1、例1有公共顶点C的ABC和CDE都是等边三角形.（1）求证：AD=BE；（2）如果将CDE绕点C沿顺时针方向旋转一个任意角，AD=BE还成立吗？推广：四边形ABDE和ACFG都是正方形，连结EC,BG，如果将ABDE绕点A旋转一个任意角，问EC与BG有何关系.例2.课本例题推广：（1）如图，在四边形ABCD中，ABAD，BAD=BCD=90，且四边形ABCD的面积36，求线段BC与CD的和.（2）已知：在五边形ABCDE中，ABAE，BCDECD，ABCAED180求证：AD是CDE的平分线（3）如图，在梯形ABCD中，ADBC，且BCAD；D90，BCCD12，ABE45若AE10，求CE的
2、长ADBFCEM例3已知E、F分别在正方形ABCD边AB和BC上，AB=1，EDF=45.求BEF的周长.例4. 已知：在ACB中，ACB90，ACBC，D、E在AB边上，且使得DCE45求证：AD、DE、EB三条线段确定的数量关系练习：1 在ABC中，AB=AC，如图，BAC=90，DAE=45，BD=2，CE=3 .求DE的长.拓展：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，（1）P是三角形内的一点，且APB=APC求证：PB=PC（2）D是三角形内一点，若ADBADC求证DBCDCB（3）若P为正方形ABCD内一点，PAPBPC=123试证APB=135 2（正方形中的三角形旋转）已知：如
3、图，E是正方形ABCD边BC上任意一点，AF平分EAD交CD于F，试说明BE+DF=AE.拓展：已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，（1）如图（1），若有BE+DF=EF，求：EAF的度数.（2）如图（2），若有EAF =45.求证：BE+DF=EF.（3）如图（3），若EAF=45，AHEF求证：AH=AB （4）如图（4），若正方形ABCD边长为1，CEF的周长为2求EAF的大小（5）如图（5），若AB=，且BAE=30，DAF=15，求AEF的面积（6）如图（6），正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积
4、恰是矩形AGPE面积的2倍试确定HAF的大小，写出推导的过程 （1） （2） （3） （4） （5） 练习：（答案）1在ABC中，AB=AC，如图，BAC=90，DAE=45，BD=2，CE=3 .求DE的长.拓展：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，（1）P是三角形内的一点，且APB=APC求证：PB=PC（2）D是三角形内一点，若ADBADC求证DBCDCB 分析: 将ABC以A为中心逆时针旋转一角度BAC，到ACE的位置连DE，由ADBADC，得 AECADC又 ADE=AED，相减，得 DECEDC CDCE即 CDBD，从而DBCDCB拓展（3）若P为正方形ABCD内一点，PAP
5、BPC=123试证APB=135 分析:利用正方形的特点设法经过旋转使AP、PB、PC相对集中，为简单起见不妨设PA=1， PB=2，PC=3绕B点顺时针旋转90，使CBP到ABE的位置，这时BE=2，AE=3，PBE=90PE=，BPE=45.又 APE=90于是 APB=135拓展（4）在等边三角形内有一点P连接P与各顶点的三条线段的长为3、4、5.求正三角形的边长.（答案：）分析:将CPB旋转到APB，连接PP，延长BP，过A作ADBD.易知APP是直角三角形，因为BPP=60，所以APD=30，则AD=2，DP=.旋转讲解2例1：（05大连）如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放
6、在正方形ABCD的边BC的延长线上（CGBC），取线段AE的中点M（1）探究：线段MD、MF的关系，并加以证明（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45（如图2），其他条件不变；在的条件下，且CE=2AD（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变探究：线段MD、MF的关系，并加以证明图ABCDFMGEABCDFMGEABCFMGE图1图图1练：1.（08北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P
7、是线段DF的中点，连结PG、PC.若ABCBEF60，探究PG与PC的位置关系及的值.小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决. 请参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2），你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中ABCBEF（090），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含
8、的式子表示）例2.在平面直角坐标系xOy中，已知直线yx交x轴于点C,交y轴于点A.等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，如图1所示.把三角板绕着点O顺时针旋转，旋转角度为，使B点恰好落在AC上的B处，如图2所示.（1） 求图1中的点B的坐标；（2） 求的值；（3） 若二次函数yMx23x的图象经过（1）中的点B，判断点B是否在这条抛物线上，并说明理由. 图1 图2练：1.如图9，若ABC和ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，AMN是等边三角形（1）当把ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当ADE绕A
9、点旋转到图11的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由图9 图10 图11图82.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）FB
10、ADCEG图FBADCEG图DFBACE图图1（答案）练：1.（08北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC.若ABCBEF60，探究PG与PC的位置关系及的值.小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决. 请参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2），你在（1）中得到的两个
11、结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中ABCBEF（090），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）【解答】（1）线段PG与PC的位置关系是PGPC； （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图，延长GP交AD于点H，连结CH、CG P是线段DF的中点， FP = DP由题意可知 ADFG GFP=HDP GPF=HPD ， GFPHDP GP=HP， GF=HD 四边形ABCD是菱形， CD =CB，HDCABC60由ABCBEF60，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，可得
12、GBC60 HDC =GBC 四边形BEFG是菱形， GF=GB HD=GB HDCGBC CH=CG，DCHBCG DCHHCBBCG+HCB=120即 HCG120 CH= CG，PH=PG， PGPC，GCPHCP=60 （3） 6.（2007海淀二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线yx交x轴于点C,交y轴于点A.等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，如图1所示.把三角板绕着点O顺时针旋转，旋转角度为，使B点恰好落在AC上的B处，如图2所示.（4） 求图1中的点B的坐标；（5） 求的值；（6） 若二次函数yMx23x的图象经过（1）中的点B，判断点B是否在这条抛物线上，并说明理由.
13、 图1 图2解：（1）直线y-x交x轴于点C,交y轴于点A，点A的坐标为（，），点C的坐标为（2，0）. 等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，OD=，.过点B作BMOC于M.OM=.BM=1，OB=.点B的坐标为（，）；（2）OA=，OC=2，ACO=30.过点O作OEAC于E. OE=1.在RtBEO中，OB=，OE=1，BOE=45.EOD=90.又EOC=60，COD=30.=30；（3）判断：点B在这条抛物线上. 点B在直线AC上，点B的坐标为（A，-A）.A2（-A）2 OB2，A2（-A）2（）2.解方程，得A1，A2（不合题意，舍去）.点B的坐标为（，）. 又二次函数yMx2
14、3x过（，），M.二次函数的解析式为y-2x23x. 把x=代入y-2x23x，得y=.点在这条抛物线上.20、（2009年常德市）图9 图10 图11图8如图9，若ABC和ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，AMN是等边三角形（1）当把ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当ADE绕A点旋转到图11的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由提示：（1）抓住不变量易解，FBADCEG图FBADCEG图 （2）能证得AD
15、C 与 AEB是直角三角形，再用勾股定理和相似三角形的性质求解。21、（2009东营）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）DFBACE图提示：考查三角形的中线、三角形全等、矩形的性质等。（2）作适当辅助线，构造全等三角形。也可连接GA,得GC=GA,过点G作AB的垂线，证GE=GA.y =
