解答：（1）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？3、12、560（2）第一道工序应安排多少人60320人（3）第二道工序应安排多少人60125人（4）第三道工序应安排多少人60512人例6、有一批机器零件。每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个？分析与解：每12个放一盒，就多出11个，就是说，这批零件的个数被12除少1个；每18个放一盒，就少1个，就是说，这批零件的个数被18除少1；每15个
14、放一盒，就有7盒各多2个，多了2714个，应是少1个。也就是说，这批零件的个数被15除也少1个。解答：如果这批零件的个数增加1，恰好是12、18和15的公倍数。1、刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个12、18、151802、在300至400之间的180的倍数是多少18023603、这批零件共有多少个360-1359个例7、公路上一排电线杆，共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？分析与解：不需要移动的电线杆，一定既是45的倍数又是60的倍数。要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。解答：1、从第一根起
15、至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？45、60180（米）2、公路全长多少米？45（25-1）1080（米）3、可以有几根不需要移动？1080180+17（根）例8、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？分析与解：根据“两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。”先求出4与252的乘积，再用积去除以28即可。425228=100828=36【模拟试题】1、24的因数共有多少个？36的因数共有多少个？24和36的公因数是哪几个？其中最大的一个是？2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）3、两
16、个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5
17、个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？10、有A、B两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A、B两个自然数的和是多少？【试题答案】1、24的因数共有多少个？36的因数共有多少个？24和36的公因数是哪几个？其中最大的一个是？答：24的因数共有8个，36的因数共有9个，24和36的公因数是1、2、3、4、6、12。其中最大的一个是12。2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）答：长方形的长是19厘米，宽是17厘米。3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。答：它们的最小公倍数是35。4、两个自然数相乘
18、的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？答：这两个数分别是24和40。5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。答：另一个数是42。6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？答：至少需要221块水泥板。7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？答：每段最长30厘米，一共可以截成12段。8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。答：这两个数是42和6或18和30。9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？答：这些碗最少有60个。10、有A、B两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A、B两个自然数的和是多少？答：A、B两个自然数的和是48。
